天津市第一中学2017届高三上学期第三次月考数学(理)试题 含答案

试卷（理)
第Ⅰ卷(本卷共8道题，每题5分,共40分）
一、选择题:
1。

设全集U R =，集合2
{|log
2}A x x =≤，{|(3)(1)0}B x x x =-+≥，则()U C B A =∩( ）
A ．(,1]-∞-
B ．(,1](0,3)-∞-∪
C ．[0,3)
D ．(0,3) 2。

下列说法正确的是（ )
A ．若a R ∈，则“11a
<”是“1a >”的必要不充分条件
B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件
C ．若命题:p “sin cos 2x R x x ∀∈+≤，”，则p ⌝是真命题
D ．命题“0
x
R ∃∈，200230x x ++<使得”的否定是“2230x R x x ∀∈++>，”
3。

设变量,x y 满足约束条件2
024x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩
，则目标函数23z x y =+的最小值为
（ )
A ．5
B ．4
C 。

3
D ．2 4.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( ）
A ．1y x =+的图象上
B ．2y x =的图象上
C 。

2x y =的图象上
D ．1
2x y -=的图象上
5。

在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ,C 所对的边，4cos 5
A =，2b =，
面积3S =，则a 为（ ） A
． B
D
6.数列{}n
a 满足11a
=,对任意的*
n N ∈都有11n n a a a n +=++，则
12
2016
111a a a +++=
（ ）
A ．20152016
B ．20162017
C 。

40342017
D ．40322017
7。

已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>与抛物线22(0)y px p =>的交点为A B 、,直
线AB 经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（
) A 1
B ．3
C D ．2
8。

已知函数
2ln 2,0()3,02
x x x x f x x x x ->⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直
线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2
B ．13(,)24
C 。

1
(,1)3
D ．1(,2)2
第Ⅱ卷（本卷共12道题，共110分)
二、填空题:
9.若复数212bi i
-+（b R ∈，i 为虚数单位)的实部与虚部互为相反数,则
b =
．
10.某几何体的三视图如图所示（单位：cm )，则该几何体的体积是___________3
cm ．
11.若1
(21)6m
x dx -=⎰
，则二项式3(12)m x -的展开式各项系数的和
为 ．
12。

在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线M 的极坐标方程为
2cos()14
π
ρθ+=,曲线N
的参数方程
为244x t y t
⎧=⎨=⎩（t 为参数).若曲线M
与N 相交于A B ，两点，则线段AB 的长等
于 ．
13。

ABC ∆是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP BP •的取值范围是 ．
14。

若关于x 的不等式|||1|||x x x a +->>对x R ∀∈恒成立，则a 的取值范围是 ．
三、解答题 （共6题，80分)
15。

函数()cos()(0)2
f x x ππϕϕ=+<<的部分图象如图所示。

(1）求ϕ及图中0
x 的值;
（2）设1()()()3
g x f x f x =++，求函数()g x 在区间11[,]23
-上的最大值和最小值。

16。

从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回），则实验结束。

（1）求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率； （2）记实验次数为X ,求X 的分布列及数学期望.
17。

如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==。

(1)求证://EG 平面ADF ；
（2）求二面角O EF C --的正弦值;
（3）设H 为线段AF 上的点,且23
AH HF =，求直线BH 和平面CEF 所成角
的正弦值。

18. 已知函数()log k
f x x =（k 为常数,0k >且1k ≠）,且数列{()}n
f a 是首项为4，
公差为2的等差数列。

（1）求证：数列{}n
a 是等比数列；
（2）若()n
n n b a f a =+，当2
k =
时，求数列{}n
b 的前n 项和n
S 的最小值；
(3)若lg n
n n c
a a =，问是否存在实数k ,使得{}n c 是递增数列?若存在，求出k
的范围；若不存在，说明理由。

19。

已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的焦距为22其上下顶点分别为12C C ，,
点1
2(1,0)(3,2)A B AC
AC ⊥，，。

