江西省宜春市丰城中学2015-2016学年高一下学期期中数学试卷(文科) 含解析

2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高一（下）期中数学试卷
（文科）
一、选择题（本大题共小题，每小题5分，共60分。

在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的,请将答案填写在答卷纸上)
1．已知集合A=｛x|(x+4）（x﹣1）＜0｝，B={x|x2﹣2x=0}，则A∩B=()
A．{0｝ B．｛2｝ C．｛0，2｝D．{x｜﹣4＜x＜1}
2．已知平面向量,,若，则实数λ=()
A． B．C．﹣6 D．6
3．已知数列{a n｝是公比为2的等比数列，且满足，则a4的值为（）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2,则△PAB与△PBC的面积之比是(）
A．B．C．D．
5．若a、b是任意实数,且a＞b，则下列不等式成立的是（）
A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b)＞0 D．
6．等比数列｛a n｝的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35
7．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（）
A．60°B．45°C．120°D．150°
8．设数列{a n}是以3为首项，1为公差的等差数列,{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则b a1+b a2+b a3+b a4=（)
A．15 B．60 C．63 D．72
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b,c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（)
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定
10．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c．若角A，B,C成等差数列,边a，b，c成等比数列，则sinAsinC的值为(）
A．B．C．D．
11．数列｛a n｝满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n,则=（）A．B．C．D．
12．对于△ABC，有如下四个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形，
②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形
③若sin2A+sin2B＞sin2C,则△ABC是钝角三角形
④若，则△ABC是等边三角形
其中正确的命题个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）
13．已知△ABC中，a=1，C=，S△ABC=2a，则b=．
14．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题一共有7层．每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有盏灯．
15．如图，海上有A,B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°，现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业,且OC=BO．设AC=10km，则OA2+OB2=．
16．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17．已知向量=（4,2）,=(﹣1，2），=(2,m）．
（1）若＜m2，求实数m的取值范围;
（2)若向量与平行，求m的值．
18．等差数列｛a n｝中,a7=8,a19=2a9．
（1)求{a n｝的通项公式；
(2）设b n=求数列｛b n}的前n项和S n．
19．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a，b，c,已知sinB(tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；
（Ⅱ)若a=1，c=2，求△ABC的面积S．
20．已知数列｛a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．
（1）求数列{a n}的通项公式;
(2）设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求（n﹣8）b n≥nk对任意n∈N＊恒成立的实数k的取值范围．
21．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且=﹣．
（1）求角B的大小；
（2)若b=，a+c=4，求△ABC的面积．
22．已知数列{a n}满足:，且b n=a2n﹣2，n∈N＊
（Ⅰ）求a2，a3，a4;
（Ⅱ)求证:数列{b n}是等比数列,并求其通项公式；
（Ⅲ）在(Ⅱ)情形下，设，设S n=C1+C2+…+C n，求证：S n＜6．
2015—2016学年江西省宜春市丰城中学高一（下）期中
数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共小题，每小题5分，共60分。

在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的,请将答案填写在答卷纸上）
1．已知集合A={x｜（x+4）（x﹣1）＜0｝，B=｛x|x2﹣2x=0}，则A∩B=（）A．｛0} B．｛2｝ C．｛0，2｝D．{x｜﹣4＜x＜1｝
【考点】一元二次不等式的应用；交集及其运算．
【分析】解一元二次不等式和方程，求得A和B，利用两个集合的交集的定义，求出A∩B．【解答】解：∵（x+4)(x﹣1）＜0,解得﹣4＜x＜1，∴A={x|﹣4＜x＜1 ｝．
由x2﹣2x=0，解得x=0，或x=2,∴B={0,2｝，
∴A∩B═{0，2}，
故选A．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法和交集的运算,考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法,一元二次不等式的解法,求出A和B，是解题的关键．
2．已知平面向量，，若，则实数λ=（）A． B．C．﹣6 D．6
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】由条件利用两个向量的数量积公式,两个向量垂直的性质,求得λ的值．
