2020年广东省江门市中学高二数学理测试题含解析

2020年广东省江门市中学高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知点M（a，b，c）是空间直角坐标系O﹣xyz中的一点，则与点M关于z轴对称的点的坐标是（）
A．（a，﹣b，﹣c）B．（﹣a，b，﹣c）C．（﹣a，﹣b，c）D．（﹣a，﹣b，﹣c）
参考答案：
C
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】计算题；规律型；对应思想；数学模型法；空间向量及应用．
【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为只须将横坐标、纵坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z），
∴点M（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为：
（﹣a，﹣b，c）．
故选：C．
【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．
2. （）
A. B. C. D.
参考答案：
B
选B.
3. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（）
A．B．C．D．参考答案：
C
略
4. 已知数列{a n}的前n项的和S n=a n﹣1（a是不为0的实数），那么{a n}( )
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
参考答案：
C
【考点】等比关系的确定．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】由题意可知，当a=1时，S n=0，判断数列是否是等差数列；当a≠1时，利用
，判断数列{a n}是等差数列还是等比数列．
【解答】解：①当a=1时，S n=0，
且a1=a﹣1=0，
a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=0，（n＞1）
a n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2=（a n﹣1﹣1）﹣（a n﹣2﹣1）=0，
∴a n﹣a n﹣1=0，
∴数列{a n}是等差数列．
②当a≠1时，
a1=a﹣1，
a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=a n﹣a n﹣1，（n＞1）
a n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2=（a n﹣1﹣1）﹣（a n﹣2﹣1）=a n﹣1﹣a n﹣2，（n＞2）
，（n＞2）
∴数列{a n}是等比数列．
综上所述，数列{a n}或是等差数列或是等比数列．
故选C．
【点评】本题考查数列的概念，等差数列与等比数列的判定，解题时要注意a=0的情况，避免丢解以及n的范围满足数列的定义．
5. 已知平面内两个定点，过动点作直线的垂线，垂足为.若
，则动点的轨迹是（）
A. 圆
B. 抛物线
C. 椭圆
D. 双曲线
参考答案：
D
6. 已知向量，，若与共线，则实数m的值为（）
A．B．－1 C．D．－2
参考答案：
C
7. 直线的参数方程是（）。

A．（t为参数）B．（t为参数）
C．（t为参数）D．（为参数）
参考答案：
C
略
8. 数列的前n项和，则的值为（）
A．80 B．40 C．20D．10
参考答案：
C 9. 某家庭电话在家里有人时，打进电话响第一声被接的概率为0．1，响第二声时被接的概率为0．2，响第三声时被接的概率为0．4，响第四声时被接的概率为0．1，那么电话在响前4声内被接的概率是（）
A．0．992 B. 0．0012 C．0.8 D．0．0 008
参考答案：
C
略
10. 对于直角坐标系内任意两点P1（x1，y1）、 P2（x2，y2），定义运算
，若M是与原点相异的点，且
，则∠MON（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 从1，3，5，7四个数中选两个数字，从0，2，4三个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为_____________
参考答案：
60
【分析】
首先要分有0和没有0进行考虑，由于最后是奇数，所以有0时，0只能在中间，没有0时，偶数只能在前两位，然后分别求解即可.
【详解】解：分两类考虑，第1类：有0，0只能排中间，共有种；第2类：没有0，且偶数只能放在前两位，共有；所以总共有12+48=60种
故答案为：60.
【点睛】本题主要考查计数原理的运用，采用先取后排的原则，排列时要注意特殊优先.
12. 已知x与y之间的一组数据：
则y与x的线性回归方程为必过点__________．参考答案：
；
【分析】
求出样本中心点即得解.
【详解】由题得.
所以样本中心点为.
所以线性回归方程必过点（5,4）.
故答案为：
【点睛】本题主要考查平均数的计算，考查回归直线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
13. 已知复数为纯虚数，则m=________
参考答案：
3
【分析】
根据纯虚数的定义，可求得的值。

【详解】因为是纯虚数，
属于根据纯虚数定义可知且
可解得，故答案为3.
【点睛】本题考查了纯虚数的定义，注意实部为0且虚部不为0，属于基础题。

14. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。

参考答案：
38
略
15. 复数z满足方程＝4，那么复数z在复平面内对应的点P的轨迹方程____________ 参考答案：
16. 下面四个命题① a，b均为负数，则②③
④
其中正确的是
（填命题序号）
参考答案：
①②④
17. 定义在上的可导函数,已知的图象如图所示，则的增区间
是 .
参考答案：
R
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知圆和定点，P是圆F1上任意一点，线段PF2的垂直平分线交PF1于点E，设动点E的轨迹为C．
（1）求动点E的轨迹方程C；
（2）设曲线C与x轴交于A，B两点，点M是曲线C上异于A，B的任意一点，记直线的斜率分别为，．证明：是定值；
（3）设点N是曲线C上另一个异于M，A，B的点，且直线NB与MA的斜率满足，试探究：直线MN是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．
参考答案：
（1）依题意可知圆的标准方程为，
因为线段的垂直平分线交于点，所以，
动点始终满足，故动点满足椭圆的定义,
因此，解得，
椭圆的方程为.……………………………………………………………………3分
（2）），设，则…………………………………………………………6分
（3），由（2）中的结论可知，
所以，即，………………………………………………………………7分
当斜率存在时，设的方程为，
，可得，
则（*），
，将（*）式代入可得，即，
亦即……………………………………………………………………9分当时，，此时直线恒过定点（舍）；
当时，，此时直线恒过定点；^……………10分当斜率不存在时，设，
则，，也过点
.…………11分
综上所述，直线恒过定点.……………………………………………………12分
19. 设p：实数满足，其中；q：实数x满足.
（1）若，且为真，为假，求实数x的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
参考答案：
（1）当为真时，当为真时，
因为为真，为假，所以，一真一假，
若真假，则，解得；
若假真，则，解得，
综上可知，实数的取值范围为.
（2）由（1）知，当为真时，，
因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，
因为为真时，若，有且是的真子集，
所以，解得：，
因为为真时，若，有且是的真子集，
所以，不等式组无解．
综上所述：实数的取值范围是．
20. （本小题12分）设双曲线C的焦点在轴上，离心率为，其一个顶点的坐标是（0,1）.
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）若直线与该双曲线交于A、B两点，且A、B的中点为（2,3），
求直线的方程
参考答案：
解：（1）由已知得
又∴
∴双曲线C的标准方程为…………………4分
（2）设A、B两点的坐标分别为、，
则由①-②得：∴∴直线的方程为…………………12分
21. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到数据如下表:
（Ⅰ）根据上表可得回归方程中的,据此模型预报单价为10元时的销量为多少件?
（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件
为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入成本）
参考答案：
解：（1）回归方程恒过定点，由已知将之代入回归方程得，
所以回归方程为
当时，=50
所以销量为50件
（2）设利润为W,则W=
当时，W有最大值
综上该产品定价为时，工厂能获得最大利润
略
22. 如图，在正方体中，分别为和的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求二面角大小的余弦值．
参考答案：
（1）证：（法一）取中点，连，易得
平面，平面
平面
（法二）取中点，连，易得
又
平面平面
又平面
平面
（2）解：连交于，连
易得
为二面角的平面角在中，由余弦定理得
二面角大小的余弦值为。