年台湾区第二次高考数学甲试题与参考答案

年台湾区第二次高考数学甲 试卷与参考答案
第壹部分﹕选择题（单选题、多选题及选填题共占分） 一﹑单选题（分）
说明﹕第题至第题﹐每题个选项﹐其中只有个是最适当的选项﹐画记在答案卡之「解答栏」﹒各题答对得
分﹐未作答、答错、或画记多于个选项者﹐该题以零分计算﹒
( ). 考虑坐标平面上满足25x y =的点(),P x y ﹐试问下列哪一个选项是错误的﹖
()()0,0是一个可能的P 点 ()()log5,log2是一个可能的P 点 ()点(),P x y 满足0xy ≥ ()所有可能的点(),P x y 构成的图形为一直线 ()点P 的x ﹐坐标可以同时为正整数﹒
( ). 将﹑﹑﹑四个数字随机填入右方22⨯的方格中﹐每个方格中恰填一数字﹐但
数字可重复使用﹒试问事件「A 方格的数字大于B 方格的数字﹑且C 方格的数字大于D 方格的数字」的机率为多少﹖ ()
116 ()964 ()2564 ()9256 ()25256
﹒ ( ). 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除
内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O 为中心﹐其中x ﹐y 分别为原点O 到两个顶点的向量﹒若将原点O 到正六角星个顶点的向量﹐都写成为a x b y +的形式﹐则a b +的最大值为何﹖ () () () () ()﹒
( ). 设f 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕
关于f 的极小值α()α不存在 ()2010α-<<- ()100α-<< ()010α<< ()1020α<<﹒ 注﹕极小值是指相对极小值﹐或称为局部极小值﹒
二﹑多选题（分）
说明﹕第题至第题﹐每题有个选项﹐其中至少有个是正确的选项﹒选出正确选项﹐画记在答案卡之「解答
栏」﹒各题之选项独立判定﹐所有选项均答对者﹐得分﹐答错个选项者﹐得分﹐所有选项均未作答或答错多于个选项者﹐该题以零分计算﹒
( ). 设49a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹑67B c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒已知310215AB ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
且A 的行列式之值为﹐试问下列哪些选项是正确的﹖
()942a b -=- ()24ac =- ()15d =- ()41094901b a a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
﹒ ( ). 假设两地之间的通话费﹐第一个半分钟是元﹐之后每半分钟是元﹐不满半分钟以半分钟计算﹐
则t 分钟的通话费()C t 公式如下（单位元）﹔
()[]5212C t t =--﹐
其中[]x 表示小于或等于x 的最大整数﹐例如﹕[]3.53=﹐[]3.14-=-﹐[]55-=-等﹒试问下列哪些选项是正确的﹖
()分钟的通话费是元 ()在0t ≥时﹐[][]1221t t -=--恒成立 ()()10.5
lim 45t C t →=
()()11.2
lim 49t C t →=﹒
( ). 在坐标空间中﹐有一边长为﹑中心在原点O 的正立方体﹐且各棱边
都与三坐标平面平行或垂直﹐如图所示﹒已知()1,1,0A -﹑
()0,1,1B -﹑()1,0,1C -这三点都是某平面E 和正立方体棱边的交点﹒试问下列哪些点也是平面E 和正立方体棱边的交点﹖
()11,,122⎛⎫
- ⎪⎝⎭
()()1,1,0- ()()0,1,1-- ()()2,1,1-﹒
三﹑选填题（分）
说明﹕第题至第题为选填题﹐将答案画记在答案卡之「解答栏」所标示的列号（ – ）内﹒每一题完全答
对得分﹐答错不倒扣﹔未完全答对不给分﹒ .
如图所示﹐PQRS 为一给定的矩形﹐长12PQ =﹑宽5QR =﹐而△ABC 为等腰三
角形﹐其中AB AC =﹐P ﹑Q 在BC 边上﹐R ﹑S 分别在CA ﹑AB 边上﹐则当△
ABC 中BC 边上的高为 时﹐△ABC 的面积为最小﹒ .
某手机公司共有甲﹑乙﹑丙三个生产线﹐依据统计﹐甲﹑乙﹑丙所制造的手机中分别有﹐﹐是瑕疵品﹒若公司希望在全部的瑕疵品中﹐由甲生产线所制造的比例不得超过5
12
﹐则甲生产线所制造的手机数量可占全部手机产量的百分比至多为 ﹒ .