（1)求椭圆E 的方程及离心率;
（2）点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠，过点A 任意作直线l 与椭圆E 相交于点
,M N 两点，设直线MB BP NB ，，的斜率依次成等差数列，探究,m n 之间是
否满足某种数量关系，若是,请给出,m n 的关系式,并证明;若不是，请说明理由。

20. 已知函数()2ln h x ax x =-+。

（1)当1a =时,求()h x 在(2,(2))h 处的切线方程； (2）令2
()()2
a f x x
h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且121
2
x x >
•，求实数a 的取值范围；
(3）在(2)的条件下,若存在0[12
x
∈+
，使不等式20()ln(1)(1)(1)2ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立,求实数m 的取值范围。

参考答案
一、选择题
1—4: DAAD 5-8:BDBA 二、填空题 9。

23
- 10。

163
11。

—1 12。

8
13.[1,13] 14.(0,1) 三、解答题
15.解：（1）由题图得3
(0)2f =
,所以3cos 2
ϕ=，因为02
πϕ<<，故6
πϕ=.
由于()f x 的最小正周期等于2，所以由题图可知0
12x
<<，故
0713666
x πππ
π<+<，
33sin 3sin()26
x x x π
πππ=
-=-。

当11[,]23x ∈-时，2663x ππππ-≤-≤.所以1sin()126
x ππ-≤-≤,
故62x πππ-=，即13
x =-时，()g x 取得最大值3；
当6
6
x πππ-=-，即13
x =时，()g x 取得最小值3
2
-。

16。

解：（1)11
26
283()7
C C P A C ==
； （2）∵1122622813(1)28C C C P X C +===2112642222
869
(2)28C C C C P X C C +==⨯=；； 22112642222228645(3)28C C C C C P X C C C +==⨯⨯=；2222
64222222
86421
(4)28
C C C C P X C C C C ==⨯⨯⨯=。

∴X 的分布列为
X 1
2 3
4
P
13
28
928
528
128
1395125
()12342828282814
E x =⨯+⨯+⨯+⨯=。

17.试题解析：依题意,OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为点，分别以AD BAOF ，
，的方向为x 轴,y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得
(0,0,0)O ，(1,1,0)A -，(1,1,0)B --，(1,1,0)C -，(1,1,0)D ，(1,1,2)E --，(0,0,2)F ,(1,0,0)G -.
(1)证明：依题意(2,0,0)AD =,(1,1,2)AF =-。

设1(,,)n x y z =为平面ADF 的法向量,则1100
n AD n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩••，即20
20x x y z =⎧⎨
-+=⎩.
不妨设1z =，可得1
(0,2,1)n =，又(0,1,2)EG =-,可得1
0EG n
=•,
又因为直线EG ⊄平面ADF ,所以//EG 平面ADF 。

（2）解：易证：(1,1,0)OA =-为平面OEF 的一个法向量。

依题意(1,1,0)EF =，(1,1,2)CF =-。

设2(,,)n x y z =为平面CEF 的法向量,则220
n EF n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩••，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩.
不妨设1x =，可得2
(1,1,1)n =-.
因此有222cos
,||
|
OA n OA n OA n =
=-
•|?23sin
,3OA n =， 所以，二面角O EF C --的正弦值为。

(3)解:由23
AH HF =，得25
AH AF =。

因为(1,1,2)AF =-，所以2224(,,)5
5
55
AH AF ==-，有334(,,)555
H -,从而2
84(,,)555
BH =，因此222cos
,21||
BH n BH n BH n =
=
-
•|?|.所以直线BH
与平面CEF 。

18。

解：(1）证明：由题意可得()42(1)22n
f a n n =+-=+, 即lo
g 22k
n a n =+，
∴22n n a
k +=,
∴2(1)2
2122n n n n a k k a k
++++==.
∵常数0k >且1k ≠， ∴2
k 为非零常数，
∴数列{}n
a 是以4
k 为首项，2
k 为公比的等比数列。

