2017年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷

2017年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．（5分）已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁U B）=．
2．（5分）若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是．3．（5分）双曲线的准线方程是．
4．（5分）某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是．
5．（5分）命题“∀x＞2，都有x2＞2”的否定是．
6．（5分）如图中流程图的运行结果是．
7．（5分）口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是．
8．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，数列的前n项和为T n，则T2017=．
9．（5分）将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对
称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m的最小值为．
10．（5分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则=．
11．（5分）已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．
12．（5分）已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大．
13．（5分）已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f （x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）=．
14．（5分）已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．（14分）已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，
（1）求的值；
（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．
16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1
是矩形．
（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；
（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．
17．（14分）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线
y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
18．（16分）数列{a n}满足，n=1，2，3，…．
（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F （m，n）＜4对任意的；
（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k ＞1的所有k的值，并说明理由．
19．（16分）某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．
（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；
（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）
20．（16分）已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；
（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．
2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换
21．（10分）已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．
C.选修4-4：坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标．
【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作
答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23．（10分）在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．
（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；
（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．
24．（10分）（1）证明：；
（2）证明：；
（3）证明：．
2017年江苏省苏州市常熟中学高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．（5分）（2017•常熟市校级二模）已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁U B）={2，3，4} ．
【解答】解：A={x|0＜x＜5，x∈U}={1，2，3，4}，
B={x|x≤1，X∈U}，则∁U B={x|x＞1，X∈U}={2，3，4，5，…}，
则A∩（∁U B）={2，3，4}，
故答案为：{2，3，4}
2．（5分）（2017•常熟市校级二模）若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是3．
【解答】解：∵，
∴﹣i••i=﹣i（3+4i），
∴=4﹣3i．
∴z=4+3i．
∴复数z的虚部是3．
故答案为：3．
3．（5分）（2017•常熟市校级二模）双曲线的准线方程是y=．【解答】解：双曲线，可得a=1，b=，c=2，双曲线的准线方程为：y=±．
故答案为：y=．
4．（5分）（2017•常熟市校级二模）某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率
