2013届人教A版理科数学课时试题及解析(42)立体几何中的向量方法(一)——位置关系的证明

课时作业(四十二) [第42讲 立体几何中的向量方法(一)——位置关系的证明]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．直线l 1，l 2相互平行，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( ) A ．s 1＝(0,1,2)，s 2＝(2,1,0) B ．s 1＝(0,1,1)，s 2＝(1,1,0) C ．s 1＝(1,1,2)，s 2＝(2,2,4)
D ．s 1＝(1,1,1)，s 2＝(－1,2，－1)
2．直线l 1，l 2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( ) A ．s 1＝(1,1,2)，s 2＝(2，－1,0) B ．s 1＝(0,1，－1)，s 2＝(2,0,0) C ．s 1＝(1,1,1)，s 2＝(2,2，－2)
D ．s 1＝(1，－1,1)，s 2＝(－2,2，－2)
3．若直线l ∥平面α，直线l 的方向向量为s ，平面α的法向量为n ，则下列结论正确的是( )
A ．s ＝(－1,0,2)，n ＝(1,0，－1)
B ．s ＝(－1,0,1)，n ＝(1,2，－1)
C ．s ＝(－1,1,1)，n ＝(1,2，－1)
D ．s ＝(－1,1,1)，n ＝(－2,2,2)
4．若直线l ⊥平面α，直线l 的方向向量为s ，平面α的法向量为n ，则下列结论正确的是( )
A ．s ＝(1,0,1)，n ＝(1,0，－1)
B ．s ＝(1,1,1)，n ＝(1,1，－2)
C ．s ＝(2,1,1)，n ＝(－4，－2，－2)
D ．s ＝(1,3,1)，n ＝(2,0，－1) 能力提升
5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A ．n 1＝(1,2,3)，n 2＝(－3,2,1) B ．n 1＝(1,2,2)，n 2＝(－2,2,1) C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－2,2,1)
D ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－2，－2，－2)
6．若平面α，β垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1) B ．n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1) C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1)
D ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2)
7．直线l 的方向向量为s ＝(－1,1,1)，平面π的法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥平面π，则x 的值为( )
A ．－2
B ．－ 2 C. 2 D ．±2
8． 已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量是( ) A ．s ＝±(1,1,1)
B ．s ＝±
⎝⎛⎭⎫22
，22，22 C ．s ＝±
⎝⎛⎭⎫33
，33，33
D ．s ＝±
⎝⎛⎭⎫
33
，－33，
33 9． 已知非零向量a ，b 及平面α，若向量a 是平面α的法向量，则a ·b ＝0是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．平面α的一个法向量n ＝(0,1，－1)，如果直线l ⊥平面α，则直线l 的单位方向向量是s ＝________.
11．空间中两个有一条公共边AD 的正方形ABCD 与ADEF ，设M ，N 分别是BD ，AE 的中点，给出如下命题：①AD ⊥MN ；②MN ∥平面CDE ；③MN ∥CE ；④MN ，CE 异面．
则所有正确命题的序号为________．
12．平面α经过点A (0,0,2)且一个法向量n ＝(1，－1，－1)，则x 轴与该平面的交点坐标是________．
13．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →
＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为________．
14．(10分)如图K42－1，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥BP 交BP 于点F .
(1)证明：P A ∥平面
(2)证明：PB ⊥平面
15．(13分)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，∠BAC ＝90°，AB ＝AA 1＝2，AC ＝1，M ，N 分别是A 1B 1，BC 的中点．
(1)求证：AB ⊥AC 1；
(2)求证：MN ∥平面ACC 1A 1.
难点突破
16．(12分)如图K42－3，已知棱长都为1的三棱锥O －ABC ，棱OA 的中点为M ，自O
作平面ABC 的垂线，垂足为H ，OH 与平面MBC 交于点I .
(1)将OI →用OA →，OB →，OC →
表示；
(2)P 点分线段MB 的比为t
1－t
(0<t <1)，
①将OP →用t ，OA →，OB →
表示；
②若三点P ，I ，C 在同一直线上，求t 的值； ③若PO ⊥P A ，求t 的值．
课时作业(四十二)
【基础热身】
1．C [解析] 两直线平行则其方向向量平行，根据两向量平行的条件检验知正确选项为C.
2．B [解析] 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B 中的两个向量垂直．
3．C [解析] 直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直，检验知正确选项为C.
4．C [解析] 线面垂直时，直线的方向向量平行于平面的法向量，只有选项C 中的两向量平行．
【能力提升】
5．D [解析] 两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为D.