（2）当k =
时，1
12n
n a
+=
,()22n
f a n =+，
所以21
11(1)
22411423122212
n n n n S n n n +-++=+=++--
, 因为1n ≥，所以21
11322n n n +++-是递增数列,
因而最小值为1111713244
S =++-=.
由（1)知，22lg (22)lg n n
n n c a a n k k +==+•,
要使1n
n c
c +<对一切*n N ∈成立，
即2
(1)lg (2)lg n k n k k +<+••对一切*n N ∈恒成立;
当1k >时，lg 0k <，2
1(2)n n k +>+对一切*
n N ∈恒成立，
只需2
min 1
(
)2
n k
n ++<。

∵11122
n n n +=-++单调递增，
∴当1n =时,min 12()23
n n +=+。

∴2
2
3k
<
，且01k <<,
∴03
k <<.
综上所述，存在实数(0,(1,)3
k ∈+∞∪满足条件. 19。

解:（1）∵1
2AC AC ⊥，1(0,)C b ,2(0,)C b -，(1,0)A ，
∴2
1
2
10AC AC
b =-=•，∴21b =.
∵2c =,
解得c =2223a b c =+=.
∴椭圆E 的方程为2
213
x y +=.
离心率c e a ==
= （2),m n 之间满足数量关系1m n =+.下面给出证明:
①当取M
，(N
时，MB k =
,23BP n k m -=-
，NB k =.
∵直线MB BP NB ，，
的斜率依次成等差数列，∴223n m -⨯=
-，化
为:1m n =+.
②当直线MN 的斜率不为0时，设直线MN 的方程为：1ty x +=,1
1
(,)M x y ，
22(,)N x y .
联立22
113
ty x
x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,化为:22
(3)220t y ty ++-=， ∴12223t y
y t -+=
+，12
22
3
y y t -=+。

112
3MB y k x -=
-,23BP n k m -=-,2223
NB y k x -=-。

∵直线,,MB BP NB 的斜率依次成等差数列， ∴1
2
1222
2233
3
y y
n m
x x ---⨯=+---, 由于1
2
1221121122(2)(2)(2)(2)
3
3(2)(2)
y y
y ty y ty x x ty ty ----+--+=
---- 12122
12122(22)()8
22()4ty y t y y t y y t y y -+++=
=-++， ∴213n m
-=-,化为:1m n =+。

20。

解:（1)1'()2h x a x
=-+，
1a =时，()2ln h x x x =-+，1
'()2h x x =-+
，(2)4ln 2h =-+,3'(2)2
h =-. ()h x 在(2,(2))g 处的切线方程为322ln 220x y +-+=.
（2）
2121
'()2(0)ax ax f x ax a x x x
-+=-+=>，
2'()0210f x ax ax =⇔-+=，
所以21212440
2
112a a x x x x a ⎧
⎪∆=->⎪+=⎨⎪⎪=>
⎩
,所以12a <<. (3)由2210ax ax -+=
，解得1a x a
=
，2a x a
+=
，
学必求其心得，业必贵于专精 ∵12a <<,
∴2112x
=<+。

而()f x 在2()x
+∞上单调递增，∴()f x
在[12]2+上单调递增.
∴在[12]上，max ()(2)2ln 2f x f a ==-+。

所以，
“存在0[12]x ∈,使不等式20()ln(1)(1)(1)2ln 2f x a m a a ++>--++恒成立"等价于“不等式22ln 2ln(1)(1)(1)2ln 2a a m a
a -+++>--++恒成立"， 即，不等式2ln(1)ln 210a ma a m +--+-+>对任意的(12)a a <<恒成立。

令2()ln(1)ln 21g a a ma a m =+--+-+，则(1)0g =。

2122'()2111
ma ma a g a ma a a ---=--=++. ①当0m ≥时，222'()01
ma ma a g a a ---=<+,()g a 在(1,2)上递减。

()(1)0g a g <=，不合题意. ②当0m <时,12(1)2'()1ma a m g a a -++=+。

若11(1)2m <-+,记1min(2,1)2t m =--,则()g a 在(1,)t 上递减. 在此区间上有()(1)0g a g <=，不合题意。

因此有01112m m <⎧⎪⎨--≤⎪⎩
,解得14m ≤-， 所以,实数m 的取值范围为1(,]4-∞-.。