2018版高中数学苏教版必修三学案：2.3.1平均数及其估计

2. 3.1平均数及其估计
［学习目标］1•会求样本的平均数2运用样本的平均数来估计总体的平均水平.3•会应用相关知识解决简单的实际问题.
訂知识梳理_______ 自主学习
知识点一众数、中位数、平均数
1 •众数、中位数、平均数定义
(1) 众数：一组数据中重复岀现次数最多的数.
(2) 中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数.
1
⑶平均数：如果n个数X1, X2,…，X n,那么x = n(X1 + X2 +…+ x"叫做这n个数的平均数.
2.若取值为X1, X2，…，X n的频率分别为P1 , P2,…，P n，则其平均数为X」P」土XR吐二^ X n P n.
知识点二三种数字特征与频率分布直方图的关系
众数众数是最高长方形的中点所对应的数据，表示样本数据的
中心值
中位数
(1) 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；
(2) 表示样本数据所占频率的等分线
平均数
(1) 平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和；
(2) 平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点
第2章绕计
§2.3总体特征数的估计
尹题型探究重点突破
题型一平均数的计算
例1 一个球队所有队员的身高如下(单位：cm):
178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185,180,184，问这个球队的队员平均身高是多少？(精确到1cm)
解方法一利用平均数的公式计算.
— 1
x = x (178 + 179+ 181 + …+ 180 + 184)
14
1
=14 x 2523 ~ 180(cm).
方法二取a= 180,将上面各数据同时减去180,得到一组新数据：—2, - 1,1,2, - 4,3,
—4,0,3 , —5,1,5,0,4.
1 1 3
x f = X (—2 —1 + 1 + 2 —4+ 3 —4+ 0+ 3 —5 + 1 + 5 + 0 + 4) = X 3= 心0.2,
14 14 14
二x = x ' + a= 0.2 + 180~ 180(cm).
反思与感悟1•在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用“方法一”这个公式.
2.当数据较大，且大部分数据在某一常数左、右波动时，“方法二”可以减少运算量，故此法比较简便.
跟踪训练1在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
解在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是 1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数
1
据，即这组数据的中位数是 1.70;这组数据的平均数是x =石(1.50 X 2 + 1.60X 3+…+ 1.90 X 1) = 1.69(m).
答17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为 1.75m , 1.70m,1.69m.
题型二用样本平均数估计总体平均数
尹题型探究重点突破
例2某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50) , [50,60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , [90,100]后，画出如图部分频率分布直方图.
观察图形，回答下列问题：
(1) 求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2) 估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；
(3) 估计这次考试的平均分.
解⑴因为各组的频率和为1，所以第四组的频率f4 = 1 —(0.025+ 0.015X 2+ 0.01 + 0.005) X 10 = 0.3.
频率分布直方图如图所示：
⑵依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为0.75.
所以估计这次考试及格率为75%.
(3) 平均分为
45X 0.1 + 55X 0.15 + 65 X 0.15+ 75 X 0.3+ 85 X 0.25+ 95 X 0.05 = 71.
反思与感悟 1.当条件给出某几个范围内的数据的频数或频率时，可用组中值求近似平均数. 2•对连续型分布的有关问题，可用组中值法求样本数据的平均数，这种方法求得的平均值
只是一个估计值.
跟踪训练2某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制
成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别
是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.
求：(1)高
(2)咼一参赛学生的平均成绩.
解(1)由图可知众数为65,
又•/第一个小矩形的面积为0.3,
•••设中位数为60 + x,贝U 0.3 + X X 0.04 = 0.5，得x= 5, •••中位数为60 + 5= 65.
⑵依题意，平均成绩为55X 0.3 + 65X 0.4 + 75X 0.15 + 85 X 0.1 + 95 X 0.05= 67, •••平均成绩约为67.
数学思想
分类讨论思想的应用
例3 某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10 , x,8，已知这组数据的中位数与平均
数相等，求这组数据的中位数.
分析由于x未知，因此中位数不确定，需讨论.
解该组数据的平均数为1(10+ 10+ x+ 8)=》28+ x),中位数是这4个数按从小到大的顺序
排列后处在最中间两个数的平均数.
1
(1)当X W8时，原数据从小到大排序为X,8,10,10,中位数是9,由4(28 + x)= 9，得x= 8,符
合题意，此时中位数是9;
1 1 1
⑵当8v x w 10时，原数据从小到大排序为8, x,10,10,中位数是2(x+ 10),由4(28 + x) = "(10 + x)，得x= 8,与8v x< 10矛盾，舍去;
1
⑶当x > 10时，原数据从小到大排序为 8,10,10, x ,中位数是10，由-(28 + x)=
10,得x =
1.下面是高一八班十位同学的数学测试成绩： 82,91,73,84,98,99,101,118,98,110,则该组数
据的中位数是 _________ . 答案 98
解析 将这组数据按从小到大排列为 73,82,84,91,98,98,99,101,110,118，则最中间的两个数为
1
98,98，故中位数是 2(98 + 98) = 98. 2•在一段时间里，一个学生记录了其中 10天他每天完成家庭作业所需要的时间
(单位：分
钟)，结果如下
80 70 70 70 60 60
80 60
60 70
在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是 _____________ . 答案 68
解析 方法一 观察数据知：80出现2次，60与70各出现4次，又总次数为2 + 4 + 4= 10 , •••该学生平均每天完成家庭作业所需时间为 2X 80 + 4X 60 + 4X 70 2 + 4 + 4
方法二 观察数据知所有数据均在 70附近波动，可将各数据同时减 70得一组新数据: 10,0,0,0,
- 10,— 10,10,— 10,— 10,0 这组新数据的平均数为 2X 10+4X 0+4X
=
—2,
2 + 4 + 4
•该学生平均每天完成家庭作业所需时间为 70+ (— 2) = 68(分钟).
综上所述，这组数据的中位数是 9 或 10.
解后反思 当题目中含有参数， 论.
且参数的不冋取值影响求解结果时， 需对参数的取值分类讨
12,符合题意，此时中位数是 10. 自查自纠
r 当堂检测
=68(分钟).
3•将一组数据同时减去 3.1,得到一组新数据，若原数据的平均数为x，则新数据的平均
数是_________ •
答案7 — 3.1
解析设原来数据为a i, a2,…，a n,贝U a i+ a2+…+ a n= nx，从而新数据的平均数为
a i —3.1 + a2—3.1 + …+ a n—3.1 n x —3.1n
n n
=x — 3.1.
4 •某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为
150,152,153,149,148,146,151,150,152,147 ,由此估计这车苹果单个重量的平均值是 ___________ •答案149.8
解析平均数为7 =
150+ 152 + 153 + 149+ 148 + 146+ 151+ 150 + 152+ 147
=149.8 克.
5.已知1,2,3,4, X1, X2, X3的平均数是8，那么X1 + X2 + X3的值是____________ •
答案46
解析由条件知，1+ 2 + 3 + 4+ X1+ X2+ X3= 8 X 7.
二X1 + X2 + X3= 46.
「课堂孕结------------------------------------ 1
1.一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是该数据
出现的次数，如果两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个
数据都是这组数据的众数.
2 •一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果
数据的个数为偶数，那么，最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数.
3•利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点•②中位数左右两边直方图的面积应相等•③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标乘积之和.。