苏州苏州大学实验学校必修二第二章《解析几何初步》检测(答案解析)

一、选择题
1．已知半径为2的圆经过点()5,12，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A ．9
B ．11
C ．13
D ．15
2．设直线()():110l mx m y m R +--=∈，圆()2
2:14C x y -+=，则下列说法中正确的是（ ）
A ．直线l 与圆C 有可能无公共点
B ．若直线l 的一个方向向量为()1,2a =-，则1m =-
C ．若直线l 平分圆C 的周长，则1m =或0n =
D ．若直线l 与圆C 有两个不同交点,M N ，则线段MN 的长的最小值为23 3．若直线2x y -=被圆()2
24x a y -+=所截得的弦长为22,则实数a 的值为（ ） A ．0或4
B ．1或3
C ．2-或6
D ．1-或3
4．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且3
BAC π
∠=
，2
ACB π
∠≠
，
2BC =，P 为BC 中点，过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ，则AQ BC ⋅的最大值
是（ ） A ．
13
B ．
33
C ．
23
3
D ．
43
3
5．ABC 中，(1,5)A ，高BE ，CF 所在的直线方程分别为20x y -=，
5100++=x y ，则BC 所在直线的方程是（ ）．
A ．04=+y x
B ．528x y -=
C ．350x y +=
D ．5328x y -=
6．直线33
y x m =-+与圆22
1x y += 在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ．(3,2)
B ．(3,3)
C ．323,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．231,
3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
7．如图，在Rt ABC △中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线
CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ）
A ．(
0,3⎤⎦
B ．2,22⎛⎤
⎥
⎝⎦
C ．
3,23
D ．(]2,4
8．已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是23，则球O 的表面积是（ ） A ．
28π
3
B ．
14π
3
C ．
56π
3
D ．
7π 3
9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）
A ．24
B ．30
C ．47
D ．67
10．如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线
AB 与MN 所成角的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 11．三个平面将空间分成n 个部分，则n 不可能是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A ．1DC PC ⊥
B ．异面直线AD 与P
C 不可能垂直 C ．1
D PC ∠不可能是直角或者钝角 D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭ 二、填空题
13．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =，3c =，01λ<<，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为______．
14．已知P 是直线4100(0)kx y k +-=>上的动点，,PA PB 是圆
22:2440C x y x y +-++=的两条切线，,A B 是切点，C 是圆心，若四边形PACB 的面
积的最小值为22，则k 的值为____________.
15．直线()10,0ax by a b +=>>与曲线222410x y x y +--+=交于A 、B ，且
AB 4=，则
11
a b
+的最小值为__________ 16．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点
()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.
17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1P --，过点()1,1Q 作直线交圆221x y +=于
A B ，两点，则PAB ∆的面积的最大值为_____________
18．若点()1,1P 为圆()2
239x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为
__________.
19．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为_________.
20．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为CD 的中点，F 为线段CE （端点除外）上一动点．现将DAF △沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC ．设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，θ的取值范围为__________．
21．如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF 所成的角的余弦值为______．
22．已知等腰直角三角形ABC 中，2
C π
∠=
，22CA =D 为AB 的中点，将它沿
CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为22C ABD -的外接球的表面积为____．
23．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，3AB BC AC ===，若四面体ABCD 体积
的最大值为
3
2
，则这个球的表面积为______. 24．在正三棱锥S ABC -中，23AB =，4SA =，E 、F 分别为AC 、SB 的中点，过点A 的平面α//平面SBC ，α平面=ABC l ，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为
_________.
三、解答题
25．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD//QA ，
1
12
QA AB PD ==
=.
（1）证明：直线PQ ⊥平面DCQ ； （2）求二面角D QB A --的余弦值.
26．在所有棱长均为2的直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，O ，M 分别为1,BD B C 的中点．
（Ⅰ）求证：直线//OM 平面11DB C ； （Ⅱ）求二面角1D AC D --的余弦值．
27．在三棱锥A BCD -中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，且BA BD =，平面
ABD ⊥平面ADC .
（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：BE CD ⊥.
