【步步高】2014届高考数学一轮复习 2.3.1 双曲线的标准方程备考练习 苏教版

§2.3 双曲线 2．3.1 双曲线的标准方程

一、基础过关

1． 双曲线x 210－y 2

2

＝1的焦距为________．

2． 已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为__________________． 3． 若点M 在双曲线x 216－y 2

4＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且MF 1＝3MF 2，则MF 2＝___.

4． 已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为

____________．

5． 若方程y 24－x 2

m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________．

6． 双曲线5x 2

＋ky 2

＝5的一个焦点是(6，0)，那么实数k 的值为________．

7． 椭圆x 2

34＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 2

16

＝1有相同的焦点，则实数n 的值是________．

8． 若双曲线x 2

－4y 2

＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若AB

＝5，则△AF 1B 的周长为________． 二、能力提升

9． 在平面直角坐标系xOy 中，方程

x 2

k －1＋

y 2

k －3

＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值

范围为________．

10．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→²PF 2→

＝0，

PF 1²PF 2＝2，则双曲线的标准方程为____________．

11．

如图，已知定圆F 1：x 2

＋y 2

＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2

＋y 2

－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、

F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．

12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2

＋9y 2

＝36有相同的焦点．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判别△MF 1F 2的形状． 三、探究与拓展

13．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6千米，C 在B 北偏西30°，相距4千米，P

为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，求A 应沿什么方向炮

击P地．

答案

1． 4 3 2． x

2

25－y

2

24＝1或y

2

25－x

2

24＝1 3． 4 4． x 2

5－y 2

＝1 5． m >－1 6． －1

7． ±3 8． 18 9． (1,3) 10．x 2

4－y 2

＝1

11．解 圆F 1：(x ＋5)2

＋y 2

＝1，

∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2

＋y 2

＝42， ∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ， 则有MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3.

∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴b 2

＝914

.

∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1 (x ≤－3

2)．

12．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 2

4

＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，

故设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1，

则有⎩⎪⎨⎪⎧

9a 2－4b

2＝1，a 2＋b 2＝5，

解得a 2＝3，b 2

＝2，

所以双曲线的标准方程为x 23－y 2

2＝1.

(2)不妨设M 点在右支上， 则有MF 1－MF 2＝23， 又MF 1＋MF 2＝63，

故解得MF 1＝43，MF 2＝23， 又F 1F 2＝25，

因此在△MF 1F 2中，MF 1边最长，

而cos∠MF 2F 1＝MF 22＋F 1F 22－MF 21

2²MF 2²F 1F 2

<0，

所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．

13．解 如图所示，以直线BA 为x 轴，线段BA 的垂直平分线为y 轴

建立坐标系， 则B (－3,0)、

A (3,0)、 C (－5,23)，

∵PB ＝PC ，

∴点P 在线段BC 的垂直平分线上．∵k BC ＝－3，

BC 的中点D (－4，3)，

∴直线PD ：y －3＝13

(x ＋4)①

又PB －PA ＝4，

故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上． 设P (x ，y )，则双曲线方程为x 24－y 2

5＝1 (x ≥2)②

联立①、②式，得x ＝8，y ＝53，

所以P (8,53)．因此k PA ＝53

8－3＝3，

故A 应沿北偏东30°方向炮击P 地．