坐标平面上﹐已知函数()342f x x x =+-的图形以()1,3A 为切点的切线为L ﹐则以切线L 及曲线
()y f x =为界所围成区域的面积为 ﹒
. 坐标空间中﹐若平面:1E ax by cz ++=满足以下三条件﹕ ()平面E 与平面:1F x y z ++=有一夹角为︒﹐ ()点()1,1,1A 到平面E 的距离等于﹐ ()0a b c ++>﹐ 则a b c ++的值为
﹒（化成最简分数）
第贰部分﹕非选择题（占分）
说明﹕本大题共有二题计算证明题﹐答案务必写在答案卷上﹐并于题号栏标明题号(一﹑二)与子题号
(()﹑())﹐同时必须写出演算过程或理由﹐否则将予扣分﹒务必使用笔尖较粗之黑色墨水的笔书写﹐且不得使用铅笔﹒每题配分标于题末﹒
一﹑已知实系数三次多项式函数()y f x =的最高次项系数为﹐其图形与水平线25y =交于相异的三点
()0,25﹐()1,25及()2,25﹒
()试求曲线()y f x =图形上的反曲点坐标﹒（分） ()试求定积分()2
0f x dx ⎰之值﹒（分）
二﹑()试求所有满足()32log 1241201x x x -+-≥的x 值之范围﹒（分）
()试证﹕当
322
π
θπ≤≤时﹐cos 1sin 33θθ+≥﹒（分）
第壹部分﹕选择题 一﹑单选题 .() .() .() .() 二﹑多选题 .()() .()() .() 三﹑选填题
. . . .1
3
第贰部分﹕非选择题 一﹑()()1,25 ()
二﹑()15x ≤≤或6x ≥ ()略
第壹部分﹕选择题 一﹑单选题
. 出处﹕第二册 第一章 指数与对数 解读﹕
将25x y =两边取log ﹐得log 2log5x y =﹐即log2log5x y =﹒ () 因为()(),0,0x y =满足25x y =﹐所以()0,0是一个可能的P 点﹒
() 因为()(),log5,log2x y =满足log2log5x y =﹐所以()log5,log2是一个可能的P 点﹒ () 由log 2log5x y =﹐知x 与y 同号﹐所以0xy ≥﹒
() 因为(),P x y 满足()()log2log50x y -=﹐所以(),P x y 构成的图形为一直线﹒
() 若,x y 同时为正整数﹐则2x 为偶数﹐5y 为奇数﹐这与25x y =矛盾﹒因此﹐,x y 不可以同时为正整
数﹒ 故选()﹒
. 出处﹕第四册 第三章 机率与统计() 解读﹕
因为将个相异数字可重复的填入个方格中﹐所以样本空间共有44256=个元素﹒ 设填入两方格的数字分别为,a b ﹐且a b >﹒此时数对(),a b 有以下种情形﹕ ()()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3﹒ 同理﹐填入两方格的数字也有种情形﹒ 因此﹐所求机率为669
25664
⨯=
﹒ 故选()﹒
. 出处﹕第三册 第一章 向量
解读﹕
因为想求a b +的最大值﹐所以考虑右图中的个顶点之向量即可﹒讨论如下﹕ () 因为OA x =﹐所以()(),1,0a b =﹒
() 因为3OB OF FB y x =+=+﹐所以()(),3,1a b =﹒ () 因为2OC OF FC y x =+=+﹐所以()(),2,1a b =﹒
() 因为
223OD OF FE ED y x OC y x y x y x ⎛⎫
=++=++=+++=+ ⎪⎝⎭
﹐
所以()(),3,2a b =﹒
()因为OE OF FE y x =+=+﹐所以()(),1,1a b =﹒ ()因为OF y =﹐所以()(),0,1a b =﹒ 因此﹐a b +的最大值为325+=﹒ 故选()﹒
. 出处﹕选修() 第二章 导函数的应用 解读﹕
「方程式()0()f x k f x k -=⇔=的相异实根数」等于「函数()y f x =与水平线y k =两图形的交点数﹒」 依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕
() 当()f x 的最高次项系数为正时﹕ () 当()f x 的最高次项系数为负时﹕
因为极小值点A 位于两水平线0y =与10y =-之间﹐所以其y 坐标α（即极小值）的范围为 100α-<<﹒ 故选()﹒
二﹑多选题
. 出处﹕选修() 第二章 矩阵 解读﹕
() 因为()det 2A =﹐所以492b a -=﹐即942a b -=-﹒
() 利用矩阵乘积的定义﹐得
467242895463a ac ad AB b c d bc bd ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒ 因为310215AB ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
﹐所以根据矩阵相等的定义﹐得 2432128101854256631548
ac ac ad ad bc bc bd bd +==-⎧⎧⎪⎪+==-⎪⎪
⇒⎨
⎨+=-=-⎪⎪⎪⎪+==-⎩
⎩
() 由②÷④﹐得
33
88
a a
b b =⇒=﹐代入①﹐得 27428b b -=-16
