2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第3章第2讲 导数与函数的单调性含解析

第2讲导数与函数的单调性
最新考纲了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次).
知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
已知函数f(x)在某个区间内可导，
(1)如果f′（x)＞0，那么函数y＝f（x)在这个区间内单调递增；（2）如果f′（x)＜0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递减.
2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是:
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f′(x)；
(3）由f′(x）＞0（或＜0)解出相应的x的取值范围。

当f′（x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数;当f′(x）＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.
一般需要通过列表，写出函数的单调区间.
3.已知单调性求解参数范围的步骤为：
(1）对含参数的函数f（x)求导，得到f′（x）；
（2)若函数f(x)在［a，b]上单调递增,则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x）
在［a，b］上单调递减,则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时,是否恒有f′（x)＝0。

若f′（x）＝0恒成立，则函数f(x）在（a，b)上为常数函数，舍去此参数值.
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×")
(1）若函数f（x)在(a，b）内单调递增，那么一定有f′(x)>0。

（) (2）如果函数f(x）在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x）在此区间内没有单调性.（)
（3)f′(x)〉0是f（x）为增函数的充要条件。

（)
解析（1)f(x）在（a,b）内单调递增，则有f′（x)≥0。

(2)f′（x）〉0是f(x）为增函数的充分不必要条件.
答案（1)×(2）√(3)×
2。

函数f(x）＝e x－x的单调递增区间是( )
A.(－∞，1］
B.[1，＋∞)
C。

（－∞，0］ D.(0，＋∞)
解析令f′（x）＝e x－1〉0得x>0，所以f（x)的递增区间为（0，＋∞）。

答案D
3。

设f′(x）是函数f（x)的导函数，y＝f′（x)的图象如图所示,则y ＝f(x）的图象最有可能是( ）
解析由y＝f′(x）的图象易知当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0，故函数y＝f（x）在区间（－∞，0)和（2，＋∞)上单调递增;当0＜x＜2时，f′（x）＜0，故函数y＝f（x)在区间(0,2)上单调递减.
答案C
4.(2014·全国Ⅱ卷）若函数f（x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞）单调递增，则k的取值范围是( ）
A.（－∞，－2］
B.（－∞,－1]
C。

［2，＋∞）D。

[1,＋∞）
解析依题意得f′(x）＝k－错误!≥0在（1,＋∞)上恒成立，
即k≥错误!在(1，＋∞）上恒成立，
∵x＞1，∴0＜错误!＜1，∴k≥1，故选D.
答案D。