一元多项式环的概念及其通用性质
高等代数多项式 一元多项式 整除的概念
又 f ( x), g( x) 均为实系数多项式 ， 从而必有 g( x) h( x) 0. f ( x) g( x) h( x) 0. (2) 在 C上不成立．如取 f ( x) 0, g( x) ix, h( x) x
二、多项式环
定义 所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
使得 f1 x q1 x g x r1 x
其中 r1 x < g( x) 或者 r1( x) 0. 于是
f x b1axnm q1 x g x r1 x.
即有 q( x) b1axnm q1 x , r x r1 x 使
f ( x) q( x)g( x) r( x),
成立． 由归纳法原理，对 f ( x), g( x) 0, q( x),r( x)
的存在性得证．
再证唯一性．
若同时有 f x q x g x r x,
其中 r x g x或r x＝0.
③ 若 a0 a1 an 0 ，即 f ( x) 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数．
区别：
零多项式 f ( x) 0 零次多项式 f ( x) a, a 0 , ( f ( x))=0.
2．多项式的相等
若多项式 f ( x) 与 g( x) 的同次项系数全相等，则 称 f ( x)与 g( x)相等，记作 f ( x) g( x).
n
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 ai x i ,
i0 m
g( x) bm xm bm1 xm1 b1x b0 bj x j ,
一元多项式环的概念及其通用性质
•
+bm-1xm-1++b1x+b0)
nm
( aibj )xk k0 i jk
• 注(1)乘积f(x)g(x)中xk(0kn+m)的系数是
•
a0bk+a1bk-1++ak-1b1+akb0
• 其中,若i>n,则ai=0;若j>m,则bj=0.
• (2)乘法运算式可按竖式进行.
乘法运算式
• 例1.设f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2,则
f ( x)=g( x) h( x) 0 (2) 在复数域上(1)是否成立？
(1) 证：若 f ( x) 0, 则 x(g2( x) h2( x)) f 2( x) 0,
从而 g2( x) h2( x) 0. 于是 ( xg2( x) xh2( x)) ( x(g2( x) h2( x)))为奇数. 但 ( f 2( x))为偶数. x(g2( x) h2( x)) f 2( x), 这与已知矛盾. 故 f ( x) 0, 从而 g2( x) h2( x) 0.
二 多项式的运算
• 设 f(x) = anxn+an-1xn-1++a1x+a0 ,
•
g(x) = bmxm+bm-1xm-1++b1x+b0 ,
• 1、相等: f(x)=g(x)
• 若f(x)与g(x)的所有同次项系数全相等.
• 2、加(减)法: f(x)g(x)
• 将f(x)与g(x)的所有同次项系数相加(减);
运算规律
• 1、加法交换律 • 2、加法结合律 • 3、乘法交换律 • 4、乘法结合律 • 5、乘法对加法的分配律 • 6、乘法消去律
一元多项式的定义和运算讲解
令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
此处
定理 2.4.2
例 在有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.容易看出
（2）
一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明， 二次因式 也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式 的乘积，因此将能写成
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式 有一个非平凡因式 而 ，那么 与 的次数显然都小于 的次数.反之，若 能写成两个这样的多项式的乘积，那么 有非平凡因式.因此我们可以说：
这里
多项式的减法
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
（2）加法结合律:
（3）乘法交换律:
（4）乘法结合律:
（5）乘法对加法的分配律:
注意：
要把一个多项式按“降幂”书写
当
时，
叫做多项式的首项.
2.1.6 多项式的运算性质
定理
是数环R上两个多项式,并且
定义 2
设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做 与 的一个最大公因式.
定义 1
的任意两个多项式 与 一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与 的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与 的乘积 ，而且当 与 不全为零多项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因式.
由此得出，
是
与
的最大公因式，而
定理 2.3.3
的两个多项式 与 互素的充分且必要条 件是：在 中可以求得多项式 与 ，使
一元多项式环的概念及其通用性质
03 一元多项式的加法与减法
加法规则
设两个一元多项式为$P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$和$Q(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + ldots + b_mx^m$， 则它们的和$P(x) + Q(x)$定义为系数相加，即$(a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n) + (b_0 + b_1x + b_2x^2 + ldots + b_mx^m) = (a_0+b_0) + (a_1+b_1)x + (a_2+b_2)x^2 + ldots + (a_n+b_n)x^n$。
一元多项式环的概念及其通用性质
目录
• 一元多项式环的定义 • 一元多项式环的基本性质 • 一元多项式的加法与减法 • 一元多项式的乘法 • 一元多项式的除法 • 一元多项式环的特殊性质
01 一元多项式环的定义
定义
一元多项式环是由所有一元多项式构 成的环，其中加法、减法和乘法运算 封闭。
一元多项式环中的元素称为一元多项 式。
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举例说明：$(x^2+3x+2) - (x+1) = (1-1)x^2 + (3-1)x + (2-1) = 0x^2 + 2x + 1$。
04 一元多项式的乘法
单项式与多项式相乘
定义
举例
单项式与多项式相乘是指将单项式的每一项 分别与多项式的每一项相乘，并合并同类项。
一元多项式 环扩张定理
一元多项式环扩张定理
一元多项式环扩张定理是现代数学中一个重要的定理，建立在环
和多项式的基础上。
它主要解决一个一元多项式环中的代数扩张问题。
在定义一元多项式环的基础上，我们可以构造一个一元多项式环之间
的映射，即将一个一元多项式环中的元素映射成另一个一元多项式环
中的元素。
这个映射需要满足一些条件，比如说保持加法和乘法的结
构和运算规则。
一元多项式环扩张定理的主要内容是证明，当两个一元多项式环
之间存在一种映射，使得这个映射满足一定条件时，就可以构造出一
个新的一元多项式环，即扩张环。
扩张环是原来的两个一元多项式环
的代数扩张，它包含了原来两个环中的所有元素，并且还包含了更多
的元素。
具体来说，一元多项式环扩张定理告诉我们，当一个一元多项式
环F包含在一个扩张环E中时，扩张环E就是最小多项式F中所有系
数的环扩张。