28．如图，在三棱锥P ABC -中，1,2,135AB AC BAC ︒==
∠=，
1
cos ,3
BAP AP BC ∠=-⊥．
（1）若2
3
BM MC =
，求证：PM BC ⊥； （2）当3AP =，且N 为BC 中点时，求AN 与平面PBC 所成角的正弦值．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
设圆心坐标为(),a b ，则圆的圆心轨迹方程()()2
2
5124a b -+-=，再利用点与点的距离
公式求解 【详解】
半径为2的圆经过点()5,12，设圆心坐标为(),a b ，则其方程为()()2
2
4x a y b -+-= ，
由其过点()5,12，则()()2
2
5124a b -+-=，即()()2
2
5124a b -+-=
可得该圆的圆心轨迹是以()5,12为圆心，2为半径的圆，
故圆心到原点的距离的最小值为()5,12到原点的距离减半径，
213211=-=， 故选：B ． 【点睛】
关键点睛：本题考查轨迹问题和点与圆上的点的距离的最值，解答本题的关键是由题意得到圆心的轨迹方程()()2
2
5124a b -+-=，再根据点与圆上的点的距离的最值的求法得出答案，属于中档题.
2．D
解析：D 【解析】
对于A ，0m ≠ 时，由已知，圆的圆心为10（，）
，半径为2
，圆心到直线的距离为：12d =
＜， 所以直线与圆一定相交； A 错；
对于B ，直线l 的一个方向向量为()1,2a =-,则直线的斜率为2,- 则2,21
m
m m -=-∴=- 故B 错误；
对于C ，直线l 平分圆C 的周长，则直线过圆心10（，）
, 则1m =，C 错； 对于D ，若直线l 与圆C 有两个不同交点M N 、，线段MN 的长的最小时圆心到直线的距离最大，即0m =时的1d =
，此时MN =；故D 正确． 故选D ．
3．A
解析：A 【分析】
利用垂径定理，结合点到线的距离公式求解. 【详解】
由圆()2
24x a y -+=可知，圆心(),0a ，半径为：2，
若直线2x y -=被圆()2
24x a y -+=
所截得的弦长为
则由垂径定理可知圆心到直线的距离：d =
故d =
=，解得4a =或0a =.
故选：A. 【点睛】
本题考查直线与圆相交时弦长的求解，考查点到线距离公式的应用，属于基础题.
4．D
解析：D 【分析】
根据题意建立直角坐标系，结合斜率与倾斜角的关系及两角和的正切公式可找到点A 的轨迹，结合平面向量的数量积即可求解. 【详解】
以P 为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系
则(1,0),(0,0),(1,0)B P C -,设点(,)A x y ，则
3
1tan ,tan()1
31131
AB AC
y
y
y x k ABC k ABC y x x x π++=∠=
=∠+==+--+，
化简得2
2
343x y ⎛+-= ⎝
⎭，所以()232311,11,33x ⎡⎫⎛∈--⋃-⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦， 设点()0,Q m ，则 ()(),2,02AQ BC x m y x ⋅=--⋅=-， 故当23
x =AQ BC ⋅43. 故选：D 【点睛】
本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系及两角和的正切公式、圆的方程及性质、平面向量的数量积，属于能力提升题.
5．C
解析：C 【分析】
由垂直关系可得AB 和AC 的斜率，进而可得AB 和AC 的方程，分别解方程组可得B ，C 的坐标，进而可得方程. 【详解】
解：∵两边AB ，AC 上的高线方程分别为5100++=x y 与20x y -=， ∴它们的斜率分别为1
5
-，
1
2
，故AB 和AC 的斜率分别为5，2-， ∴AB 和AC 的方程分别为()551y x -=-，()521y x -=--，
整理为一般式可得50x y -=，270x y +-= 联立方程组5020x y x y -=⎧⎨
-=⎩，解得0
0x y =⎧⎨=⎩
，即()0,0B ，
同理联立2705100x y x y +-=⎧⎨
++=⎩，解得5
3x y =⎧⎨=-⎩
，即()5,3C -，
∴BC 所在直线的方程为30
50
y x --=-，即350x y +=. 故选：C. 【点睛】
本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线的点斜式方程和斜率公式以及方程组的解法，属中档题.
