2022年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 等差、等比数列的性质及应用

等差、等比数列的性质及应用
一、知识点
一等差数列的性质
()()n
m a a d d n m a a n
m n m --=
-+=,1
()q
p m n m q
p a a a q p m a a a a n m q p +=+=+=++=+2,2,,,2则若则若在等差数列中(){}{}{}{}{}.
,,,,,,,,,3211121d d d pd b a q a pa d d b a n n n n n n ±±+且公差分别为列也为等差数
则数列且公差分别为均为等差数列若（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ,a nm ,a n2m ,…,为等差数列，公差为md 。

5等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…为等差数列，公差为n 2
d 。

6若等差数列的项数为2n ，则有1
,
+=
=-n n
a a S S nd S S 偶
奇奇偶。

（7）等差数列的项数为奇数n ，则偶奇中间项偶奇且S S a S S S n n -=+=，1
1
-+=n n S S 偶
奇。

（8）为等差数列，()n n a n S 1212-=-。

（9）通项公式是a n =AnB ()0≠A 是一次函数的形式；前n 项和公式()02
≠+=A Bn An S n 是
不含常数项的二次函数的形式。

（注当d=0时，S n =na 1, a n =a 1）
（10）若a 1>0，d ⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 0，S n 有最小值，可由不等式组⎩⎨⎧≥≤+00
1
n n a a 来确定。

（二） 等比数列的性质
()n m n
m
n m n m a a q q a a --±==,1
()q p m n m q p a a a q p m a a a a n m q p ⋅=+=⋅=⋅+=+2
,2,,,2则若则若在等比数列中。

(){}{}{}{}.
,,,1,,,,,1),0(,.,,3q q
p pq q pq a b a b a a m ma q p b a n
n n n n n n n n 且公差分别为也为等比数列则数列且公分别为均为等比数列若⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⋅⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≠（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ,a nm ,a n2m ,…,为等比数列，
公比为q m。

5等比数列的前n 项和也构成一个等比数列，即S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…为等比数列，公比为q n。

二、范例解析
例1、（1）设是等差数列，且21512841=+---a a a a a ，求133a a +及S 15值。

（2）等比数列中，661=+n a a ，12812=-n a a ，前n 项和S n =126，求n 和公比q 。

（3）等比数列中，q=2，S 99=77，求a 3a 6…a 99；
（4）项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与
项数。

解：（1）由已知可得28-=a 所以133a a +=248-=a ，S 15=
()30152
158151-==+a a a
()：由题266,12811=+=n n
a a a a
所以⎩⎨
⎧==6421n a a 或⎩⎨⎧==2
64
1n a a
又12611=--=q q a a S n n ,所以⎩⎨⎧==62n q 或⎪⎩⎪⎨⎧==
6
21n q
()()()()
()44
111399639963299639862974199=+++∴+++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=+++++++++++=a a a a a a q q a a a a a a a a a S
设等差数列共2n-1项,
则
()()1675
8012
)
1(2
222121=⇒=-=
-++=
--n n n n a a n
a a S S n n 偶
奇 所以此数列共31项
中间项57580=-=-=偶奇S S
练习1等比数列{a n }中,已知S 10=10,S 20=30,求S 30, S 30=70 2等差数列{a n }和{b n }的前n 项之和之比为3n1：2n3,求
1515b a 。

（=61
88） 例2、（1）设等差数列的前n 项之和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13<0，求公差d 的取值范围。

（2）指出S 1，S 2，S 3，…S n 中哪一个值最大，并说明理由。

解：（1）021********>⨯+=d a S ，0213
1213113<⨯+=d a S ，即⎩⎨⎧<+>+0601121
1d a d a ，
由12213=+=d a a ,代入得：37
24
-<<-
d 。

（2）解一：由()067612>+=a a S ，013713<=a S 可知：0,076<>a a ，所以S 6最大。

解二、n d n d S n ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=
251222，由3724-<<-d 可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知S 6最大。

解三、2
2
)2245(
222452d
d d d d n d S n --⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，由3724-<<-d 得21322456<-<d d 又抛物线开口向下，所以S 6最大。

评注：求等差数列S n 最值有三法：借助求和公式是关于n 的二次函数的特点,用配方法求解; 借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。

（经过原点） 练习：已知等差数列{a n }中，1251,0S S a =>，问S 1，S 2，S 3，…S n 中哪一个值最大。

例3、无穷等比数列{a n }的前项和S n ，公比，已知1是221S 和33
1
S 的等差中项，6是2 S 2和3 S 3的等比中项。

（1） 求S 2和S 3的值。

（2） 求此数列的通项公式。

（3） 求此数列的各项和S 。

解、（1）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+36
322
3
1213232S S S S 解得⎩⎨⎧==3232S S （2）⎩⎨⎧==3232S S 可得⎪⎩
⎪⎨⎧-==2141q a 或⎩⎨
⎧==111
q a （舍去）所以：1214-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n a ()3
83=S
例4、已知函数()()24
12
-<-=
x x x f
（1） 求()x f
1
-
（2） 设()()n n n a N n a f
a a 求,1,
11
1
1*-+∈-==
（3） 设1222212++++++=n n n n a a a b 是否存在最小的正整数，使对任意*
∈N n 有
25
k
b n <
成立若存在，求出的值，若不存在，说明理由 解：（1）由题()()041
2
1
>+-
=-x x x f
（2）由
4112
1
+=
+n
n a a 得41
1,022
1
1=-
>++n
n n a a a 且
所以
341
2-=n a n
即3
41-=n a n
3先证明{b n }是单调递减数列，所以要对任意*
∈N n 有25
k
b n <成立 只须满足25
1k
b <
即可，解得存在最小的正整数=8满足条件。

例5、为了保护某处珍贵文物古迹，政府决定建一堵大理石护墙，设计时，为了与周边景点协调，对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层……依次类推，到第十层恰好将石块用完，问共需大理石多少块每层各用大理石多少块
解：设共用大理石块，则各层用大理石数分别为
第一层：2
2
12+=
+x x 第二层：
421222+=++-
x x x 第三层：
8
2124222+=++-
+-x x x x ……
第十层：
10
9222224222+=+--+-+-
x x x x x 组成首项为22+x ，公比为2
1
，项数为10的等比数列，故
102
24222++++++=x x x x ，所以=2046。

答：共用去大理石2046块，各层分别为1024，512，256，128，64，32，16，8，4，2块。

三、小结
解答数列综合题，要重视审题，精心联想，沟通联系，解答数列应用性问题，关键是如何将它转化为数学问题。

四、作业
P129—基础强化4、8 P130---能力提高5、7、9。