分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是288．
【解答】解：由频率分布直方图得样本身高不小于175cm的频率为：
（0.012+0.004）×10=0.16，
∴估计该校身高不小于175cm的人数是：
1800×0.16=288．
故答案为：288．
5．（5分）（2017•常熟市校级二模）命题“∀x＞2，都有x2＞2”的否定是∃x0＞2，x02≤2．
【解答】解：命题“∀x＞2，x2＞2”是全称命题，其否定是：∃x0＞2，x02≤2．故答案为：∃x0＞2，x02≤2．
6．（5分）（2017•常熟市校级二模）如图中流程图的运行结果是6．
【解答】解：第一次，S=1，i=2，S＞10不成立，
第二次，S=1+2=3，i=3，S＞10不成立，
第三次，S=3+3=6，i=4，S＞10不成立
第四次，S=6+4=10，i=5，S＞10不成立
第五次，S=10+5=15，i=6，S＞10成立，输出i=6，
故答案为：6
7．（5分）（2017•常熟市校级二模）口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数
字之积为4的概率是．
【解答】解：∵口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，
基本事件总数n=，
取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件有：（1，4），（1，4），（2，2），共3个，
∴取出的两个小球上所标数字之积为4的概率p=．
故答案为：．
8．（5分）（2017•常熟市校级二模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，
S4=28，数列的前n项和为T n，则T2017=．
【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S4=28，可得a1+a4=14，解得a1=4，10=4+3d，解得d=2，
S n=4n+=n2+3n，
==，
T n=+…+=，
则T2017==．
故答案为：．
9．（5分）（2017•常熟市校级二模）将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，
则实数m的最小值为．
【解答】解：将函数y=sinxcosx=sin2x的图象向右平移m（m＞0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，
即2（x﹣m）=k，得到x=，k∈Z；
，得到x=，k1∈Z；
由题意x==，k，k1∈Z
所以实数m的最小值为；
故答案为：．
10．（5分）（2017•常熟市校级二模）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则=﹣18．
【解答】解：以BC为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
设∠ADC=α，则A（6cosα，6sinα），E（3cosα，3sinα），C（3，0），B（﹣3，0），设F（a，b），则，解得a=4cosα+1，b=4sinα，
∴=（﹣3﹣6cosα，﹣6sinα），=（4cosα﹣2，4sinα），
∴=（﹣3﹣6cosα）（4cosα﹣2）﹣24sin2α=﹣24cos2α+6﹣24sin2α=6﹣24=﹣18．
故答案为：﹣18．
11．（5分）（2017•常熟市校级二模）已知直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2+y2+2x﹣2y+F=0交于A、C两点，其中A（﹣1，0）、
B、D在圆M上，且位于直线l 2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是．【解答】解：直线l1：x﹣2y=0的倾斜角为α，则tanα=，
∴直线l2的斜率k=tan2α=．
则直线l2的方程为y﹣0=（x+1），即4x﹣3y+4=0．
又A（﹣1，0）在圆上，∴（﹣1）2﹣2+F=0，得F=1，
∴圆的方程为x2+y2+2x﹣2y+1=0，化为标准方程：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆心（﹣1，1），半径r=1．
直线l2与圆M相交于A，C两点，由点到直线的距离公式得弦心距d=，
由勾股定理得半弦长=，
弦长|AC|=2×=．
又B，D两点在圆上，并且位于直线l2的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，
如图所示，
当BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，
最大面积为：S=|AC|×|BE|+|AC|×|DE|=|AC|×|BD|=××2=，
故答案为：．
12．（5分）（2017•常熟市校级二模）已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2
的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大．【解答】解：取BC的中点E，连结AE，DE，
∵AB=AC，BD=CD，
∴BC⊥AE，BC⊥DE，
∴∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，
∴A到平面BCD的距离d=AE•sin∠AED，
显然当∠AED=90°时，四面体体积最大．
此时，AE==2，DE==，
∴AD==．
故答案为：．
13．（5分）（2017•常熟市校级二模）已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则函数f（x）=2x﹣2﹣x．【解答】解：根据题意，f（x﹣1）+g（x﹣1）=2x，则f（x）+g（x）=2x+1，①，进而有f（﹣x）+g（﹣x）=2﹣x+1，
又由函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，
则有f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x），
即有﹣f（x）+g（x）=2﹣x+1，②，
联立①②可得：f（x）=（2x+1﹣2﹣x+1）=2x﹣2﹣x，
即f（x）=2x﹣2﹣x，
故答案为：2x﹣2﹣x
14．（5分）（2017•常熟市校级二模）已知b≥a＞0，若存在实数x，y满足0≤x
≤a，0≤y≤b，（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为．【解答】解：如图设A（0，b），B（x，0），C（a，b﹣y）
∵（x﹣a）2+（y﹣b）2=x2+b2=a2+y2