这意味着我们可以通过在F中添加一些新的元素来构造E，同时保持E是一个环，并且E中包含了F中的所有元素。
一元多项式环扩张定理对于解决一些代数问题非常重要。
在实际
应用中，扩张环的构造和分解可以帮助我们研究和理解一些抽象的代
数结构，比如矩阵代数、域扩张等。
它还可以在密码学、编码理论、
量子信息等领域中得到广泛应用。
总之，一元多项式环扩张定理是现代数学中非常重要的一个定理，它为我们理解和研究代数结构提供了基础。
一元多项式计算与链表 概述及解释说明
一元多项式计算与链表概述及解释说明1. 引言1.1 概述在计算机科学和数学领域，一元多项式计算是一个重要的问题。
一元多项式是指包含一个未知数的多项式，它由各个项的系数和指数决定。
而链表作为一种常见的数据结构，具有灵活性和高效性，可以应用于各种问题的解决中。
1.2 文章结构本文将首先对一元多项式计算进行介绍，包括多项式的定义与表示方法、多项式加法运算以及多项式乘法运算。
然后，我们将详细探讨链表的概念、特点以及链表在一元多项式计算中的应用。
接下来，将通过实例演示来解释一元多项式计算，并说明链表结构在多项式计算中的优势。
最后，我们将分享解决一元多项式计算问题时相关的考虑事项与技巧，并对研究内容进行总结，并展望其可能的拓展方向。
1.3 目的本文旨在向读者介绍和解释一元多项式计算与链表之间的关系，并探讨链表在该问题中所起到的作用。
通过深入了解一元多项式及其计算方法，以及链表数据结构原理和应用场景，读者将能够更好地理解一元多项式的计算过程，并了解链表在提高计算效率和灵活性方面的重要作用。
同时，通过分享解决问题时的考虑事项与技巧，本文还有助于读者在实际应用中更好地利用链表结构来解决一元多项式计算问题。
2. 一元多项式计算：2.1 多项式定义与表示方法:一元多项式是由若干个单项式构成的代数表达式。
一个单项式由系数和指数组成，通常可以表示为a*x^b的形式，其中a为系数，x为未知数，b为指数。
而一个多项式则是由多个单项式相加得到。
在计算机中，可以用数组或链表来表示一元多项式。
使用数组时，每个元素可以存储一个单项式的系数和指数；而使用链表时，则可以将每个单项式作为节点存储在链表中。
2.2 多项式加法运算:两个多项式相加时，需要将同一个指数的单项式进行合并并对系数进行相加。
具体步骤如下：- 将两个多项式中所有的不同指数提取出来形成一个集合。
- 遍历集合中的每个指数，在两个多项式中查找该指数对应的单项式。
- 如果某个多项式不存在该指数的单项式，则该指数对应的系数为空。
内容提要：6.1 多项式环6.2 一元多项式环6.3 未定元.
a0 2, a1 0 , a2 1 比方说，当 2的时候，取， ， 那么多项式` a0 a1 a2 2 2 2 0
未定元
定义3
的一个元 R x 叫做R的一个未定元，假如 0
a0 a1x an xn 0
多项式环 R[ ] 记 R[ ] ={所有R上的 的多项式}. 我们要注意，对于m n，
a0 am m a0 am m 0 m1 0 n
所以当我们只考虑 R 的有限个多项式的时候， 可以假定这些多项式的项数(注:没有说次数),都是一 样的。因此， R 的两个元相加相乘适合以下公式： n n n a a b b a b a b 0 0 0 0 n n n n
在R里找不到不都等于零的元 a0 , a1, , an 来，使得
在这一节里，我们重要讨论未定元的多项式。 注5：根据上述定义，R 上的一个未定元 x 的多项式 （简称一元多项式）,只能用一种方法写成 a0 a1x an xn ai R 的形式（不计系数是零的项）。
定义4 令
f ( x) a0 a1x an xn , an 0
a0 ,
a1 , a2
k 1, 2, 这里 显然这也是一个 P 的代数运算，并且这个乘法适合 交换律。
b0 , b1 , b2 ck ai b j i j k
c0 ,
c1 , c2
这个乘法也适合结合律：叫
a0 , a1 , a2 b0 , b1 a0 , a1 , b0 , b1 ,
是环R上一个一元多项式。那么非负整数n叫做这个 多项式的次数,表示为 deg( f ) 。
交换环的一元多项式环
交换环的一元多项式环
交换环的一元多项式环是一种特殊的代数结构，主要用于研究和描述多项式及其运算。
这种环在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用。
首先，我们来理解一下交换环。
在数学中，一个环是一个具有加法和乘法两种二元运算的代数结构，满足一定的封闭性、结合性和单位元存在性等基本性质。
如果这个环中的乘法满足交换律，即任意两个元素的乘积不改变它们的顺序，那么这个环就被称为交换环。
接下来，我们进一步定义交换环的一元多项式环。
在这种环中，元素是由形如a n
x
n
+a
n−1
x
n−1
+…+a
1
x+a
的多项式组成，其中a
i
是交换环中的元素，x是一个变量。
这个多项式环具有多项式加法、多项式乘法和
标量乘法的运算规则。
在交换环的一元多项式环中，最重要的性质是它的唯一分解性质。
这个性质表明，任何一个非零的多项式都可以唯一地分解为一些不可约多项式的乘积。
这个性质使得交换环的一元多项式环成为一种非常有用的代数工具，特别是在代数数论、代数几何等领域中。
此外，交换环的一元多项式环还有许多其他重要的性质和定理，例如辗转相除法、多项式的根与因式分解等。
这些性质和定理为我们提供了深入研究和应用这种环的工具和基础。
综上所述，交换环的一元多项式环是一种重要的代数结构，具有广泛的应用前景和深入研究的价值。
一元多项式环的极大理想
一元多项式环的极大理想一元多项式环是代数学中的重要概念，它在代数、数论、几何等领域都有广泛应用。
而其中的极大理想更是这个环中的重要元素，具有深远的理论和实际意义。
首先，我们来看一看一元多项式环的定义。
一元多项式环指的是一组多项式的集合，其中每个多项式都可以表示为一个变量乘以一些常数的和。
例如，多项式环中的一个元素可以写作f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，其中a_i是常数，x是变量，n是一个非负整数。
这样的环可以表示为R[x]，其中R是常数环。
在一元多项式环中，极大理想是一类特殊的理想。
理想是指包含于环中的子集，对于环中的元素的加法和乘法都满足封闭性。
而极大理想则是指在所有包含此理想的真理想中，没有其它真理想能包含它。
换句话说，极大理想是最大的真理想，不再包含于任何其他真理想中。
极大理想在一元多项式环中具有许多重要的性质。
首先，一元多项式环中的极大理想都是主理想，即由某个元素生成的理想。
这使得对极大理想的研究变得更加简单和直观。
另外，极大理想在环的结构和性质的研究中具有重要的指导意义。
通过研究一元多项式环中的极大理想，可以得到该环的一些重要的性质和结构信息。
例如，可以推导出环的维数和高度等重要概念，进一步研究环的代数性质。
此外，极大理想也与环的素理想和主理想之间的关系有着密切的联系。
极大理想还在现代数学的许多领域中有广泛应用。
在代数几何中，通过研究一元多项式环中的极大理想，可以得到曲线的切线和切点的信息。
在代数数论中，极大理想与数域的无理数、勒让德符号等有着紧密的联系。
在编码理论中，极大理想有着重要的应用，用于构造纠错码和检错码等。
综上所述，一元多项式环的极大理想是代数学中重要的研究对象，具有深远的理论和实际意义。
通过对极大理想的研究，不仅可以深入理解环的性质和结构，还可以在代数几何、代数数论、编码理论等领域中产生重要的应用。
因此，在代数学的学习和研究中，极大理想是不可或缺的内容之一。
一元多项式环的理想之和
一元多项式环的理想之和
一元多项式环是一种由多项式构成的环，其中每个元素都可以表示为一个多项式。
在这种环中，理想是一组多项式的集合，这些多项式在某种意义下可以看作是“观察”到的某种关系。
理想之和是指将多个理想结合起来得到的理想集合，下面我们来详细探讨一元多项式环的理想之和。
一、定义
在一元多项式环中，设有两个理想I和J，它们的和I+J定义为：
I+J={f+g|f∈I,g∈J}
其中f+g表示将f和g的系数相加得到的多项式。
可以证明，I和J的生成元都属于I+J，同时I+J也是一个理想。
二、性质