6．D
解析：D 【分析】
求出直线过(0,1)时m 的值，以及直线与圆相切时m 的值，即可确定出满足题意m 的范围． 【详解】 解：如图所示：
当直线过(0,1)时，将(0,1)代入直线方程得：1m =；
当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d r =，即2
1313=⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭，
解得：23m =
或23
m =-（舍去）， 则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m 的范围为23
1m <<． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合法是解本题的关键，属于中档题．
7．A
解析：A 【分析】
取BC 中点E ，连接DE ，AE ，若CB AD ⊥，则可证明出BC ⊥平面ADE ，则可得
BC AE ⊥. 根据题目中各边长的关系可得出AE ，AD 关于x 的表达式，然后在ADE 中，利用三边关系求解即可. 【详解】
由题意得BC x =，则21
x AD CD BD +===
，如图所示，取BC 中点E ，
翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122
DE AC ==， 翻折后，在图2中，若CB AD ⊥，则有：
∵BC DE ⊥，BC AD ⊥，AD DE D ⋂=，且,AD DE 平面ADE ，
∴BC ⊥平面ADE ，∴BC AE ⊥，
又BC AE ⊥，E 为BC 中点，∴1AB AC ==
∴21
14
AE x =-21
x AD +=
， 在ADE 中，由三边关系得：①22111
1224
x x ++>-②2
21111224
x x +<+-③0x >； 由①②③可得03x <<．
故选：A. 【点睛】
本题考查折叠性问题，考查线面垂直的判定及性质在解题中的运用,解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系，即作出辅助线DE 与AE ，根据题目条件确定出BC ⊥平面ADE ，得到BC AE ⊥，从而通过几何条件求解.
8．A
解析：A 【分析】
首先得到11AB A ∠是1AB 与底面111A B C 所成的角，再通过三棱柱的体积得到三棱柱的底面等边三角形的边长，最后通过球的半径，球心到底面距离，底面外接圆半径的关系计算． 【详解】
因为侧棱1AA ⊥底面111A B C ，
则11AB A ∠是1AB 与底面111A B C 所成的角，则1145AB A ∠=︒． 故由1
1111
tan tan 451AA AB A A B ∠=︒=
=，得111AA A B =． 设111AA A B a ==，则111313323224
ABC A B C a V a a a -=⨯⨯⨯==三棱柱， 解得2a =．
所以球O 的半径2
2
232722233R ⎛⎫⎛⎫+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
=⎭， 所以球O 的表面积2
2
728π4π4π33S R ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
． 故选：A ． 【点睛】
解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．
9．D
解析：D 【分析】
先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解. 【详解】
由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -，
由题得22437AD =-=，所以几何体的高为7. 所以几何体的体积为11
(24)676732
⋅+⋅⋅=. 故选：D 【点睛】
方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
10．C
解析：C 【分析】
由MN 与正方体的面对角线平行，可得异面直线所成的角，此角是正三角形的内角，由此可得． 【详解】
作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为
//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），
易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒. 故选：C ．
11．A
解析：A 【分析】
三个平面不重合，先按其中平行的平面的个数分类：三个平面两两平行，两个平面平行，没有平行的平面(两两相交)，对两两相交的情况，再根据三条交线互相平行，重合，交于一点，分别讨论. 【详解】
按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；
（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；
（3）三个平面中没有平行的平面：
（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分.
（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；
综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分，
故选：A.
12．D
解析：D 【分析】
在正方体中根据线面垂直可判断A ，根据异面直线所成角可判断B ，由余弦定理可判断CD. 【详解】 如图，
设正方体棱长为2，
在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11A BCD ,所以
1DC PC ⊥，故A 正确；
因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与
PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；
由正方体棱长为2，则2222222
11114480D P PC D C A P BP A P BP +-=+++-=+>，
所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确；
设1(022)
A P x x =≤≤，则22
14D P x =+，222422cos
4224
AP x x x x π
=+-⨯=+-，
由余弦定理，222211111222cos 2AP D P AD x x
AP D P D AP ∠=+--⋅，
当2x <
1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.