∴△ABC为等边△，设△ABC边长为m，∠OAB=θ，（0）
过C作CH⊥x轴与H，则∠ACH=θ﹣，∴
b=mcosθ
∴
∴当θ=0时，
故答案为：
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．（14分）（2017•常熟市校级二模）已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，
（1）求的值；
（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．
【解答】解：（1）由△ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，∴sinB=acosC变形为：sin（A+C）=2sinAcosC
⇒sinAcosC﹣cosAsinC=0
sin（A﹣C）=0，∵A﹣C∈（﹣π，π），∴A﹣C=0，
∴a=c，∴的值为1
（2）∵M为边BC的中点，∴
∴⇔
又∵，a=c
∴⇒⇒b=
∴cosB=，
∵B∈（0，π），∴角B的大小为．
16．（14分）（2017•常熟市校级二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．
（1）D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；
（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．
【解答】证明：（1）连结AB1交A1B于E，连结DE．
∵AC1∥平面A1BD，AC1⊂平面AB1C1，平面AB1C1∩平面A1BD=DE，
∴AC1∥DE，
∵侧面A1ABB1是菱形，∴E是AB1的中点，
∴D是B1C1的中点．
（2）∵侧面A1ABB1是菱形，∴AB1⊥A1B，
又A1B⊥AC1，AB1∩AC1=A，AB1⊂平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，
∴A1B⊥平面AB1C1，又B1C1⊂平面AB1C1，
∴A1B⊥B1C1，
∵侧面C1CBB1是矩形，∴B1C1⊥BB1，
又BB 1∩A1B=B，BB1⊂平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，
∴B1C1⊥平面A1ABB1．
∵B1C1⊂平面C1CBB1，
∴平面A 1ABB1⊥平面C1CBB1．
17．（14分）（2017•常熟市校级二模）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x≠0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线
与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在常数λ，使得k1=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由椭圆的焦距2c=2，则c=1，双曲线的离心率e==，则a=，则b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆的标准方程：；
（2）设A（x 0，y0），则2y02=2﹣y02，则B（﹣x0，﹣y0），k=，
右准线方程x=2，则M（2，0），
直线AM的方程为y=（x﹣2），
，整理得：（x0﹣2）2x2+2y02（x﹣2）2﹣2（x0﹣2）2=0，
该方程两个根为x 0，，
•===•x0，
∴x
则=，=（﹣2）=，
则A1（，），同理可得B1（，﹣），
则k1==﹣3k，
即存在λ=﹣3，使得k1=λk恒成立．
18．（16分）（2017•常熟市校级二模）数列{a n}满足
，n=1，2，3，…．
（1）求a3，a4，并求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，记F（m，n）=，求证：m＜n，F
（m，n）＜4对任意的；
（3）设S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1，T k=a2+a4+a6+…+a2k，W k=，求使W k
＞1的所有k的值，并说明理由．
【解答】（1）解：a3=a1+4=4，a4=2a2=4．当n=2k，k∈N*时，a2k+2=2a2k，
∴数列{a2k}是首项与公比都为2的等比数列．
∴．即n=2k，k∈N*时，a n=．
=a2k﹣1+4，∴数列{a2k﹣1}是首项为0，公差为4的等差当n=2k﹣1，k∈N*时，a2k
+1
数列．
=4（k﹣1）．即n=2k﹣1，k∈N*时，a n=2n﹣2．
∴a2k
﹣1
综上可得：a3=4，a4=4．a n=，k∈N*．
（2）证明：b n==，设数列{b n}的前n项和为A n，则A n=0+1+++…+，
A n=++…++，
∴=1++…+﹣=﹣，
∴A n=4﹣＜4．
∵b n≥0，∴F（m，n）≤A n，故对任意的m＜n，F（m，n）＜4．
（3）解：S k=a1+a3+a5+…+a2k﹣1==2k（k﹣1），
T k=a2+a4+a6+…+a2k==2k+1﹣2．
W k==，
∴W1=0，W2=1，W3=＞1，W4=＞1，W5=＞1，W6=＜1．k≥6时，W k+1﹣W k=﹣=＜0，
∴当k≥6时，W k
+1＜W k．∴当k≥6时，W k
+1
≤W6＜1．
综上可得：使W k＞1的所有k的值为3，4，5．
19．（16分）（2017•常熟市校级二模）某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：．在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元．若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨．汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求．
（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；
（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w≥0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：）
【解答】解：（1）汽车来回一次的运行成本为×1300v2×+×（1300+x）v2×=（2600+x）v，冷藏成本为10x×=，
∴W=100x﹣（2600+x）v﹣．
（2）∵（2600+x）v+≥2=5•，
∴W≤100x﹣5•，当且仅当（2600+x）v=即v=40•时取等号．