1. 理想之和仍然是一个理想，具有封闭性和加法性。
2. 如果一个多项式f同时属于I和J，则f也属于I+J，因为f=f+0，其中0属于J。
3. 如果一个多项式f属于I+J，则它可以写成f=f1+f2，其中f1属于I，
f2属于J。
因此，理想之和的元素可以分解成两个原始理想的元素的和。
三、例子
例如，设I=<x>和J=<x^2>是一元多项式环K[x]中的两个理想。
那么
I+J=<x,x^2>表示由所有的一次和二次多项式构成的理想，其中x和
x^2都属于I+J，因为它们都是I和J的生成元。
四、结论
在一元多项式环中，理想之和是一个重要的概念，它可以帮助我们描
述和分析多项式环中元素之间的关系。
对于K[x]中的任意两个理想I
和J，它们的和I+J都是一个理想，并且可以看作是I和J的所有生成
元的集合。
一元多项式环-PPT文档资料
1. 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。 2. 系数可以是任意数域。
例1
2 3 是Q上多项式； f x 12 x 3 x 9 x
2 f x 3 2 x x 是R上多项式；
2 f x 3 i x 5 x 是C上多项式。
3 1 x 3 x 2 2 3 x , a x, x x 1
第七章 多项式环
§7.1 一元多项式环
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
一、多项式的概念 中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减 法运算的整式）的代数和叫多项式。 例： 4a+3b，3x2 2x 1, 3 y 1 .
2 5
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是 形式表达式。
都不是多项式。
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
定义2： f x, gx 是两个多项式， f x gx
最高次项， 亦称为首项。 除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。 多项式的表法唯一。 n 方程 a 是一个条件等式而不是 a x a x 0 0 1 n 两个多项式相等。
下面证明多项式乘法满足结合律。
k f x a xg , x b xh , x c x 证：设 i j k i 3 i 0 j 0 k 0 n m l
n m fx g xc c x c x 01 n m
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
b a b a b a b a b , k 0 k 1 k 1 k 1 1 k 0 i j 其中 ca
k 0 , 1 , ,n m .
高等代数选讲 第一讲 数域P上的一元多项式环
(1)
其中(r( x)) ( g( x))或者r( x) 0.
(1)式中的g(x)与r(x)分别称为g(x)除 f (x)所得的 商式与余式.
9
例 设 f ( x) 3x3 4x2 5x 6, g( x) x2 3x 1,
用g( x)去除f ( x),求商式和余式.
解 g(x)
f (x)
当g(x)不整除 f (x)时, 记为
注: (1) “整除”只是多项式间的一种关系而不是一 种运算.
(2) 任何一个多项式g(x)都能整除零多项式.
(3) 零多项式能且只能整除零多项式.
12
(4) 零次多项式(即数域P中非零数)是任何多项式 的因式, 且反之亦然.
定理1 设 f ( x), g( x) P[x], g( x) 0,则g( x) | f ( x) g( x)除 f ( x)的余式为零.
4. 零次多项式(即非零常数)能整除任一多项式.
5. 设c是非零常数,则有c f ( x) | f ( x).
14
例1 证明：xd 1 | xn 1 d | n. 例2 证明：x a | xn an ,又问何时x a | xn an？ 例3 求g(x)=x4+x2+1 整除f(x)=x3m x3n1 x3t2
5
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三、一元多项式的基本概念
设P是一个数域, x是一个符号(或称文字).
定义2 设n是一非负整数, 形式表达式
an xn an1 xn1 L a1 x a0
(1)
其中 a0 , a1, , an P, 称为系数在数域P中的一元多
项式, 或者简称为数域P上的一元多项式.
设a b 2 0,则a b 2 0,
环的定义与性质
3．无零因子环的充分必要条件.
定理.3 设 R 是环，R 是无零因子环当且仅当 R 中的乘法适合消去律. 即a,b,c∈R，a≠0，有 ab = ac b = c 和 ba = ca b = c
证 充分性. 任取 a,b∈R，ab = 0 且 a ≠ 0. 由 ab = 0 = a0 和消去律得 b = 0. 这就证明了 R 是无零因子环. 必要性. 任取 a,b,c∈R，a ≠ 0，由 ab = ac 得 a(bc) = 0， 由于 R 是无零因子环，a ≠ 0，必有 bc = 0，即 b = c. 左消去律 成立. 同理可证右消去律也成立.
理解左（右）零因子。如果是交换环，则如果 a 是左零因子，那么 也是右零因子。请举出 a 仅为左零因子的环的例子。
2．交换环、含幺环、无零因子环、整环的实例 （1）整数环 Z、有理数环 Q、实数环 R、复数环 C 都是交换环、含幺 环、无零因子环和整环. （2）令 2Z={2z | z∈Z}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环. 但不是含 幺环和整环. （3）设 nZ, n2, 则 n 阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成 环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环. （4）<Z6,,>构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整 环. 23=32=0，2 和 3 是零因子. 注意：对于一般的 n, Zn 是整环当且仅当 n 是素数.
例如: Z3 和 Z2 是无零因子环, 消去律在 Z3 和 Z2 中都是成立的, 但 Z3×Z2 就不是无零因子环。 由<2, 0> ·<0, 1> = <0, 0> = <2, 0> ·<0, 0>，<2, 0> <0, 0>和消去律 可得: <0, 1> = <0, 0>, 显然这是错误的。
一元多项式的定义
as bo as 1b1 a1bs 1 a0bs
ai b j . i js
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
4．多项式运算性质
1) f ( x ) g( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则
f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ) 仍为数域 P上的多项式．
Dr. Zhi hui Li
乘法：
f ( x ) g ( x ) anbm x n m (anbm 1 an1bm ) x n m 1
(a1b0 aob1 ) x a0b0
n m
s 1 i j s
( ai b j ) x i
注: f ( x ) g( x ) 中s 次项的系数为
a1 x a0
其中 a0 , a1 , , an P , 称为数域P上的一元多项式． 常用 f ( x ), g ( x ), h( x ) 等表示．
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
注： 多项式 f ( x ) an x an1 x
2 2 2 2
但 ( f ( x )) 为偶数. x( g ( x ) h ( x )) f ( x ),
2 2 2 2
这与已知矛盾.