故选：D 【点睛】
关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】设由于则在线段上又在以为圆心1为半径的圆上问题转化为求线段上的点到圆上点的距离的最大值和最小值然后可得结论【详解】∵∴可取∵∴是单位圆上如图设由于则在线段上易得直线方程是即到线段的距离为斜边
解析：613,1(4,)13⎛-∞-+∞ ⎝
⎭ 【分析】
()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设,,OA a OB b OC c ===，
()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，又A 在以O 为圆心，1为半径
的圆O 上，问题转化为求线段BC 上的点P 到圆O 上点A 的距离的最大值和最小值，然后可得结论． 【详解】
∵0b c ⋅=，2b =，3c =，∴可取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，a OA =，∵1a =，∴A 是单位圆O 上，如图，
()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，()()11a b c a b c PA λλλλ⎡⎤---=-+-=⎣⎦，
易得直线BC 方程是
123
x y
+=即3260x y +-=，O 到线段BC 的距离为OBC 斜边BC 边上高，即23
6131323d =
=
+，∴min 613
11PA d =-=-，又3OC =，
∴min
314PA
=+=，∴PA 的取值范围是
613
1,413
， ∴()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为613,1(4,)⎛⎫
-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
．
故答案为：613,1(4,)⎛⎫
-∞-
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题考查求向量模的取值范围，解题关键是取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，把所有向量的起点都移到原点，由几何意义得出动点所成轨迹，从而由几何意义得出模的范围，最后求其在实数集上的补集即可．
14．3【分析】由面积关系与勾股定理将已知面积转化为由表示再由点到直线的距离公式求得最小值最后由面积的最小值构建方程求得参数【详解】由题可知四边形又因为所以四边形的面积的最小值为故答案为：3【点睛】本题考
解析：3 【分析】
由面积关系与勾股定理将已知面积转化为由PC 表示，再由点到直线的距离公式求得PC 最小值，最后由面积的最小值构建方程求得参数. 【详解】
由题可知，S
四边形2
2
21
2212
PACE PAC S PA AC PC r r PC ==⨯=-⋅=
-，
又因为min 2
2
2
2
810184
4
C l k k PC d k k ----==
=
++，
所以四边形PACB 的面积的最小值为2
22
1812234k k k ⎛⎫
--=⇒= ⎪+⎝⎭
故答案为：3 【点睛】
本题考查利用直线与圆相切的位置关系转化所求面积，还考查点与直线的最小距离，属于中档题.
15．【分析】由得可知圆心为半径为2而所以可得直线过圆心由此得所以可化为然后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：由得所以曲线表示圆其圆心为半径为2因为直线与曲线交于且所以直线过圆心所以所以当且仅当即时 解析：322+【分析】
由222410x y x y +--+=得，22(1)(2)4x y -+-=，可知圆心为(1,2)，半径为2，而
AB 4=，所以可得直线过圆心，由此得21a b +=，所以
11
a b
+可化为112a b a b ⎛⎫
+⋅+ ⎪⎝⎭()，然后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】
解：由222410x y x y +--+=得，22
(1)(2)4x y -+-=，
所以曲线222410x y x y +--+=表示圆，其圆心为(1,2)，半径为2，
因为直线()10,0ax by a b +=>>与曲线22
2410x y x y +--+=交于A 、B ，且
AB 4=，
所以直线()10,0ax by a b +=>>过圆心(1,2)， 所以21a b +=， 所以
11
112a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭
(
)2333b a a b =++≥+=+当且仅当
2b a a b =
，即2,12
a b ==时，取等号
故答案为：3+【点睛】
此题考查的是直线与圆的位置关系，利用基本不等式求最值，属于中档题
16．【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：27310x y -+=
【分析】
计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.
【详解】
设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故513
350
22y x x y -⎧
=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()53
2525
y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.
【点睛】
本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.
17．1【分析】易得因为点点关于原点对称利用平面几何性质可得到直线的距离等于到直线距离的两倍故再表达出用基本不等式求解即可【详解】画图分析可知因为点点关于原点对称故到直线的距离等于到直线距离的2倍故设到直
解析：1 【分析】
易得因为点()1,1P --,点()1,1Q 关于原点O 对称,利用平面几何性质可得, ()1,1P --到直线AB 的距离等于O 到直线AB 距离的两倍,故2PAB OAB S S ∆∆=,再表达出OAB S ∆用基本不等式求解即可. 【详解】
画图分析可知, 因为点()1,1P --,点()1,1Q 关于原点O 对称,故()1,1P --到直线AB 的距离等于O 到直线AB 距离的2倍.故2PAB OAB S S ∆∆=.
