毛虫树的性质与均匀着色数的计算
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２ ｉ １２ …， ， ， ， ｍ．称 的子路 Ｓ ＝
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ｖ， ＂ ｖ ｊ＋ ２＂ ｊ
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一
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＞ ｄ（ｊ ＞ ， 为 Ｔ的一个 最大子路 ， 果 ｄ 。） ２， ｖ ） ２ 且 ｄ（， ） 如 （ ｖ＋ｋ ＝ ｊ
．
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２０ －ｔ １ ．如果 子路 的第 一个顶 点 或最后 一个 顶 点与不 在这 条路 上 的一个 顶点 ｖ相邻 ， （ ＜ ） 一 那么 我们 就称 这条子 路与 ｖ 邻 ， 相 反之亦然 ．显然 ， 至 多邻接 两条子 路 ， ｖ 一个在 右 ， 一个 在左 ．设 有 ｈ个 不 同的最 大子 路 ， 为 Ｊ ， …Ｊ 对于 每一个 最大 子路 ， 们交 替地选 择顶 点 （ 记 ｓＪ ｃｓ ｓ １ 我 比如 ： 们从序 列 ＂１２６ 中选择 ｖ，５ 我 １２ Ｖ ２４Ｖ ３＂ ＂１ ３ｖ， Ｖ） 且在 Ｊ 中得 到至 多 『ｌ７ ７， ｓ ｔ２ 个顶 点 ，＝ ， ， ， ． 由此我 们 可 以得 到度 为 ２的顶 点 的一个 极 大独 立集 Ｊ ｉ ｉ１２ … ｈ ｓ ，
毕．
定 理 ２ 设 是一个 毛虫 树 ， 则度为 １的顶点 和 的一个极 大独 立集 中的顶 点所构 成 的集合 是 的一
＋， ｌ最大度 不大 于 △ 的外 平面
图可均 匀 ． 色 ．Ｂ Ｌ Ｃ ｅ 着 ． ． ｈ ｎ和 Ｋ Ｗ． ｉｔ 出了树可 均匀 ． 色 的充要 条件 ． ． Ｌｈ Ｊ ａ 给 着
本 文 ，对毛 虫树 的性质 与均匀 着色数 进行 了研 究 ， 并得 到均 匀着色 数 的一个精确 计 算公式 ．
ｖ） ｍ ．路 ＝ 。 …ｖ 称 为该毛 虫树 的树脊 ．设 ｄ（ ） ｄ，＝ ， ， ， 毛 虫树又可 记为 Ｔ ｄ ，：… ，ｍ ． ｖｖ ｖ ＝ ｉｉ １２ … ｍ， （。 ， ｄ ） ｄ
现在我们 给 出一个 计算 毛虫树 的均 匀着色 数 的方法 ．对 于毛 虫树 Ｔｖ， … ，ｍ 来 说 ， （。ｖ， Ｖ） 显然 有 ｄｖ （ｉ ）
引理 １４ 设 Ｔ ＴＸ ｙ 是一个具有二部划分 ， ） ｌ ｌ ｙ １ ［］ ＝ （，） ｙ 且 —ｌ ｌ ｌ ｌ 的非空树， 则 可均匀 ． 着色
的充要 条件 是 ｋ ． ≥２
设ｖ ∈Ｖ（） 如果 ｄｖ＝ Ｇ ， 称 ｖ是 Ｇ一 个支配 点 ． Ｇ， （） △（ ）则