故 f ( x ) 0,
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 从而
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
3．多项式的运算：加法（减法）、乘法
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a1 x a0 a i x i ,
【论文】多项式环的性质
摘要本文主要以多项式环的运算性质为基础,讨论了多项式环的一些重要的性质.通过推广,得出了幂级数环的一些性质.关键字：环上一元多项式环；环上多元多项式环；幂级数环ABSTRACTThis article mainly discusses some important nature of the polynomial ring that is based on the operational properties of it.By means of generated, we can obtain the nature of infinite polynomial with coefficients in a ring.Key words：Polynomial with coefficients in a ring with one variable；The polynomial with coefficients in a ring with variables；Infinite polynomial with coefficients in a ring目录第一章引言 (1)第二章一元多项式环 (3)2.1一元多项式环的定义 (3)2.2一元多项式环的运算 (6)第三章环上多项式的性质 (9)3.1环上的一元多项式的性质 (9)3.2环上多元多项式的性质 (12)3.3环上幂级数环的性质 (13)第四章总结 (17)参考文献 (19)致谢 (21)第一章引言多项式是代数学中所研究的基本对象之一,它不但与高次方程的讨论有关,而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也都会碰到.但我们一般对多项式的讨论,总是在一个预先定的数域作为前提.数学渐渐进步,我们发现可以对若干不是数的事物,用类似数的普通计算方法来加以计算,我们后来碰到的环就是其中一种.由此我们便可以把数域上的多项式推广到任意环上的多项式,从而得到一类特殊的多项式——环上多项式.对环上多项式定义加法和乘法两种运算,由环定义,我们可以得到一类特殊的环——环上多项式.在抽象代数中,多项式环推广了初等数学中的多项式.一个环R上的多项式环是由系数在R中的多项式构成的环,其中的代数运算由多项式的乘法与加法定义.在数域上,多项式在加法适合交换律、结合律,对乘法适合交换律、结合律和消去律,同时乘法对加法适合交换律.在环上,多项式对以上定理基本上成立,但乘法交换律和消去率在环上不成立.如果环是一个有单位的交换环,那么交换律在环上是成立的,可消去律是不成立的.幂级数是多项式的延伸,是把多项式从有限项扩展到了无限项.环上多项式与数域上多项式存在许多相同和不同之处,同样,环上幂级数与数域上幂级数存在许多相同之处. 在本文中,重点讨论了环上多项式的一些特殊的性质.第二章 一元多项式环2.1一元多项式环的定义定义2.1.1 设K 是一个数域,x 是一个不定元.下面的形式表达式2012()n n f x a a x a x a x =+++++（其中012,,,...a a a 属于K ,且仅有有限个不为0）称为数域K 上的一个不定元x 的一元多项式.数域K 上一个不定元x 的多项式的全体记作[]K x .下面定义[]K x 内加法、乘法如下： 加法 设20122012(),(),f x a a x a x g x b b x b x =+++=+++则定义2001122()()()()()f x g x a b a b x a b x +=++++++为()f x 和()g x 的和. 乘法 设20122012(),(),f x a a x a x g x b b x b x =+++=+++令011220(0,1,2,...)k k k k k c a b a b a b a b k --=++++=定义2012()(),f xg x c c x c x =+++为()f x 和()g x 的乘积.容易验证,上面定义的加法、乘法满足如下运算法则： (1) 加法有交换律：()()()()f x g x g x f x +=+；(2) 加法有结合律：(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++；(3)20()000x x x =+++称为零多项式,满足()0()()(()[])f x x f x f x K x +=∀∈ ；(4) 2012()f x a a x a x ∀=+++,都有逆元2012()()()f x a a x a x -=-+-+-+,使得()(())0f x f x +-=；(5) 乘法有交换律：()()()()f x g x g x f x ⋅=⋅；(6) 乘法有结合律：(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ⋅=⋅；(7) 2()100I x x x =+++称为（乘法的）幺元,使得()[]f x K x ∀∈有()()()f x I x f x =；(8) 加法与乘法有分配律：()(()())()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+；(9) 乘法有消去律：如果()()()()f x g x f x h x ⋅=⋅且()0f x ≠,那么()()g x h x =.定义2.1.2 []K x 连同上面定义的加法与乘法,称为数域K 上的一元多项式环.下面我们把数域上的多项式扩广到任意环上的多项式.设0R 是一个含有单位元01R 的可变换环.又设R 是0R 的子环且R R ∈01,现考察0R 中含R 及任取一元素0R ∈α的最小子环：[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==∑是非负整数n R a a a f R i ii ,αα显然每个()0100R a a a a f n n ni i i ∈+++==∑=αααα .定义2.1.3 如上形式的()αf 每个元素都叫做R 上关于α的一个多项式,而每个i a 都叫做该多项式()αf 的系数.下面我们希望能将[]αR 做成一个环.事实上([]αR 是0R 的一个子环)()()∑∑====∀nj j j mi ii b g a f 0,αααα, 定义规则如下:(当m n <)()()()∑=+=+nj j j j b a g f 0ααα, 必定假设 021====++n m m a a a .()(),000∑∑∑+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅m n k k k n j jj m i i i C b a g f ααααα其中∑=+=kj i ji k ba C又 ()()∑∑==-=-=-mi i i mi ii a a f 0ααα可知()()()()()[]ααααααR g f f g f ∈⋅-+,,∴ []R α确定是一个环. (是含R 和α的最小的子环)定义2.1.4 如果上方得到的环[]R α叫做R 上的α的多项式环.显然[]αR 是0R 的一个子环,但R 中每个多项式()αf 的表达形式未必唯一.譬如,设Z R =,而R R =∈=02α. 那么Z 中的零元()()2222200+-=+=α.∴ 0的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:()02210=++++=n n a a a a f αααα ,但系数n a a a a ,,,,210 不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对0R ∈α做如下的讨论.