设O 到直线AB 距离为d ,易得22
12221212
PAB OAB S S d d d d ∆∆==⨯⨯-=-.
根据基本不等式有222
121212d d d d -+-≤⨯=,当且仅当21d d =-,即2
2
d =
时等号成立.
所以PAB ∆的面积的最大值为1. 故答案为：1. 【点睛】
本题主要考查了与圆有关的面积问题,需要注意到,P Q 关于O 对称,进而简化面积的表达式并利用基本不等式求解最值.属于中档题.
18．【分析】先求出直线MN 的斜率再写出直线的点斜式方程得解【详解】∵为圆的弦的中点∴圆心与点确定的直线斜率为∴弦所在直线的斜率为2则弦所在直线的方程为即故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系考 解析：210x y --=
【分析】
先求出直线MN 的斜率，再写出直线的点斜式方程得解.
∵()1,1P 为圆()2
239x y -+=的弦MN 的中点，
∴圆心与点P 确定的直线斜率为101
132
-=--， ∴弦MN 所在直线的斜率为2，
则弦MN 所在直线的方程为()121y x -=-，即210x y --=. 故答案为：210x y --= 【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线的方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．【分析】首先把三视图转换为直观图进一步求出几何体的外接球的半径最后求出球的表面积【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形高为2的三棱锥体如图所示:设底面外接圆的半径为t 圆心为H 则解得 解析：
414
π
【分析】
首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出球的表面积. 【详解】
根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形，高为2的三棱锥体．如图所示:
设底面外接圆的半径为t ,圆心为H ，则222
1(2)t t =+-，解得54
t =
， 设外接球的半径r ，球心为O ，则OH ⊥底面，且1OH =， 则22541
()14r =
+=
所以41414().164
S π
π=⨯⨯= 故答案为：
414
π
关键点点睛：球心与底面外接圆圆心连线垂直底面，且OH 等于棱锥高的一半，利用勾股定理求出球的半径，由面积公式计算即可.
20．【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的几何体中证得平面平面从而平面得是直线与平面所成的角设C 求得的范围后可得范围【详解】在矩形中作交于交于设由图易知∴即∴则在翻折后的几何体中又平面∴平面又平面∴平面平
解析：(0,]6
π
【分析】
在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，在翻折后的几何体中，证得平面ODM ⊥平面ABCF ，从而DM ⊥平面ABCF ，得DFM ∠是直线FD 与平面
ABCF 所成的角．设(01)CF x x =<<C ，求得sin θ的范围后可得θ范围．
【详解】
在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ， 设(01)CF x x =<<，AM t =，由图易知DAM FDA △△，
∴
AM AD DA DF =，即112t x =-，∴12t x
=-，01x <<，则1
12t <<． 在翻折后的几何体中，AF OD ⊥，AF OM ⊥，又OD OM O =，,OD OM ⊂平面
ODM ，
∴AF ⊥平面ODM ，又AF ⊂平面ABCF ，
∴平面ODM ⊥平面ABCF ，又平面ABD ⊥平面ABC AB =．平面ODM
平面
ABD DM =，
∴DM ⊥平面ABCF ，连接MF ，则DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．DFM θ∠=，
而DM =12DF x t
=-=，
∴sin DM DF θ====， ∵
112t <<，∴2114
t <<，∴1
0sin 2θ<≤，即06πθ<≤．
故答案为：(0,]6
π．
【点睛】
方法点睛：本题考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：
（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得； （2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．
21．【分析】由圆柱体积求得底面半径母线长设底面圆心为可得为异面直线与所成的角（或其补角）在对应三角形中求解可得【详解】设圆柱底面半径为则母线长为由得设底面圆心为连接则所以为异面直线所成的角在中所以故答案 6 【分析】
由圆柱体积求得底面半径，母线长，设底面圆心为O ，可得OEF ∠为异面直线AC 与EF 所成的角（或其补角）．在对应三角形中求解可得． 【详解】
设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r
．
设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ，
EF 所成的角．
在Rt OEF △中，2OF =，22OE =3EF = 所以6
cos 3
OE OEF EF ∠==
． 6．
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角．
22．12【分析】根据题意可判断出两两垂直即可求出外接球半径得出表面积【详解】等腰直角三角形中为的中点满足两两垂直设外接球的半径为则即三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查三棱锥外接球问题解题
解析：12π
【分析】
根据题意可判断出,,DC DA DB 两两垂直，即可求出外接球半径，得出表面积. 【详解】
等腰直角三角形ABC 中，2
C π
∠=
，22CA CB ==
D 为AB 的中点，2CD AD BD ∴===， ,CD AD CD BD ∴⊥⊥，
22AB =，满足222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥， ,,DC DA DB ∴两两垂直，
设外接球的半径为R ，则222222223R ++=3R =，
∴三棱锥C ABD -的外接球的表面积为2412R ππ=.