【解答】解：∵已知平面向量，，，
∴=（λ，﹣3）（4，﹣2）=4λ+6=0,
解得λ=﹣，
故选A．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于中档题．
3．已知数列｛a n}是公比为2的等比数列,且满足,则a4的值为（）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由等比数列的通项公式先求出首项，由此能求出a4的值．
【解答】解:∵数列｛a n｝是公比为2的等比数列，且满足，
∴=0，解得a1=1，
∴a4=1×23=8．
故选：C．
【点评】本题考查等比数列中第4项的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用．
4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是（) A．B．C．D．
【考点】向量数乘的运算及其几何意义．
【分析】由=2可知P为AC上靠近A点的三等分点．
【解答】解：∵=2,∴P为边AC靠近A点的三等分点，∴△PAB与△PBC的面积比为1：2．
故选：B．
【点评】本题考查了向量数乘的几何意义，属于基础题．
5．若a、b是任意实数,且a＞b，则下列不等式成立的是(）
A．a2＞b2B．C．lg(a﹣b）＞0 D．
【考点】不等关系与不等式．
【分析】由题意a、b是任意实数，且a＞b，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项，A，B,C可通过特例排除，D可参考函数y=是一个减函数，利用
单调性证明出结论．
【解答】解：由题意a、b是任意实数,且a＞b，
由于0＞a＞b时，有a2＜b2成立，故A不对；
由于当a=0时，无意义，故B不对；
由于0＜a﹣b＜1是存在的,故lg（a﹣b）＞0不一定成立，所以C不对;
由于函数y=是一个减函数，当a＞b时一定有成立，故D正确．
综上，D选项是正确选项
故选D
【点评】本题考查不等关系与不等式，考查了不等式的判断与大小比较的方法﹣﹣特例法与单调性法，解题的关键是理解比较大小常用的手段举特例与单调性法，及中间量法等常用的方法
6．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35
【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．
【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7,进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值,最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6）5答案可得．
【解答】解：∵a5a6=a4a7，
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10
故选B
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．
7．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（）
A．60°B．45°C．120°D．150°
【考点】余弦定理．
【分析】由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA与题中等式比较，可得cosA=﹣，结合A是三
角形的内角，可得A的大小．
【解答】解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA
又a2=b2+c2+bc，
∴cosA=﹣
又∵A是三角形的内角，
∴A=150°,
故选:D．
【点评】本题考查了余弦定理的应用，特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．
8．设数列{a n}是以3为首项，1为公差的等差数列,｛b n｝是以1为首项，2为公比的等比数列，则b a1+b a2+b a3+b a4=()
A．15 B．60 C．63 D．72
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】分别运用等差数列和等比数列的通项公式，求出a n，b n，再由通项公式即可得到所求．
【解答】解：数列{a n}是以3为首项，1为公差的等差数列，
则a n=3+（n﹣1）×1=n+2，
｛b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
则b n=2n﹣1，
则b a1+b a2+b a3+b a4=a3+b4+b5+b6
=22+23+24+25=60．
故选B．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的通项公式，注意选择正确公式，考查运算能力，属于中档题和易错题．
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC 的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定
【考点】三角形的形状判断．
【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．
【解答】解:∵bcosC+ccosB=asinA，
∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，
∵sinA≠0，
∴sinA=1，A=,
故三角形为直角三角形，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦,属于基本知识的考查．
10．在△ABC中,角A,B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列,边a，b，c成等比数列，则sinAsinC的值为（）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】依题意，可求得B=，利用正弦定理即可求得sinAsinC;另解,求得B=，利用余弦定理=cosB可求得a2+c2﹣ac=ac，从而可求得答案．
【解答】解：∵△ABC中，A，B，C成等差数列,
∴2B=A+C,又A+B+C=π,
∴B=，…（6分）
又b2=ac，由正弦定理得sinAsinC=sin2B=…（12分)
另解：b2=ac,=cosB==，…（6分）
由此得a2+c2﹣ac=ac,得a=c,
所以A=B=C，sinAsinC=．
故选：A．…（12分）