定义2.1.5 设R R ,0和α如前所示,称α为R 的一个未定元(超越元),若在R 中找不到 不全为零的元素n a a a ,,,10 使()*=∈∀=++++=∑N n a a a a a n n ni i i ,022100αααα ( 即 002100=====⇔=∑=n ni i i a a a a a α ) .否则称α为R 上的代数元.习惯上,记R 上的未定元为x .有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式()x f 的其他运算问题.2.2一元多项式环的运算设R 是有单位元的交换环,x 是一个不定元,形如2012n n a a x a x a x +++⋅⋅⋅+的元叫做环的一个多项式,其中012,,,,n a a a a R ⋅⋅⋅∈,n 是非负整数.为了表示这种和是有限元的,也可用下式表示：i i a x <∞∑,其中规定01x =,将环R 上的所有一元多项式构成的集合表示为[]R x ,并定义如下加法和乘法：()()()()()()i j ki j kk iji j ki j ki j i j ijki j ka x a x ab x a x a x a b x αβαβ+=+=+=+=+⋅==∑∑∑∑∑∑∑对于这样的定义加法与乘法运算具有如下一些性质：（1）加法适合交换律,即对(),()[]f x g x R x ∀∈,必有()()()()f x g x g x f x +=+. 证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,则2001122()()()()()()n n n f x g x a b a b x a b x a b x +=++++++⋅⋅⋅++, 2001122()()()()()()n n n g x f x b a b a x b a x b a x +=++++++⋅⋅⋅++；由于环对于加法来说是一个加群,所以0000a b b a +=+,1111a b b a +=+,n n n n a b b a +=+,故()()()()f x g x g x f x +=+.（2）加法适合结合律,即对(),(),()[]f x g x h x R x ∀∈,必有(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++.证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,0()h x c =+212n n c x c x c x ++⋅⋅⋅+,则000111(()())()[()][()][()]n n n n f x g x h x a b c a b c x a b c x ++=++++++⋅⋅⋅+++, 000111()(()())[()][()][()]n n n n f x g x h x a b c a b c x a b c x ++=++++++⋅⋅⋅+++,由于环R 对于加法来说是一个加群,所以000000()=()a b c a b c ++++,111()=a b c ++111()a b c ++,⋅⋅⋅,()=()n n n n n n a b c a b c ++++故(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++.（3）乘法适合交换律,即对(),()[]f x g x R x ∀∈,必有()()()()f x g x g x f x =. 证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,等式左边()()f x g x 中s 次幂项系数为：i ji j sa b+=∑,等式右边()()g x f x 中s 次幂项系数为：j ii j sb a +=∑.因为环R 适合交换律,所以i j j i a b b a =,ijj ii j si j sa bb a +=+==∑∑,故()()()()f x g x g x f x =.（4）乘法适合结合律,即对(),(),()[]f x g x h x R x ∀∈,必有(()())()()f x g x h x f x ⋅⋅=⋅(()())g x h x ⋅.证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,01()h x c c x =+22n n c x c x ++⋅⋅⋅+,等式左边()()f x g x ⋅中s 次幂项系数为：i j i j sa b +=∑,因此左边t 次幂项系数为：()i jki j k s k t i j ki j k ta b ca b c +=+=++==∑∑∑；等式右边()()g x h x ⋅中r 次幂项系数为：j kj k rb c+=∑因此右边t 次幂项系数为：()ij ki j k i r tj k ri j k ta b c a b c +=+=++==∑∑∑,与左边的t 次幂项系数一样,所以左边等于右边,这就证明了乘法满足结合律.（5）乘法对加法适合结合律,即对(),(),()[]f x g x h x R x ∀∈,必有()(()())f x g x h x +=()()()()f x g x f x h x +.证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,01()h x c c x =+22n n c x c x ++⋅⋅⋅+,由乘法和加法的定义,等式左边()(()())f x g x h x +中k 次幂项的系数为()ijj i jiji j ki j k i j ka bc a b a c+=+=+=+=+∑∑∑,同样,等式右边()()()()f x g x f x h x +中k 次幂项的系数为ijiji j ki j ka b a c+=+=+∑∑,所以()(()())()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+.但是环R 上的多项式和数域上的多项式也存在许多不同之处,例如：环R 上的多项式对乘法不适合消去率.集合[]R x 中的元素,对于上面定义的加法和乘法运算,显然是一个环,我们称它为环R上的一元多项式环,记作[]R x.第三章 环上多项式的性质一般环上的多项式是不可逆的.本章将探讨一类非整环上的可逆多项式存在问题,也讨论了有限项多项式环上以及无限项的幂级数环上的性质.3.1环上的一元多项式的性质首先,我们称[]R x 中次数为零的可逆元（即R 的可逆元）为平凡可逆元, 次数不为零的可逆元为非平凡可逆元.我们先叙述一个后面将多次用到的事实.定理3.1.1 设R 是一个有单位元1的交换环.a 是R 的一个幂零元,那么1a +是R 中一个可逆元,并且由此推出,环R 的幂零元与可逆元之和是R 的可逆元.证明：若0,a =引理显然成立.假定0,a ≠必有某正整数n ,使0na =.由初等数学知,有如下两种情形:1)若n 为偶数,2,n k =那么有 222111(1)(1)kk aa a a a -=-=+-+-⋅⋅⋅-2)若n 为奇数,21n k =+,那么有 212211(1)(1)k k aa a a a +=+=+-+-⋅⋅⋅+无论哪种情形,1a +右边的因子都不等于零.又由于R 是交换的,故1a +为可逆元. 下面证明第二个断言.由于R 是交换的,故易知R 中可逆元与幂零元之积是幂零元,可逆元与可逆元之积是可逆元.令b 是R 中一个可逆元,于是1b a R -∈是一个幂零元.按前证,11b a -+是可逆元.所以 1()b I b a b a -+=+是可逆元,即证明了可逆元与幂零元之和为可逆元.定理证毕.定理 3.1.2 设01,0,nn n f a a x a x a =++⋅⋅⋅+≠是[]R x 中的一个多项式.那么,f 在[]R x 中可逆的充分必要条件是0a 为R 中的可逆元,12,,,n a a a ⋅⋅⋅为幂零元.证明：如果f 是[]R x 中的可逆多项式.设它的逆为01,mm g b b x b x =++⋅⋅⋅+不妨假定.n m ≤于是有200121.n mn m fg a b P x P x P x++==+++⋅⋅⋅+ 因为x 是不定元,由定义得 001,0,1,2,,.i j kj k ia b P a bi m n +=====⋅⋅⋅+∑我们对r 使用归纳法证明10()r n m r a b r n +-=≤ b.