随机过程各态历经性的检验

随机过程各态历经性的检验[随机过程作业]
随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。

确定随机过程X(t)的数字特征，就需要预先确定X(t)一族样本函数或一维、二维分布函数，但这实际上是不易办到的。

所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程。

基本概念及原理：
设是平稳过程
●如果下列均方极限存在：
则称<X(t)>为在(-∞,+∞)上的时间平均。

●如果对于固定τ，下列均方极限存在：
则称<X(t)X(t+τ)> 为在(-∞,+∞)上的时间相关函数。

◆如果以概率1成立
<X(t)> = m
x
则称的均值具有各态历经性。

◆如果对于任意的实数τ，以概率1成立
<X(t)X(t+τ)> = R
(τ)
x
则称的相关函数具有各态历经性。

◆如果的均值和相关函数都具有各态历经性，则称具有各态历
经性，或称为各态历经过程。

这里，我们使用类似于处理随机变量的方法，通过统计实验，对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数，由所取得的数据，求出这些数字特征的统计平均(集合平均)。

然后随便选一条样本函数，计算出这条样本函数的时间平均。

最后比较统计平均和时间平均来检验平稳随机过程的各态历经性。

检验步骤：
1．求统计平均：
对平稳随机过程进行n次随机实验，得到n个样本函数x
1(t),x
2
(t), (x)
n
(t)。

对固定的t，其均值函数：；
对固定的τ，其相关函数：。

为了精确，n需要取相当大。

2．求时间平均：
假设平稳随机过程的一个样本函数为,在[0,T]上对它进行采样，当T和N充分大，且T/N充分小时，该过程的时间平均近似等于样本函数x(t)在采样点上的函数值的算术平均值，
即。

考虑，其中r固定，r=0,1,2,…,m，当T和N-r充分大，且T/N充分小时，该过程的相关
函数可近似表示为。

3．检验：
分别求出平稳随机过程的统计平均m (t)，R (τ)和时间平均m’(t)，R’(τ)后，分别绘制出它们的曲线，比较它们的近似性，来检验随机过程是否具有各态历经性。

编程解决问题
检验随机相位正弦波
的各态历经性，
1．其中A=5，ω=20π，Θ~U(0,2π)。

2．将上题中条件改为A~U(2,5)，A与Θ不相关，其它条件不变，再次检验其各态历经性。

本程序是在Visual C++ 6.0中实现的。

程序界面如下：
关键源代码如下：
//申请times*1200大小的数组来存储times个样本的信息，每个样本占用1200个元素 sp=new double[times*1200];
m1=new double[1200];
memset(m1, 0,1200*sizeof(double));
m2=0;
r1=new double[600];
memset(r1, 0, 600*sizeof(double));
r2=new double[600];
memset(r2,0, 600*sizeof(double));
//采样间隔,时间1.2，共12个周期，采样长度1200
double interval=1.2/1200;
int i=0;
int j=0;
//根据选项初始化随机序列
if (0==radio)
{
//生成times个样本函数
for (i=0; i<times; i++)
{
//产生一个(0,2π)之间的随机数
double
thet=double(rand())/(double(RAND_MAX)+1)*2*PI;
for (j=0; j<1200; j++)
{
sp[1200*i+j]=5*cos(20*PI*inter val*j+thet);
}
}
}
else
{
for (i=0; i<times; i++)
{
//产生一个(0,2π)之间随机数
double
thet=double(rand())/(double(RAND_MAX)+1)*2*PI;
//产生一个(2,5)之间的随机数
double
a=double(rand())/(double(RAND_MAX)+1)*3+2;
for (j=0; j<1200; j++)
{
sp[1200*i+j]=a*cos(20*PI*inter val*j+thet);
}
}
}
//用统计平均的方法计算均值函数
for (i=0; i<1200; i++)
{
for (j=0; j<times; j++)
{
m1[i]+=sp[1200*j+i];
}
m1[i]/=times;
}
//用统计平均的方法计算相关函数
for (i=0; i<600; i++)
{
for (j=0; j<times; j++)
{
r1[i]+=sp[1200*j]*sp[1200*j+i];
}
r1[i]/=times;
}
//计算任意一条(这里取第一条)样本函数的时间均值
for (i=0; i<1200; i++)
{
m2+=sp[i];
}
m2/=1200;
//计算任意一条(这里取第一条)样本函数的相关函数
for (i=0; i<600; i++)
{
for (j=0; j<1200-i; j++)
{
r2[i]+=sp[j]*sp[j+i];
}
r2[i]/=1200-i;
}
1．当A=5，ω=20π，Θ~U(0,2π)时，检验结果如下图：
2．当将上题中条件改为A~U(2,5)，A与Θ不相关，其它条件不变时，检验结果如下图：参考文献：
[1] 张卓奎，陈慧婵。

随机过程。

西安：西安电子科技大学出版社，2003
[2] 何迎晖，钱伟民。

随机过程简明教程。

上海：同济大学出版社，2004
[3] 陈良均，朱庆棠。

随机过程及应用。

北京：高等教育出版社，2003
[4] 刘家焜，王家生，张玉环。

应用概率统计。

北京：科学出版社，2004
[5] 盛骤，谢式千，潘承毅。

概率论与数理统计。

北京：高等教育出版社，1989
[6] 苏海岛，黎连业等。

C语言数值计算常用程序。

北京：警官教育出版社，1996。