引理 ２ ４ 设 ＝ ， ） ［］ Ｔ ｙ 是满足 Ｉ ｌ ｙｌ＞ 的树 ， １ —ｌ １ １ 则 可均匀 ． 着色的充要条件是 ｋ ｍ ｘ３ － ＞ ａ ｛， ［ １ （） ＋ ） （－ ｖ） ２］ ， 中 ｖ 的任意支配点， Ｇ 表示图 Ｇ的独立数 ． （ Ｖ ７ ｌ １／ ＴＮ（ ＋） ）其 １ ） 为 （ ） 对于树 ， 令 ＝ ｖ （ ∈Ｖ（ ：（） １ ， ｄ ｖ＝ ） 如果 是一 条路 ＝ 。…ｖ， ｖ 则称树 是毛虫树 ， ｖ 记为Ｔ ｖ，２… ， （。 ， ｖ
证 明 设 ， Ｇ的一个 任意 的独 立集 ， 是 Ｃ是一 个 任意 的边 覆盖 ． 因为 ， 多包 含 Ｃ中一条 边 的一个 顶 最
点， 所以 ｌｌ ｌ ．设 ，是一个极大的独立集 ， ， ｃ１ ｃ 是一个极大的边覆盖， 则有 ｌｌ ｌ ｌ ｌ ｌ ． ， ， ｌ １ ｃ ｃ 如果 ｌｌ ｌ ， ， ＝ ｌ那么 ｌｌ ｌ ｌ ｌ ｌ ．于是， ｃ ， ＝ ， ， ｃｌ １ ＝ｃ 可知 ， 是一个极大独立集， ｃ是一个极大边覆盖 ．证 明完
关键词：毛 虫树； 可均匀 ｋ着 色； 均匀着 色数 －
中图分类号 ：Ｏ １７５ ５ ． 文献标识码：Ａ
本 文所 涉及 的图均为 有 限 ，非 空 ，无 向的简 单 图 ．称 图 Ｇ可 均匀 ． 着色 的最小整 数 ｋ为 Ｇ的均 匀色 数 ， 为 犯（ ） 记 Ｇ ．Ｗ． ｙ＃在 １７ Ｍｅｅ－ ９ ３年提 出了均 匀着 色 的概 念并提 出 了一个 猜想 ： Ｇ是连 通但 不是完 全 图 】 若
和奇 圈 ， Ｊ ｏ △（ ） 其 中 Ａ（ ） ￣ｘ （ Ｊ Ｇ） Ｇ， Ｇ 表示 图 Ｇ的最大度 ．ＢＢ ｌ ｂ ｓ Ｒ． ． ｕ ［ 明 了： 果 ｎ ３ 一 ．ｏ ｏ ａ 和 ｌ Ｋ Ｇ ｙ１ ２ ￣ 如 ＞ ＿ Ａ ８或
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第 ２ 卷 第 ４期 ５
２ ０ 年 ８月 ０７
河
南
科Байду номын сангаас
学
Ｖｏ ． Ｎｏ４ １ ２５ ． Ａｕ ｇ．２ ０７ ０
ＨＥＮＡＮ ＳＣＩ ＥＮＣＥ
文 章 编号 ：０ ４ ３ １ （０ ７ ０ — ５ ４ ０ １０ — ９ ８ ２０ ） ４ ０４ —２
毛虫树 的性质 与均匀着色数 的计算
周素静
（ 州 铁 路 职 业技 术 学 院 ， 州 郑 郑 ４ ０ ５） ５ ０ ２
摘 要 ：称 图 Ｇ是可均 匀ｋ着 色的 ， － 如果可以用 ｋ种颜 色给 Ｇ的顶点着 色， 使得相 邻的顶点不同 色且各 色类的基
数至多差 １ ．可得到毛虫树 的一个性质和计算毛 虫 的均匀色数的一个精确计算公式 ． 树
满足 ｌ ｌ ∑ 。ｉ ］ ＝ 『 ２ ．设 ＝ ｖ ｖ （ ， ｄ ｖ＝ ） ＝ ［ ］ Ｊ ｓ ｔ ／ （ ： ∈ 且 （ ２ ， 是 的一个导出子图．显然， 是 的一 ） Ｊ ｓ