当r 为0时,0,n m a b =因为0.n m n m a b P +==假定对r <的一切自然数t 都有11t n m a b +-.考察乘积fg 中x 的n m r +-次项的系数n m r P +-,我们有10n m rn m r j n m r j n rP a b +-+-+--=-==∑1111.n r m n r m n m r n m r a b a b a b a b --+---+-=++⋅⋅⋅++等式两端乘以rn a ,因为R 是可交换环,由归纳假设,可得0r n n r m n r n m a a b a a b --==.221111110,,r r r n n r m n r n n m n n m r a a b a a a b a a b --+--+---+==⋅⋅⋅(1)11(1)0r n n m r a a b -+---==,从而由上面等式的最后一项得10r n m r a b +-=.所以对于一切自然数r n ≤,都有10r n m r a b +-=成立,特别的,当r n m ==时,就得 100m n a b +=.已有001a b =,知0a 为可逆元.同时0b 也是可逆元.即有10b -存在,于是由上面最后的等式知10m na +=,从而n a 与n n a x 为幂零元.令1nn f f a x =-,这是一个可逆元与幂零元的和式,故知1f 为可逆元.但101f a a x =++⋅⋅⋅11n n a x --+,与上面证明n a 为幂零元的过程完全一样,在1f 为可逆元的条件下可以证得1n a -为幂零元,…,如此逐步证明下去,我们就得到11,,,n n a a a -⋅⋅⋅都是幂零元.反之,假定在01nn f a a x a x =++⋅⋅⋅+中,0a 为可逆元,12,,,n a a a ⋅⋅⋅为幂零元,那么,因为212,,,n n a x a x a x ⋅⋅⋅都是幂零元,由引理,显然易得多项式01n n f a a x a x =++⋅⋅⋅+是可逆的,即充分性得证.这个定理指出了,一类有幂零元零因子的非整环上的多项式环,可能有非平凡的可逆多项式.定理同时给出了一个在这种环上的可逆多项式的判别法则. 下面我们给出一个例子.考虑剩余类环m Z ,这里1212t a a at m p p p =⋅⋅⋅为整数,i p 是互不相等的素数,0i a >为整数.若,(,)1a Z a m ∈=,则m a Z ∈为可逆元.m b Z ∈为幂零元的充要条件是可写 21,t b kp p p k Z =⋅⋅⋅∈易知m Z 中幂零元的个数是1211112t a a a t s p p p ---=⋅⋅⋅.如果121t a a a ===,那么m Z 中仅有1s =个幂零元,没有其他非零的幂零元,m Z 为整环.我们考虑m Z 为非整环的情形.若对某1(1),i m a i t Z >≤≤中有非零的幂零元,由前面我们证明的定理知.[]m Z x 中有非平凡的可逆元(多项式),这些可逆多项式形如01mii i a b x =+∑其中021(,)1,,i i t i m a m b k p p p k Z ==⋅⋅⋅∈,即0a 是m Z 中的可逆元,i b 是m Z 中的幂零元. 特别值得一提的是,当12,1i a i t ≤≤≤≤时,[]m Z x 中次数不高于一个定数u 的一切 可逆元关于此环的乘法作成一个有限群.读者可自行验证之.回到开头提出的问题.若D 是一个整环,那么,D 上不定元x 的多项式环[]D x 中的可逆多项式就是D 中的可逆元素即[]D x 中的“零次”多项式.因此时D 中仅有唯一的幂零元0.于是我们直接得出与通常整环上相一致的结果.定理3.1.3 多项式f 是幂零的当且仅当它的所有系数都是幂零的.证明：（1）先证“充分性”.我们易证,如果,m n 是幂零元,则m n ±也是幂零元.f 是幂零元,显然0a 是幂零元,则有1012()n n f a x a a x a x --=++⋅⋅⋅+是幂零元.令112n n g a a x a x -=+++⋅⋅⋅+,则g 也是幂零元,那么1a 必为幂零元.依此类推可知01,,,n a a a ⋅⋅⋅是R 中的幂零元.（2）再证“必要性”.01,,,n a a a ⋅⋅⋅是R 中的幂零元,那么01,,,nn a a x a x ⋅⋅⋅也是[]R x 中的幂零元,因为,m n 是幂零元,则m n ±也是幂零元.所以可以推出f 是[]R x 的幂零元. 下面我们给出一个可逆多项式的判别法则.首先约定,后面提到的多项式的系数环,乃指有单位元的可交换环,不论其有无零因子.定理3.1.4 f 是[]R x 的零因子当且仅当有R 中的非零元a ,使得0af =. 证明：（1）先证“充分性”,显然成立.我们来证明必要性.（2）“必要性”.考察最低次得多项式01m m g b b x b x =++⋅⋅⋅+,使得0fg =.由于0()0m nki j k i j kfg a b x +=+===∑∑,由定理3.1.2可知0n m a b =,可以推出0n a g =；否则n a g 将是次数小于m 的零化f 的多项式,这就矛盾.由110n m n m a b a b --+=及0n m a b =可得210n m a b -=.于是得到10n a g -=.否则1n m a b g -将是次数小于m 的零化f 的多项式,这也矛盾. 依此类推可得：0n r a g -= 0r n ≤≤由于0g ≠,故01,,,m b b b ⋅⋅⋅中必有一元素不为零,令0i b ≠,由前边的证明可知：0i j a b =0,1,,i n =⋅⋅⋅.所以令j a b =,就有0af =.推论3.1.1 环R 是整环当且仅当[]R x 是整环.3.2环上多元多项式的性质同环上一元多项式一样,环上的多元多项式也具有一些类似的性质.设0R 是可变换的幺环,而R 是0R 的子环且R R ∈01.现任取0R 中n 个元素12,,,n x x x ⋅⋅⋅,我们可以依次做如下工作:首先作R 上的1x 的多项式环1[]R x , 再作2[]R x 上的2x 的多项式环 12[][]R x x ,最后作上12[][][]n R x x x ⋅⋅⋅的n x 的多项式环1[][].n R x x 其中, ()1212,,,[][][]n n f x x x R x x x ∀⋅⋅⋅∈⇒121212n n i i i i i i na x x x =∑ 其中,,21R a n i i i ∈ 系数只有有限个0≠.定义3.2.1 上述描述的每个()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅称为R 上的12,,,n x x x ⋅⋅⋅的多元多项式,而每个n i i i a 21叫做()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅的系数.习惯上, R 上的12,,,n x x x ⋅⋅⋅的多项式环1[][]n R x x 写成12[,,,]n R x x x ⋅⋅⋅. 对于多元多项式环中加法和乘法的运算为:(11211n nni i i i i n i i a xx ∑)11211n j n j nj j j j n j b x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭∑ ()11111nnnni i i i i i ni i ab xx =+∑(11211nn n i i i i i ni i a xx ∑)(1111n n n j j j j n j j bxx ∑)1111nn nk k k k nk k cxx =∑ 其中,111nn nm m mk k i i j j i j k c a b +==∑定理3.2.1 a 是12[,,,]n R x x x ⋅⋅⋅中的幂零元,那么f 的常数项必为幂零元.证明：a 为的f 常数项,那么1()f a f x =+且112()[,,,]n f x R x x x ∈⋅⋅⋅.因为f 为12[,,,]n R x x x ⋅⋅⋅中的幂零元,则存在n Z ∈,使得0n f =,即1(())n n f a f x =+.