【八下数学】人教版八年级数学下册18.1.2_平行四边形的判定(全)ppt课件—精选资料

Ａ
Ｄ
E
F
Ｂ
Ｃ
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，且AB∥CD． ∴ ∠BAE=∠DCF． ∵ BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， ∴ BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°． ∴ △ABE≌△CDF （AAS）． ∴ BE=DF． ∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形
求证：四边形EFGH是平行四边形．
A
H
D
E
G
B
F
C
证明：连结AC，△DAG中， ∵ AH=HD，CG=GD，
A
H
∴ HG∥AC，HG=AC
（三角形中位线性质）．
E
同理EF∥AC，EF=AC．
∴ HG∥EF，且HG=EF．
B
F
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边 形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC，∠D＝∠B．
∵ E，F分别是边AB，CD的中点，
∴BE＝DF
A
D
∴△ADF≌△CBE
∴AF＝CE
E
又∵AE＝CF
∴四边形AECF是平行四边形．
B
小练习
如下图， ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与 AD，BC分别相交于点E，F．连接EB，EC．求证:四边形AECF 平行四边形．
∴ AO=CO，BO=DO ∵AE=CF ∴AO－AE=CO－CF ∴EO=FO 又 BO=DO ∴ 四边形BFDE是平行四边形
A
E
B
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD ∥ BC且AD =BC ∴∠EAD=∠FCB 在△AED和△CFB中
D
AE=CF ∠EAD=∠FCB
AD=BC
F
∴△AED ≌△CFB(SAS)
证明：连接AC
∵AD∥BC
B
∴∠DAC=∠ACB
又∵AD=BC，AC=AC，
∴ΔABC≌ΔCDA
∴∠BAC=∠ACD
∴AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
平行且相
D C 你还有其他 证法吗？
抢答
在 ABCD中，E、G是AD的三等分点，F、H是BC的 三等分点，则图中的平行四边形有______个 .
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是 平行四边形)
知识要点
平行四边形的判定定理4:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
A
符号语言：
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形．
小练习
已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找 图中的平行四边形，并说明理由．
1
2
A
D
E
B
C
知识要点
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
（1）一个三角形的中位线共有几条？ （2）三角形的中位线与中线有什么区别？
答: (1)一个三角形的中位线共有三条； (2)三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中 位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．
三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
答：三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与 第三边，且等于第三边的一半．
知识要点
三角形中位线的性质
三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
探究
利用这一定理，你能证明出在前面思考题中分割出来的四 个小三角形全等吗？并说明理由.
A
D
E
B
F
C
做一做
A、B两点的距离是____m，理由是_______________________．
40
中位线等于第三边的一半．
抢答
如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB=____cm；若BC=9cm，则
DE=_______cm；
10
（2）中线AF与DE中位4.5线有什么特殊的关系？证明你的猜
ü 通过平行四边形判定方法的灵活运用，培养主动探索的精神及创 识； ü 通过一题多变与一题多解，引发求异创新的欲望．
教学重难点
重点：
平行四边形的判定方法及应用．
难点：
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
探究
张师傅手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制 个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？并说明理由．
同理，△BOC≌△AOD →
∠CAD＝∠ACB→AD∥BC
四边形ABCD是平行四边形．
结论：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
知识要点
平行四边形判定方法1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
平行四边形判定方法2
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【例1】已知: ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点， 边形AECF是平行四边形．
行四边形）．
A
E
∴ BE=DF．
B
F
C
知识要点
平行四边形的判定定理3:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
A 符号语言：
∵AB CD
B
∴四边形ABCD是平行四边形．
D C
【例3】已知：如图， ABCD中，E、F分别是AC上两点， BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
A
F
B
E
O
C
D
解：有6个平行四边形，分别是：
ABOF， ABCO， BCDO，
CDEO， DEFO， EFAO．
理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是 行四边形．其它五个同理．
探究
取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根 条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
E
四边形ABDE和四边形BCDE是平行四边 形.
理由:一组对边平行且相等的四边形平行四
边形．
A
D B
小练习
已知：如图，在 ABCD中，AE、CF分别是 ∠DAB、∠BCD的平分线．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
D
E
C
A
F
B
提示：利用“一组对边平行且相等的四边形平行四边形”．
【例4】：如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点， 证：DE∥BC且DE= BC．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴OA＝OC，AD∥BC,
A
E
∴∠AEF＝∠CFE
又∵∠AOE＝∠COF
O
∴△AOE≌△COF
∴OE＝OF
B
∴四边形AECF是平行四边形.