故答案为：12π.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是得出,,DC DA DB 两两垂直.
23．【分析】先由题意得到的面积以及外接圆的半径记的外接圆圆心为为使四面体体积最大只需与面垂直由此求出设球心为半径为根据为直角三角形由勾股定理列出等式求出球的半径即可得出结果【详解】根据题意知是一个等边三 解析：
254
π
【分析】
先由题意，得到ABC 的面积，以及ABC 外接圆的半径，记ABC 的外接圆圆心为
Q ，为使四面体ABCD 体积最大，只需DQ 与面ABC 垂直，由此求出2DQ =，设球心
为O ，半径为R ，根据AQO 为直角三角形，由勾股定理列出等式，求出球的半径，即可得出结果. 【详解】
根据题意知，ABC 是一个等边三角形，其面积为
()
2
2
1333
332
2S ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，ABC 外接圆的半径为131260r ==，记ABC 的外接圆圆心为Q ，则1AQ r ==；
由于底面积ABC
S
不变，高最大时体积最大，
所以DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为
1
33
2
ABC S DQ ⋅=
，2DQ ∴=， 设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222
OA AQ OQ =+，
即222
1(2)R R =+-，54
R ∴=
， 则这个球的表面积为：2
525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭
.
故答案为：254
π
. 【点睛】 思路点睛：
求解几何体与球外接问题时，一般需要先确定底面外接圆的圆心位置，求出底面外接圆的半径，根据球的性质，结合题中条件确定球心位置，求出球的半径，进而即可求解.
24．【分析】取中点连结根据题意得故所以为异面直线和所成角再根据几何关系求得在中故进而得答案【详解】取中点连结依题意：所以所以为异面直线和所成角在正三棱锥中是中点所以又因为平面平面所以平面所以因为分别是的
解析：
7
【分析】
取AB 、BC 中点D 、G ，连结DE 、DF 、GS 、GA ，根据题意得//l BC ，//DE BC ，故//l DE ，所以DEF ∠为异面直线l 和EF 所成角，再根据几何关系求得在
Rt DEF ∆中，122DF SA =
=，11
22
DE BC AB ===
EF ==cos
7DE DEF EF ∠=
==
，进而得答案. 【详解】
取AB 、BC 中点D 、G ，连结DE 、DF 、GS 、GA ， 依题意：//l BC ，//DE BC ， 所以//l DE ，
所以DEF ∠为异面直线l 和EF 所成角.
在正三棱锥S ABC -中，G 是BC 中点，所以SG BC ⊥，AG BC ⊥， 又因为SG AG G ⋂=，SG ⊂平面SAG ，AG ⊂平面SAG ， 所以BC ⊥平面SAG ，所以BC SA ⊥. 因为F 、D 分别是SB 、AB 的中点， 所以//DF SA . 所以DE DF ⊥.
Rt DEF ∆中，
122DF SA =
=，11
322
DE BC AB === 所以227EF DE DF +.
所以321
cos 7
DE DEF EF ∠=
==
. 故异面直线l 和EF 所成角的余弦值为：
21
7
故答案为：217
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.
三、解答题
25．（1）证明见解析（2）33
【分析】
（1）由CD PQ ⊥，PQ DQ ⊥可证得结论成立；
（2）取BQ 的中点E ，连DE 、AE ，则AED ∠是二面角D QB A --的平面角，在
Rt ADE △中，通过计算可得结果. 【详解】
（1）因为QA ⊥平面ABCD ，∴QA CD ⊥，
又四边形ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥， 又因为QA
AD A =，∴CD ⊥平面AQPD ，则CD PQ ⊥，
因为1AQ AD ==，AQ AD ⊥，∴2DQ =
，
因为4PDQ π
∠=
，2PD =，∴2
DQP π
∠=
，即PQ DQ ⊥，
因为CD DQ D =，所以PQ ⊥平面DCQ .