由1(())na f x +展开可知,n f 的展开式中只有n a 为常数项,于是2()n n f a f x =+,2()f x 为含有不定元得所有项.若0n f =,则必有0n a =,所以a 必为幂零元.3.3环上幂级数环的性质在以上章节中,我们讨论了有限项的多项式,下面我们来讨论项数无限的幂级数环的性质.定义3.3.1 R 设是有单位元的交换环,x 是一个未定元,系数取自环R 的幂级数有如下表达式：2012n n a a x a x a x +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅其中012,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是环R 中的元素,n 是非负整数,上式也可表示为0i i i a x ∞=∑,并规定01x =.在环R 中所有的幂级数构成的集合[]R x ,并定义如下加法和乘法：000()()()()()()ijki j k k i j k i j ki j k k i j k i j ka xb x a b x a x b x a b x ∞∞∞===∞∞∞===+=+=+=∑∑∑∑∑∑∑定义3.3.2 所有系数在环R 上的幂级数全体构成的集合称为R 上的幂级数环[]R x .同环上多项式一样,环上幂级数也具有一些类似的性质,设R 是有单位元的交换环,而[]R x 是系数属于R 的一个未定元x 幂级数环. 令2012[]n n f a a x a x a x R x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∈ ,定理3.3.1 若0a 是R 中的可逆元,则f 是[]R x 的可逆元.证明：把2012[]n n f a a x a x a x R x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∈变成0()f a xg x =+的形式,则()[]g x R x ∈.因为0a 是R 中的可逆元,我们用待定系数法来求一个1101()f a xg x -=+使得11ff =.设2012();g x x x βββ=+++⋅⋅⋅21012()g x x x γγγ=+++⋅⋅⋅ i γ待定,则方程组：1000010100101020110201001100000n n n n a a a a a a a a γβγβγβγβγβγβγβγβγβ------+=++=+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅可逐次求出012,,,γγγ⋅⋅⋅⋅⋅⋅.所以1f 存在.故当2012n n f a a x a x a x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅,0a 为R 中的可逆元时,f 是[]R x 的可逆元.定理3.3.2 如果f 是[]R x 的幂零元,那么对于一切0n ≥,n a 都是幂零元.证明：因为f 是[]R x 的幂零元,则存在0n >,使得0()0nn n n n f a x ∞===∑,则00na =,所以0a 是幂零元.于是可以得出0f a -也是幂零元. 又因为20123()()f a x a a x a x xg x -=+++⋅⋅⋅=,因此2123()g x a a x a x =+++⋅⋅⋅也必为幂零元,故可以得出1a 是幂零元.依此类推可得012,,,a a a ⋅⋅⋅都是幂零元.第四章总结本文从一般的数域上的多项式出发,经过推广,得出在环上的多项式,并通过对环上的多项式定义加法和乘法,得出了环上的多项式环.我们也进一步讨论了多项式的运算性质.而在有单位的交换环上,环上多项式环具有许多与其它环不同的性质,本文着重讨论了具有单位元的交换环上的环上多项式的一些特性.本文首先讨论的是有限项的多项式环,并将其推广至无限项的多项式环上——幂级数环. 同有限项的多项式一样,环上幂级数也具有一些类似的性质.我们根据环R的幂零元与可逆元之和是R的可逆元,得到了[]R x的可逆元和幂零元存在的条件.数域上的多项式环和环上的多项式环存在着许多不同的性质,同样,有限项多项式和无限项多项式也存在着很多联系和区别,这些联系和区别都有待于我们进一步思考.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）[M].高等教育出版社,1988.[2] 张禾瑞. 近世代数基础[M] . 北京: 高等教育出版社, 1978.[3] 周伯勋. 同调代数[M]. 科学出版社,1997.[4] 李正师. 多项式代数[M]. 山东人民出版社,1981.[5] 范崇金. 近世代数基础[M]. 哈尔滨工程大学出版社,2008.[6] 辛林. 近世代数[ M] . 北京:当代中国出版社, 2000.[7] 高绪珏. 近世代数[M]. 沈阳:辽宁人民出版社, 1985.[8] 吴品三. 近世代数[M] . 北京:高等教育出版社, 1979.[9] 刘绍学. 环与代数[M] . 科学出版社, 1983.[10] 高绪珏. 近世代数[M]. 沈阳:辽宁人民出版社, 1985.致谢首先,非常感谢欧阳伦群老师对我完成论文这一过程的指导,他渊博的知识,扎实的基础和严谨的科研态度,悉心的指导,才使我的论文能够顺利完成.其次,我要感谢数学学院的老师,他们在我四年的学习中,传授了我宝贵的知识,为我论文的顺利完成打下了基础.同时我也要感谢我所有的同学,在与他们的讨论中我获得了很多知识和启迪.最后,感谢我的家人和朋友给我的支持和鼓励,我一定会继续努力,争取以更优异的成绩回报社会.。
一元多项式 环的定义
一元多项式环的定义
一元多项式环是指在一个多项式环中，只有一种变量，且多项式的系数也属于一个环。
也就是说，一元多项式环由一个环R和变量x组成，任意一个元素可以表示成以下形式：
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$
其中，$a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0\in R$，$n\in \mathbb{N}$。
在一元多项式环中，两个多项式之间的加、减、乘运算的定义与高中学习的多项式运
算基本一致，可以通过展开式来进行计算。
不同的是，在一元多项式环中，多项式的系数
是来自一个环而非数域。
同时，一元多项式环也满足环的基本性质，即：
1.封闭性：一元多项式环中任意两个元素的加、减、乘结果仍然属于该环。
4.单位元：一元多项式环中存在唯一的0元素，满足对于任意一个元素f(x)，有
f(x)+0=f(x)。
6.分配律：一元多项式环中任意三个元素的加、乘操作满足左右分配律和右左分配
律。
在一元多项式环中，多项式的次数有时候也是非常重要的概念。
多项式的次数是指在
多项式中，最高次项的次数。
多项式的次数可以通过项数来计算，即多项式的次数等于多
项式中最高次项的次数。
在数学上，一元多项式环是一种非常重要的数学结构，广泛应用在代数学、符号计算、计算机代数等领域。
一元多项式环的举例
一元多项式环的举例一元多项式环是一种数学概念，它是由一组多项式和一组运算构成的代数结构。
在一元多项式环中，多项式的系数属于某个数域，通常是实数域或复数域。
下面我将列举10个例子，以帮助您更好地理解一元多项式环。
1. 例子一：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于实数域。
一个简单的例子是多项式环R[x]，其中R是实数域。
在这个环中，多项式的系数可以是实数，而变量x是多项式的未知数。
2. 例子二：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于复数域。
一个常见的例子是多项式环C[x]，其中C是复数域。
在这个环中，多项式的系数可以是复数，而变量x是多项式的未知数。
3. 例子三：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有理数域。
一个典型的例子是多项式环Q[x]，其中Q是有理数域。
在这个环中，多项式的系数可以是有理数，而变量x是多项式的未知数。