个 极大独 立集 ．
一
定理 １ 对于图 Ｇ 设 ， ， 是一个独立集， 是一个边覆盖 ， Ｃ 且满足 ｌｌ 则 ， ，＝ｌ ｌ ｃ ， 是一个极大独立集 ， ｃ是 个极 大边覆 盖 ．
．
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ｖ， ＂ ｖ ｊ＋ ２＂ ｊ
．
一
．
＞ ｄ（ｊ ＞ ， 为 Ｔ的一个 最大子路 ， 果 ｄ 。） ２， ｖ ） ２ 且 ｄ（， ） 如 （ ｖ＋ｋ ＝ ｊ
．
．
．
２０ －ｔ １ ．如果 子路 的第 一个顶 点 或最后 一个 顶 点与不 在这 条路 上 的一个 顶点 ｖ相邻 ， （ ＜ ） 一 那么 我们 就称 这条子 路与 ｖ 邻 ， 相 反之亦然 ．显然 ， 至 多邻接 两条子 路 ， ｖ 一个在 右 ， 一个 在左 ．设 有 ｈ个 不 同的最 大子 路 ， 为 Ｊ ， …Ｊ 对于 每一个 最大 子路 ， 们交 替地选 择顶 点 （ 记 ｓＪ ｃｓ ｓ １ 我 比如 ： 们从序 列 ＂１２６ 中选择 ｖ，５ 我 １２ Ｖ ２４Ｖ ３＂ ＂１ ３ｖ， Ｖ） 且在 Ｊ 中得 到至 多 『ｌ７ ７， ｓ ｔ２ 个顶 点 ，＝ ， ， ， ． 由此我 们 可 以得 到度 为 ２的顶 点 的一个 极 大独 立集 Ｊ ｉ ｉ１２ … ｈ ｓ ，
毕．
定 理 ２ 设 是一个 毛虫 树 ， 则度为 １的顶点 和 的一个极 大独 立集 中的顶 点所构 成 的集合 是 的一
＋， ｌ最大度 不大 于 △ 的外 平面
图可均 匀 ． 色 ．Ｂ Ｌ Ｃ ｅ 着 ． ． ｈ ｎ和 Ｋ Ｗ． ｉｔ 出了树可 均匀 ． 色 的充要 条件 ． ． Ｌｈ Ｊ ａ 给 着
本 文 ，对毛 虫树 的性质 与均匀 着色数 进行 了研 究 ， 并得 到均 匀着色 数 的一个精确 计 算公式 ．
ｖ） ｍ ．路 ＝ 。 …ｖ 称 为该毛 虫树 的树脊 ．设 ｄ（ ） ｄ，＝ ， ， ， 毛 虫树又可 记为 Ｔ ｄ ，：… ，ｍ ． ｖｖ ｖ ＝ ｉｉ １２ … ｍ， （。 ， ｄ ） ｄ
现在我们 给 出一个 计算 毛虫树 的均 匀着色 数 的方法 ．对 于毛 虫树 Ｔｖ， … ，ｍ 来 说 ， （。ｖ， Ｖ） 显然 有 ｄｖ （ｉ ）
引理 １４ 设 Ｔ ＴＸ ｙ 是一个具有二部划分 ， ） ｌ ｌ ｙ １ ［］ ＝ （，） ｙ 且 —ｌ ｌ ｌ ｌ 的非空树， 则 可均匀 ． 着色
的充要 条件 是 ｋ ． ≥２
设ｖ ∈Ｖ（） 如果 ｄｖ＝ Ｇ ， 称 ｖ是 Ｇ一 个支配 点 ． Ｇ， （） △（ ）则