令100x﹣5•≥0，得2≥，解得x≥，
当x=时，v=40•=20∈（0，80]，
∴每次至少进货千克，才可能使销售后不会亏本．
（3）由（2）可知W≤100x﹣5•=5（2x﹣•），x∈[，1000]，
设f（x）=2x﹣•，则f′（x）=2﹣（•+）
=2﹣（+），
∵x∈[，1000]，∴=∈[，2]，
∵函数y=x+在[，2]上单调递增，
∴当=2时，+取得最大值，
∴f′（x）≥2﹣＞0，
∴f（x）在[，1000]上单调递增，
∴当x=1000时，f（x）取得最大值f（1000）=1400，此时v=40•=∈（0，80]，
∴W的最大值为5×1400=70000．
∴当一次进货量为1000千克，车速为千米/时时，冰淇淋店有最大净利润70000元．
20．（16分）（2017•常熟市校级二模）已知函数（e为自然对数的底数，m∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当时，求证：∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；
（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论．
【解答】解：（1）f′（x）=，
由f′（x）=0得x=1，x＜1时，f′（x）＞0，
x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，1]递增，在[1，+∞）递减，
f（x）极大值=f（1）=+m，无极小值；
（2）由（1）得：x＞0时，f（x）≤+m=﹣，
当且仅当x=1时取“=”，
设g（x）=x2lnx，则g′（x）=x（2lnx+1），
由g′（x）=0解得：x=，
x＜时，g′（x）＜0，x＞时，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，]递减，在[，+∞）递增，
当且仅当x=时，g（x）min=﹣；
∴f（x）≤﹣≤g（x），两等号不同时取，
故∀x＞0，f（x）＜x2lnx恒成立；
（3）设F（x）=f（x）﹣|lnx|，∴F（x）=f（x）﹣lnx，x≥1，∵f（x），﹣lnx都在[1，+∞）递减，
∴F（x）在[1，+∞）递减，∵F（1）=+m，
∴m=﹣时，F（x）在[1，+∞）恰有1个零点x=1，
当m＜﹣时，∀x≥1，F（x）≤F（1）＜0，
∴F（x）在[1，+∞）无零点，
当m＞﹣时，F（1）＞0，∀x＞1，F（x）＜+m﹣lnx，显然＞1，
∴F（）＜+m﹣ln=0，
∴F（x）的图象不间断，
∴F（x）在[1，+∞）恰有1个零点，且不是1，
当0＜x＜1时，F（x）=f（x）+lnx，
∵f（x），lnx都在（0，1]递增，
∴F（x）在（0，1]递增，∵F（1）=+m，
∴m≤﹣时，∀0＜x＜1，F（x）＜F（1）≤0，
∴F（x）在（0，1）无零点，
当m＞﹣时，F（1）＞0，∀0＜x＜1，F（x）＜＜+m+lnx，
显然∈（0，1），
∴F（）＜+m+ln=0，
∵F（x）的图象不间断，∴F（x）在（0，1）恰有1个零点，
综上，m=﹣时，方程|lnx|=f（x）恰有1个实根，
m＜﹣时，方程|lnx|=f（x）无实根，
m＞﹣时，方程|lnx|=f（x）有2个不同的实根．
2017年高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换
21．（10分）（2017•常熟市校级二模）已知矩阵M对应的变换将点（﹣5，﹣7）变换为（2，1），其逆矩阵M﹣1有特征值﹣1，对应的一个特征向量为，求矩阵M．
【解答】解：由题意可知：M=，
M﹣1=，
∴M﹣1=，
设M﹣1=，则=，=，
则，解得：，则M﹣1=，
det（M﹣1）=﹣20+18=﹣2，
则M=．
∴矩阵M=．
C.选修4-4：坐标系与参数方程
22．（2017•常熟市校级二模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为
，（，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C 1与曲线C2的交点的直角坐标．
【解答】解：∵曲线C1的参数方程为，（，α为参数），∴曲线C1的普通方程为y=1﹣2x2，x∈[0，1]，
∵曲线C2的极坐标方程为，∴曲线C2的直角坐标方程为y=﹣，
两方程联立：，得2﹣x﹣=0，
解得，，
∵x∈[0，1]，∴，y=﹣，
∴曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标为（）．
【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23．（10分）（2017•常熟市校级二模）在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．
（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；
（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．
【解答】解：（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，
由题意知，他只闯过了第一关，没有过第二关，
因此，他第一关转得了2、3、4中的一个，
第二关转得了（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）中的一个，
∴所求的概率为P（A）=×（5×）=；
（2）根据题意，X的所有可能取值为0，10，20，40；
计算P（X=0）=，P（X=10）=，
P（X=20）=××=，
P（X=40）=××=，
∴X的概率分布为：
X0102040
P
数学期望为：
E（X）=0×+10×+20×+40×=．
24．（10分）（2017•常熟市校级二模）（1）证明：；
（2）证明：；
（3）证明：．
【解答】证明：（1）（k+1）=（k+1）•==（n+1）．（2）由（1）可得：=，
∴左边==（﹣1）k+1=[（1﹣1）n+1﹣1]==右边．
∴．
（3）
==+
由（2）可知：==．
设f（n）=，则f（1）=1，=f（n﹣1）．
∴f（n）﹣f（n﹣1）=．
∴n≥2时，f（n）=f（1）+f（2）﹣f（1）+…+f（n）﹣f（n﹣1）
=1++…+．n=1时也成立．
∴f（n）=1++…+．n∈N*．
即：．
参与本试卷答题和审题的老师有：maths；沂蒙松；qiss；zlzhan；whgcn；zcq；zhczcb；sxs123；danbo7801；陈高数；铭灏2016；刘老师；742048（排名不分先后）
菁优网
2017年7月4日。

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