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理,熟练掌握两个定理是灵活解题的关键，属于中档题．11．数列{a n｝满足a1=1,对任意的n∈N＊都有a n+1=a1+a n+n,则=（）A．B．C．D．
【考点】数列递推式．
【分析】利用累加法求出数列的通项公式，得到．再由裂
项相消法求得答案．
【解答】解:∵a1=1，
∴由a n+1=a1+a n+n，得
a n+1﹣a n=n+1,
则a2﹣a1=2，
a3﹣a2=3，
…
a n﹣a n
=n（n≥2)．
﹣1
累加得：a n=a1+2+3+…+n=（n≥2）．
当n=1时，上式成立，
∴．
则．
∴=2=
．
故选：B．
【点评】本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和,是中档题．
12．对于△ABC,有如下四个命题:
①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形，
②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形
③若sin2A+sin2B＞sin2C,则△ABC是钝角三角形
④若，则△ABC是等边三角形
其中正确的命题个数是(）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①若sin2A=sin2B，则2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或C=，可知①不正确．
②若sinA=cosB，找出∠A和∠B的反例，即可判断则△ABC是直角三角形的正误．
③由sin2A+sin2B＞sin2C,结合正弦定理可得a2+b2＞c2,再由余弦定理可得cosC＞0，所以C 为锐角．
④利用正弦定理，化简，可得sin=sin=sin,从而可得==．【解答】解：①若sin2A=sin2B，则2A=2B，或2A+2B=π，即A=B 或C=，故△ABC
为等腰三角形或直角三角形，故①不正确．
②若sinA=cosB，例如∠A=100°和∠B=10°，满足sinA=cosB,则△ABC不是直角三角形,故②不正确．
③由sin2A+sin2B＞sin2C，结合正弦定理可得a2+b2＞c2，再由余弦定理可得cosC＞0，∴C 为锐角,故③不正确．
④∵，∴sin=sin=sin，由于半角都是锐角,∴==,∴△ABC是
等边三角形,故④正确
故选A．
【点评】本题是基础题，考查三角形的判断，三角方程的求法，反例法的应用,考查计算能力，逻辑推理能力．
二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）
13．已知△ABC中，a=1，C=,S△ABC=2a，则b=．
【考点】正弦定理．
【分析】根据条件和三角形的面积公式列出方程，求出b的值．
【解答】解：△ABC中，∵a=1,C=，S△ABC=2a，
∴，解得b=，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的面积公式，属于基础题．
14．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠,本题一共有7层．每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有3盏灯．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，以为公比的等比数列,由此能求出结果．
【解答】解：设第一层有a盏灯,
则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项,以为公比的等比数列，
∴=381，
解得a=192，
∴顶层有=3盏灯．
故答案为：3．
【点评】本题考查顶层有几盏灯的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
15．如图,海上有A，B两个小岛相距10km,船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°，现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OC=BO．设AC=10km，则OA2+OB2=200．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】根据OC=BO，分别在△OAC与△OAB中利用余弦定理，可得300=OA2+OB2+OAOB 且100=OA2+OB2﹣OAOB，两式联解即可得出OA2+OB2．
【解答】解：在△OAC中,∠AOC=120°，AC=10,
根据余弦定理，可得OA2+OC2﹣2OAOCcos120°=AC2=300，
又∵OC=BO，∴300=OA2+OB2﹣2OAOBcos120°，即300=OA2+OB2+OAOB…①
在△OAB中,AB=10，∠AOB=60°,
∴由余弦定理，得OA2+OB2﹣2OAOBcos60°=100,即100=OA2+OB2﹣OAOB …②，
①+②，可得OA2+OB2=200，
故答案为：200．
【点评】本题给出实际应用问题，着重考查了余弦定理，考查了解三角形知识在实际问题中的应用，属于中档题．
16．已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．
【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．
【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列,设中间的一条边为x，则最大的边为x+4,最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解:设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，
则cos120°==﹣,
化简得:x﹣16=4﹣x，解得x=10，
所以三角形的三边分别为：6，10，14
则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．
故答案为:15
【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质,灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17．已知向量=(4，2)，=(﹣1，2），=（2,m)．
（1）若＜m2,求实数m的取值范围；
（2）若向量与平行，求m的值．
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．
【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式解不等式＜m2，即可求实数m的取值范围；(2）若向量与平行,根据向量平行的坐标公式进行求解即可求m的值．