引理 ２ ４ 设 ＝ ， ） ［］ Ｔ ｙ 是满足 Ｉ ｌ ｙｌ＞ 的树 ， １ —ｌ １ １ 则 可均匀 ． 着色的充要条件是 ｋ ｍ ｘ３ － ＞ ａ ｛， ［ １ （） ＋ ） （－ ｖ） ２］ ， 中 ｖ 的任意支配点， Ｇ 表示图 Ｇ的独立数 ． （ Ｖ ７ ｌ １／ ＴＮ（ ＋） ）其 １ ） 为 （ ） 对于树 ， 令 ＝ ｖ （ ∈Ｖ（ ：（） １ ， ｄ ｖ＝ ） 如果 是一 条路 ＝ 。…ｖ， ｖ 则称树 是毛虫树 ， ｖ 记为Ｔ ｖ，２… ， （。 ， ｖ
证 明 设 ， Ｇ的一个 任意 的独 立集 ， 是 Ｃ是一 个 任意 的边 覆盖 ． 因为 ， 多包 含 Ｃ中一条 边 的一个 顶 最
点， 所以 ｌｌ ｌ ．设 ，是一个极大的独立集 ， ， ｃ１ ｃ 是一个极大的边覆盖， 则有 ｌｌ ｌ ｌ ｌ ｌ ． ， ， ｌ １ ｃ ｃ 如果 ｌｌ ｌ ， ， ＝ ｌ那么 ｌｌ ｌ ｌ ｌ ｌ ．于是， ｃ ， ＝ ， ， ｃｌ １ ＝ｃ 可知 ， 是一个极大独立集， ｃ是一个极大边覆盖 ．证 明完
关键词：毛 虫树； 可均匀 ｋ着 色； 均匀着 色数 －
中图分类号 ：Ｏ １７５ ５ ． 文献标识码：Ａ
本 文所 涉及 的图均为 有 限 ，非 空 ，无 向的简 单 图 ．称 图 Ｇ可 均匀 ． 着色 的最小整 数 ｋ为 Ｇ的均 匀色 数 ， 为 犯（ ） 记 Ｇ ．Ｗ． ｙ＃在 １７ Ｍｅｅ－ ９ ３年提 出了均 匀着 色 的概 念并提 出 了一个 猜想 ： Ｇ是连 通但 不是完 全 图 】 若
和奇 圈 ， Ｊ ｏ △（ ） 其 中 Ａ（ ） ￣ｘ （ Ｊ Ｇ） Ｇ， Ｇ 表示 图 Ｇ的最大度 ．ＢＢ ｌ ｂ ｓ Ｒ． ． ｕ ［ 明 了： 果 ｎ ３ 一 ．ｏ ｏ ａ 和 ｌ Ｋ Ｇ ｙ１ ２ ￣ 如 ＞ ＿ Ａ ８或
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第 ２ 卷 第 ４期 ５
２ ０ 年 ８月 ０７
河
南
科Байду номын сангаас
学
Ｖｏ ． Ｎｏ４ １ ２５ ． Ａｕ ｇ．２ ０７ ０
ＨＥＮＡＮ ＳＣＩ ＥＮＣＥ
文 章 编号 ：０ ４ ３ １ （０ ７ ０ — ５ ４ ０ １０ — ９ ８ ２０ ） ４ ０４ —２
毛虫树 的性质 与均匀着色数 的计算
周素静
（ 州 铁 路 职 业技 术 学 院 ， 州 郑 郑 ４ ０ ５） ５ ０ ２
摘 要 ：称 图 Ｇ是可均 匀ｋ着 色的 ， － 如果可以用 ｋ种颜 色给 Ｇ的顶点着 色， 使得相 邻的顶点不同 色且各 色类的基
数至多差 １ ．可得到毛虫树 的一个性质和计算毛 虫 的均匀色数的一个精确计算公式 ． 树
满足 ｌ ｌ ∑ 。ｉ ］ ＝ 『 ２ ．设 ＝ ｖ ｖ （ ， ｄ ｖ＝ ） ＝ ［ ］ Ｊ ｓ ｔ ／ （ ： ∈ 且 （ ２ ， 是 的一个导出子图．显然， 是 的一 ） Ｊ ｓ
个 极大独 立集 ．
一
定理 １ 对于图 Ｇ 设 ， ， 是一个独立集， 是一个边覆盖 ， Ｃ 且满足 ｌｌ 则 ， ，＝ｌ ｌ ｃ ， 是一个极大独立集 ， ｃ是 个极 大边覆 盖 ．