4. 例子四：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于整数环。
一个常见的例子是多项式环Z[x]，其中Z是整数环。
在这个环中，多项式的系数可以是整数，而变量x是多项式的未知数。
5. 例子五：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有限域。
一个典型的例子是多项式环F[x]，其中F是有限域。
在这个环中，多项式的系数可以是有限域中的元素，而变量x是多项式的未知数。
6. 例子六：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于布尔环。
一个简单的例子是多项式环B[x]，其中B是布尔环。
在这个环中，多项式的系数只能是0和1，而变量x是多项式的未知数。
7. 例子七：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有限整数环。
一个典型的例子是多项式环Z/nZ[x]，其中Z/nZ是有限整数环。
在这个环中，多项式的系数可以是有限整数环中的元素，而变量x是多项式的未知数。
8. 例子八：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有限域的扩域。
一个常见的例子是多项式环F[x]/(f(x))，其中F是有限域，f(x)是F[x]中的一个不可约多项式。
第二学期第七次课
第二学期第十七次课第九章 一元多项式环§1一元多项式环的基本理论9.1.1 域上的一元多项式环的定义定义9.1 设K 是一个数域，x 是一个不定元。
下面的形式表达式2012()n n f x a a x a x a x =+++++L L（其中012,,,...a a a 属于K ，且仅有有限个不是0）称为数域K 上的一个不定元x 的一元多项式。
数域K 上一个不定元x 的多项式的全体记作[]K x 。
下面定义[]K x 内加法、乘法如下：加法 设20122012(),(),f x a a x a x g x b b x b x =+++=+++L L 则定义2001122()()()()()f x g x a b a b x a b x +=++++++L为()f x 和()g x 的和。
乘法 设20122012(),(),f x a a x a xg x b b x b x =+++=+++L L 令011220(0,1,2,...) k k k k k c a b a b a b a b k --=++++=L 定义2012()(),f x g x c c x c x =+++L 为()f x 和()g x 的乘积。
容易验证，上面定义的加法、乘法满足如下运算法则：1） 加法有结合律；2） 20()000x x x =+++L 称为零多项式，满足()0()()(()[]) f x x f x f x K x +=∀∈3） 2012()f x a a x a x ∀=+++L 都有逆元2012()()()f x a a x a x -=-+-+-+L使得()(())0f x f x +-=；4） 加法有交换律；5） 乘法有结合律；6） 2()100I x x x =+++L 称为（乘法的）幺元，使得()[]f x K x ∀∈有()()()f x I x f x =；7） 乘法有交换律；8） 加法与乘法有分配律：()(()())()()()().f x g x h x f x g x f x h x +=+定义9.2 []K x 连同上面定义的加法与乘法，称为数域 K 上的一元多项式环。
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运算规律
1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、乘法消去律
定义 所有系数在数域K中的一元多项式全
体,称为数域K上的一元多项式环,记作 K[x], P称为K[x]的系数域.
练习：
设 f ( x), g( x),h( x) R[x] (1) 证明: 若 f 2( x) xg2( x) xh2( x), 则
一元多项式指只含一个变量. n是非负整数. 多项式常用f(x), g(x)等表示,或简记作f, g
设数域K上的多项式
f(x) = anxn+an-1xn-1++a1x+a0 ,
(1) an,an-1,,a1,a0称为f(x)的系数,系数全为0 的多项式称为零多项式,记作0.
(2) akxk (k=n,n-1,…,1,0)称为f(x)的k次项,ak称 为f(x)的k次项系数.
(3) 零次项a0也称为f(x)的常数项.
•(4) 若an0,称anxn为f(x)的首项,
an称为f(x)的首项系数, n 称为f(x)的次数,
常记作degf(x),或 f ( x).
(5) 非零常数是零次多项式. (6) 零多项式是唯一无法确定次数的多项式. (7) 只有f(x)0, degf(x)才有意义.
f(x)=2x2+3x-1,
) g(x)=x3+2x2-3x+2
.
2x5+3x4- x3
4x4+6x3-2x2
-6x3-9x2+3x
4x2+6x-2 .
f(x)g(x)=2x5+7x4- x3- 7x2+9x-2
一些性质
1、数域K上的两个多项式经过加、减、乘运 算后,所得的结果仍然是数域K上的多项式
若m<n时,为2== b n-1=b n =0.
f(x+)(ag1(xb)=1)x(a+n(ab0n)bx0n)+=(ani-n10(bani -1)xbni-1)+x…i
3、乘法: f(x)g(x)
将f(x),g(x)的各个项分别相乘后合并同类项.
f(x)g(x)=(anxn+an-1xn-1++a1x+a0)(bmxm
从而 g2( x) h2( x) 0.
又 f ( x), g( x) 均为实系数多项式 ， 从而必有 g( x) h( x) 0. f ( x) g( x) h( x) 0. (2) 在 C上不成立．如取 f ( x) 0, g( x) ix, h( x) x
§7.1 一元多项式环的概念及其通用性质
1
一、多项式 定义. 设x是一个变量(文字),n是非负整数.表
示式
anxn+an-1xn-1++a1x+a0 ,
其中an, an-1,,a1, a0全属于数域K,称为系数在
数域K中的一元多项式,简称数域K上的一元多 项式.
注:
(1)
(2) (3) 等.
f ( x)=g( x) h( x) 0 (2) 在复数域上(1)是否成立？
(1) 证：若 f ( x) 0, 则 x(g2( x) h2( x)) f 2( x) 0,
从而 g2( x) h2( x) 0. 于是 ( xg2( x) xh2( x)) ( x(g2( x) h2( x)))为奇数. 但 ( f 2( x))为偶数. x(g2( x) h2( x)) f 2( x), 这与已知矛盾. 故 f ( x) 0,
二 多项式的运算
设 f(x) = anxn+an-1xn-1++a1x+a0 ,
g(x) = bmxm+bm-1xm-1++b1x+b0 ,
1、相等: f(x)=g(x)
若f(x)与g(x)的所有同次项系数全相等.
2、加(减)法: f(x)g(x)
将f(x)与g(x)的所有同次项系数相加(减);
+bm-1xm-1++b1x+b0)
nm
( aibj )xk k0 i jk
注(1)乘积f(x)g(x)中xk(0kn+m)的系数是
a0bk+a1bk-1++ak-1b1+akb0
其中,若i>n,则ai=0;若j>m,则bj=0.
(2)乘法运算式可按竖式进行.
乘法运算式
例1.设f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2,则
2、deg(f(x)g(x))max(deg f(x),deg g(x))
deg(f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x) 3、若f(x)0,g(x)0,则f(x)g(x)0,而且f(x)g(x)的
首项就等于f(x)的首项与g(x)的首项之积; f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数与g(x) 的首项系数之积.