（2）取BQ 的中点E ，连DE 、AE ，如图：
因为2BD DQ ==
BE EQ =，∴DE BQ ⊥，AE BQ ⊥，
所以AED ∠是二面角D QB A --的平面角，
因为QA ⊥平面ABCD ，所以QA AD ⊥，又AD AB ⊥，AB AQ A =，
∴
AD ⊥平面BAQ ，∴AD AE ⊥，
因为1AB AQ ==，所以2BQ =2AE =
， 在Rt ADE △中，2216
12DE AD AE =
+=+
=
所以2
3
2cos 36
AE ADE DE ∠===. 所以二面角D QB A --3 【点睛】
关键点点睛：根据二面角的平面角的定义作出平面角是本题解题关键. 26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ5．
【分析】
（Ⅰ）由中位线定理证明1//OM C D ，即可得线面平行；
（Ⅱ）连1D O ，证明1D OD ∠为二面角1D AC D --的平面角， 在直角1D DO △中计算可得． 【详解】
解：（Ⅰ）连1BC ，则M 也为1BC 的中点，又M 为BD 的中点，所以1//OM C D ，因为
OM ⊄平面11DB C ，1C D ⊂平面11DC B ，所以直线//OM 平面11DB C ；
（Ⅱ）连1D O ，因为ABCD 是菱形，所以DO AC ⊥，又1111ABCD A B C D -为直棱柱，底面为菱形，所以11D A D C =，而O 为AC 中点，所以1D O AC ⊥，所以1D OD ∠为二面角1D AC D --的平面角，
因为ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，所以1DO =，又12DD =， 由直棱柱知1DD DO ⊥，所以1
5DO =
，所以115
cos 5
DO D OD D O ∠==．
【点睛】
方法点睛：本题考查证明线面平行，考查求二面角角，求二面角常用方法： （1）定义法：作出二面角的平面角并证明，然后在三角形中计算可得；
（2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量夹角的余弦即可得二面角的余弦（注意判断二面角是锐角还是钝角）． 27．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）利用中位线的性质可得出//EF AC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面垂直的性质定理可得出BE ⊥平面ACD ，进而可证得BE CD ⊥. 【详解】
（1）在ADC 中，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，//EF AC ∴.
EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ；
（2）在ABD △中，BA BD =，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥， 又
平面ABD ⊥平面ADC ，平面ABD ⋂平面ADC AD =，BE ⊂平面ABD ，
BE ∴⊥平面ADC .
CD ⊂平面ADC ，BE CD ∴⊥. 【点睛】
方法点睛：在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．
28．（1）证明见解析；（2）7
【分析】
（1）利用正余弦定理解三角形，求出222AM BM AB +=得AM BC ⊥，即可结合
⊥AP BC 得出BC ⊥平面AMP ，证出PM BC ⊥；
（2）过A 作AG PM ⊥，ANG ∠即AN 与平面PBC 所成角，利用余弦定理求出各边长度，即可求出. 【详解】
（1）
1,135AB AC BAC ︒==∠=，
由余弦定理可得2
22
12152BC ⎛=+
-⨯-= ⎝⎭
，BC ∴=
由正弦定理
sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，则可得sin ABC ∠=，即cos ABC ∠=，
23BM MC =
，则可得BM MC ==
在ABM 中，利用余弦定理可得2
22
11215AM =+-⨯=⎝⎭，即
5
AM =
则满足222AM BM AB +=，AM BC ∴⊥，
AP BC ⊥，AP AM A ⋂=，
BC ∴⊥平面AMP ，PM ⊂平面AMP ， PM BC ∴⊥；
（2）过A 作AG PM ⊥，由（1）BC ⊥平面AMP 可得平面AMP ⊥平面PBC ，
且平面AMP 平面PBC PM =，AG ∴⊥平面PBC ，则ANG ∠即AN 与平面PBC 所
成角，。