F
小练习
已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点， 并且OE=OF．
求证：四边形BFDE是平行四边形
证明：作对角线BD，交AC于点O．
B
F
C
A
E
D
N
M
B
F
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AN∥BC且AN∥BC． ∵ E，F分别是AD，BC的中点 ∴DE＝BF, ∵ BM=DN
∴EN＝MF∴四边开有EMFD为平行四边形 ∴ EM=FN
小练习
(1)已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
∴四边形ABCD为平行四边形．
探究
将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡 筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD ．想一想， △AOB≌△COD吗？四边形ABCD的对边之间有什么关系？你得 什么结论？
B
A
O
C
D
B
O
C
D
△AOB≌△COD → A ∠BAC＝∠ACD→AB∥CD
C
∴DE=BF
同理可证：BE=DF
四边形BFDE是平行四边形．
已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，当 点E，F满足什么条件时，四边形BFDE是平行四边形？
A
D
E
OF
B
C
小练习
已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，
C′A′∥AC．
求证：
（1） ∠ABC=∠B′， ∠CAB=∠A′，
课堂小结
平
ü两组对边分别平行的四边形是平行四边形
行 四 边
18.1.2 平行四边形的判定
教学目标
【知识与能力】
ü 系统掌握平行四边形的判定定理；
ü 灵活运用判定定理进行有关判断和说理叙述．
【过程与方法】
ü 通过平行四边形判定定理的归纳与说理，培养的归纳推理能力， 数学的严密性； ü 通过尝试练习和变式尝试，培养分析问题和解决问题的能力．
【情感态度与价值观】
想．
A
D
E
B
C F
小练习
三角形的周长为18cm，它的三条中位线围成 的三角形的周长是多少?为什么?
A
9cm;
E
三角形的中位线平行与第三边，且等 D
于第三边的一半．
B
F
小练习
已知：在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中
点，M，N在CB，AD的延长线上，且
BM=DN．
求证：EM=FN．
A
E
D
N
M
∠BCA＝∠C′；
（2） △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的
中点．
C′
A
B′
B
C
A′
证明：（1） ∵ A′B′∥BA，C′B′∥BC，
∴ 四边形ABCB′是平行四边形． ∴ ∠ABC＝∠B′（平行四边形的对角相等）． 同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′． （2） 由（1）证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平
新课导入
回顾旧知
下面图片中，哪些是平行四边形？你是怎样判断的？
平行四边形的主要特征
1．边： a．平行四边形两组对边分别平行． b．平行四边形两组对边分别相等．
2．角：平行四边形两组对角分别相等． 3．对角线： 平行四边形对角线互相平分 .
怎样证明对边相等或对角 线相等或对角线互相平分的四 边形是不是平行四边形？
形． ∴ AB＝B′C， AB＝A′C（平行四边形的对边相等）． ∴ B′C＝A′C． 同理 B′A＝C′A， A′B＝C′B． ∴ △ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中
做一做
小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六 形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．
现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次焊接成一个 有45°角的平行四边形 (不能有 余料)， 请你设计一种方案，并说明该方案 正确的理由．
B
C
B E F C
D A
B D
C
A
F
B
E
C
D
抢答
如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和
BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么
6
A
E
G
D
BFH
C
小练习
已知：如图， ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求 BE=DF．
A
E
D
B
F
C
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥CB，AD=CD．
∵ E、F分别是AD、BC的中点，
∴ DE∥BF，且DE=AD，BF=BC．
∴ DE=BF．
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边
边形）．
探究
已知：四边形ABCD， ∠A=∠C，∠B=∠D 求证：四边形ABCD是平行四边形．
A B
D C
证明：
∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）
又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 °
∴ 2∠A+ 2∠B=360 ° 即∠A+ ∠B=180 °
∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行） 同理可证AB∥CD
探究
在一方格纸上，画一个有一组对边平行且相等的四边形．
步骤1：画一线段AD． 步骤2：平移线段AD到BC．
根据平移的特征，AD、BC有 怎样的关系？
连结AB、DC，得到四边形ABCD， 它是一组对边平行且相等的四边形
A B
探究
已知：在四边形ABCD中， AD BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形． A
A
D
E
B
C
方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由
△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，
BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，
DF=BC，因为DE= DF，所以DE∥BC且DE=1BC1 ．22A
D B
E
F
C
方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且 AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形A 平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE= DF，所以DE 且DE= BC．
A E
OF
D ∵四边形ABCD是平行四边形
∴ BO=DO 又∵ EO=FO
B
C
∴ 四边形BFDE是平行四边形
【例2】已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两 并且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
A
E
OF
B
C
还有其他证明方法吗？
证明：连接对角线BD，交AC于点O
D∵四边形ABCD是平行四边形
A●
●
D
AB＝CD AD＝BC
●B
●
上述问题可归结为： 已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC． 求证：四边形ABCD为平行四边形．
证明：连接AC．
A
B
∵ AB=CD，AD=BC，AC＝AC
∴△ACD≌△CAD（SSS）
∴∠CAB＝∠DCA
∴AB∥CD
D
C
同理，∠CAD＝∠ACB
∴ AD∥BC