【解答】解:,∴，
∴得m＞4或m＜﹣2．
（2）=（6，2+m）,
若向量与平行，
则6×2+(2+m）=0，
即m+14=0，
得m=﹣14．
【点评】本题主要考查向量数量积的应用,根据向量数量积的坐标公式是解决本题的关键．
18．等差数列｛a n}中,a7=8，a19=2a9．
（1）求｛a n｝的通项公式；
（2）设b n=求数列{b n｝的前n项和S n．
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式．
【分析】（Ⅰ）由已知利用等差数列通项公式列出方程组,求出等差数列{a n}的首项和公差，由此能求出｛a n}的通项公式．
（Ⅱ）由，利用裂项求和法能求出数列｛b n}的前n项和．
【解答】（本题12分）
解：（Ⅰ）设等差数列｛a n｝的公差为d，
∵等差数列{a n｝中，a7=8,a19=2a9．
∴,
解得a1=2，d=1，
∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1，
∴{a n}的通项公式为a n=n+1．…(6分)
（Ⅱ）∵a n=n+1,
∴，…（8分）
所以．…（12分）
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证:a,b,c成等比数列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．
【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．
【分析】（I）由已知,利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB(sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证(II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式
S=可求．
【解答】(I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC
∴sinB（）=
∴sinB=
∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc
∴sinBsin（A+C)=sinAsinC,
∵A+B+C=π
∴sin（A+C）=sinB
即sin2B=sinAsinC，
由正弦定理可得:b2=ac,
所以a，b，c成等比数列．
（II）若a=1,c=2，则b2=ac=2，
∴，
∵0＜B＜π
∴sinB=
∴△ABC的面积．
【点评】本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理的应用及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用．
20．已知数列｛a n}的前n项和为S n,且S n=2a n﹣2．
（1)求数列｛a n}的通项公式；
（2)设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n,求（n﹣8）b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）首先利用递推关系式求出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1)的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围．【解答】解:（1)由S n=2a n﹣2，
当n=1时，求得:a1=2，
当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1，
所以:（常数）,
所以：数列{a n }是以a 1=2为首项，2为公比的等比数列． 所以：．…（6分）
(2)已知：b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ，
=1+2+3+…+n=，
由于（n ﹣8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立, 所以
对任意的n ∈N +恒成立． 设，则当n=3或4时，c n 取最小值为﹣10．
所以:k ≤﹣10．…（12分）
【点评】本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列是等比数列,等比数列通项公式的求法，数列的求和,及恒成立问题的应用．
21．在△ABC 中,a ，b,c 分别是角A ，B ，C 的对边，且=﹣．
（1）求角B 的大小;
（2）若b=，a+c=4，求△ABC 的面积．
【考点】余弦定理;正弦定理．
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得2sinAcosB+sinA=0,结合sinA ≠0，可得，结合范围0＜B ＜π，即可得解B 的值． （2）由余弦定理可得b 2=（a+c ）2﹣2ac ﹣2accosB ，由已知可解得ac=3，理由三角形面积公式即可得解．
【解答】(本题满分为12分）
解：(1）在△ABC 中，∵
,由正弦定理得：，（2分)
∴2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
∵A+B+C=π,
∴2sinAcosB+sinA=0，（4分）
∵sinA ≠0， ∴，（5分） ∵0＜B ＜π， ∴
． （6分) （2)∵将，a+c=4，代入b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，
即b 2=（a+c ）2﹣2ac ﹣2accosB ，（8分）
∴，可得ac=3，（10分）
于是,．（12分)
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想,属于中档题．
22．已知数列{a n｝满足：，且b n=a2n﹣2，n∈N＊
（Ⅰ)求a2，a3,a4；
(Ⅱ)求证：数列｛b n｝是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）情形下,设，设S n=C1+C2+…+C n，求证:S n＜6．
【考点】数列与不等式的综合．
【分析】（I）分别将n=2，3，4代入到a n+1=中即可得到a2，a3,a4
的值．
（II）根据b n=a2n﹣2,然后进行整理即可得到b n+1=b n，从而证明数列{b n}是等比数列，进
而可求出数列{b n}的通项公式．
（III）先根据（2）中{b n｝的通项公式求出C n，然后利用错位相减法求得数列｛C n｝的前n 项和，进而求得S n与6的大小．
【解答】解：(Ⅰ），，(12分）
（Ⅱ）（5分）
=,又
∴数列{b n}是公比为的等比数列，且．(7分) （Ⅲ）由（Ⅱ)得，∴．
令．①
∴②
①﹣②得。