6．A [解析] 两个平面垂直时其法向量垂直，只有选项A 中的两个向量垂直．
7．D [解析] 线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故x 2－2＝0，解得x ＝±2.
8．C [解析] 先求出平面ABC 的一个法向量，再把其单位化．不难求出其一个法向量
是n ＝(1,1,1)，单位化得s ＝±
⎝⎛⎭⎫33
，33，33. 9．C [解析] 根据向量与平面平行、以及平面的法向量与直线的方向向量之间的关系进行判断．
a ·
b ＝0说明向量b 垂直于平面α的法向量，故向量b 与平面α共面，此时向量b 所在的直线平行于平面α10．±
⎝
⎛0，22，－α的法向量，故直线l 的单位方向向量是s ＝±
11．①②③ [则|
a |＝|c |且a ·
b ＝
c －a )，MN →·AD →＝1
2
(c －a )·b
＝12
(c ·b －a ·b )＝0，故MN ∥平面CDE ，故①12．(－2,0,0) [解析] 设交点M (x,0,0)，AM ＝(x,0，－2)，平面的一个法向量是n ＝(1，
－1，－1)，故n ⊥AM →
，故x ＋2＝0，得x ＝－2，故x 轴与该平面的交点坐标是(－2,0,0)．
13.407，－157，4 [解析] 由题知：BP →⊥AB →，BP →⊥BC →. 所以
⎩⎪⎨⎪⎧
AB →·BC →＝0，BP →·AB →
＝0，BP →·BC →＝0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
1×3＋5×1＋(－2)×z ＝0，x －1＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，3(x －1)＋y －3z ＝0.
解得x ＝407，y ＝－15
7
，z ＝4.
14．[解答] 证明：以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建
立空间直角坐标系．设DC ＝a .
(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2. 因为底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫
a 2，a 2，0， 且P A →＝(a,0，－a )，EG →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2.所以P A →＝2EG →
，这表明P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ，所以P A ∥平面EDB . (2)依题意得B (a ，a,0)，PB →
＝(a ，a ，－a )．
DE →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →
＝0＋a 22－a 22
＝0，所以PB ⊥DE ，
由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .
15．[解答] 依条件可知AB ，AC ，AA 1两两垂直．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz .
A (0,0,0)，
B (0,2,0)，
C (－，M (0,1,2)，N ⎝⎛⎭⎫－1
2，1，0. (1)→×(－1)＋2×0＋0×2＝0.
所以AC 1.
(2)⎭⎫0，－2，AB →
＝(0,2,0)是平面ACC 1A 1的一个法向量， 且MN →－2×0＝0，
所以又MN ⊄平面ACC 1A 1， 所以MN ∥平面ACC 1A 1. 【难点突破】
16．[解答] (1)据已知，H 是正△ABC 的中心，∴OH →＝13
(OA →＋OB →＋OC →)，又I 在OH →
上，
故存在实数λ，使OI →＝λOH →＝λ3(OA →＋OB →＋OC →
)＝λ3(2OM →＋OB →＋OC →)，
∵I 在平面MBC 内，故2λ3＋λ3＋λ3＝1，即λ＝34，于是OI →＝14
(OA →＋OB →＋OC →
)．
(2)①MP →＝tMB →，PB →＝(1－t )MB →，OP →＝OM →＋MP →＝OM →＋tMB →＝OM →＋t (OB →－OM →
)＝12
OA →＋
t ⎝⎛⎭⎫OB →－12OA →＝1－t 2
OA →＋tOB →
；
②P 在直线IC 上，故存在实数m ，使 OP →＝(1－m )OC →＋mOI →＝(1－m )OC →＋m 4·OA →＋m 4·OB →＋m 4
·OC →
＝4－3m 4·OC →＋m 4·OA →＋m 4·OB →，
比较①②中两式可得
⎩⎪⎨⎪⎧
4－3m
4
＝0，m 4＝1－t 2，m 4
＝t ，解得⎩⎨⎧
m ＝43
，
t ＝1
3，
故t 的值为1
3
.
③OP →·AP →＝⎝⎛⎭⎫1－t 2OA →＋tOB →·(OP →－OA →)＝⎝⎛⎭⎫1－t 2OA →＋tOB →·⎝⎛⎭
⎫－1＋t 2OA →＋tOB →
＝t 2－14
OA →2＋t 2OB →2－t 2OA →·OB →
＝t 2－14·12＋t 2·12－t 2·1·1·cos60°＝3t 2－14
，
∵OP →⊥P A →，∴OP →·P A →
＝0，∴3t 2－14＝0，即t ＝±33
，
又∵0<t <1，∴t ＝3
3即为所求．。