5
b ⇒=﹒ 代入⑤﹐得
16
48155
d d =-⇒=-﹒
() 因为1
1942b a A --⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦﹐且1A A I -=﹐所以 4101949012b a a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
﹐ 即
4102029490102b a a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒ 故选()()﹒
. 出处﹕选修() 第一章 多项式函数的极限与导数 解读﹕ () ()[][]()105212105219521943C =--⨯=--=-⨯-=﹒
() 错﹐例如﹕当0.10t =≥时﹐ [][]120.80t -==﹐[][]()210.811t --=--=--=﹒
此时[][]1221t t -=--不成立﹒
() 因为()()10.5
lim 522147t C t +→=-⨯-=﹐()()10.5
lim 522045t C t -→=-⨯-=﹐即
()()10.510.5
lim lim t t C t C t +
-→→≠﹐
所以()10.5
lim t C t →不存在﹒
() ()()11.2
lim 522249t C t →=-⨯-=﹒
故选()()﹒
. 出处﹕第三册 第二章 空间向量 解读﹕
因为外积AB AC ⨯=()()1,2,12,1,1--⨯-()3,3,3=﹐所以()1,1,1是平面E 的一个法向量﹒ 又因为E 过点()1,1,0A -﹐所以:0E x y z ++=﹒
因为P 是三个平面:0E x y z ++=﹐1x =与1z =-的共同交点﹐所以
解011x y z x z ++=⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
﹐得()1,0,1P -﹒ 同理﹐
解011x y z x y ++=⎧⎪
=-⎨⎪=⎩﹐得()1,1,0Q -﹒
解011x y z y z ++=⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
﹐得()0,1,1R -﹒
因此﹐平面E 和棱边除,,A B C 外的另三个交点为 ()1,0,1P -﹐()1,1,0Q -﹐()0,1,1R -﹒ 故选()﹒
三﹑选填题
. 出处﹕选修() 第三章 不等式 解读﹕
设BC 边上的高为x ﹐2BC y =（x ﹐0y >）﹐则ABC △的面积为22
y x
xy ⋅=﹒ 因为AHC △～ATR △﹐所以
565656
x x x xy y x y xy y -=⇒=-⇒+=﹒ 利用算几不等式﹐得
22
6530120224
x y xy x y xy xy +≥⇒≥≥⇒≥﹒ 当65x y =时等号成立﹒解联立方程式
6565x y
x y xy =⎧⎨+=⎩
得10,12x y ==﹒
故当BC 边上的高10x =时﹐ABC △的面积xy 有最小值（平方单位）﹒
. 出处﹕选修() 第三章 不等式 解读﹕
设甲乙丙三生产线制造的手机占全部手机的产量分别为%,%x y 与%z （x ﹐y ﹐0z ≥）﹐ 且100x y z ++=﹒
依题意﹐可列得
%5%5
%5%%3%%3%12
x x y z ⨯≤⨯+⨯+⨯⇒
()555312x x y z ≤++ ()55
5310012
x x x ⇒≤+-
55
300212
x x ⇒≤+
两边同乘()123002x +﹐得
6015001030x x x ≤+⇒≤﹒ 故甲生产线制造的手机占全部手机产量至多﹒
. 出处﹕选修() 第三章 多项式函数的积分
解读﹕
函数()f x 的导函数为()2121f x x '=+﹒
因为切线L 的斜率为(1)13f '=﹐所以:313(1)L y x -=-﹐即:1310L y x =-﹒
解联立方程式342
1310y x x y x ⎧=+-⎨=-⎩﹐得
341280x x -+=3320x x ⇒-+= ()()2
120x x ⇒-+= 2x ⇒=-或1﹐
即切线L 与曲线()y f x =交于()1,3A 与()2,36B --两点﹒
又在区间[]2,1-上﹐3421310x x x +-≥-都成立﹒故所求区域面积为
()
()()
13
2
421310x
x x dx -+---⎰()
1
3
2
4128x
x dx -=-+⎰
(
)
14
2
2
68x x x
-=-+
()32427=--=﹒
. 出处﹕第三册 第二章 空间向量 解读﹕
由()知﹐两平面的法向量(),,a b c 与()1,1,1的夹角为30︒或150︒﹐由两向量夹角公式﹐得
=a b c ⇒++=
又由()﹕0a b c ++>
﹐得a b c ++=﹐即
()2
3
a b c =
++﹒ 再由()
3=﹐即
1a b c ++-=± 将代入﹐得()12a b c a b c ++-=±++﹒
解得1a b c ++=-或13﹒因为0a b c ++>﹐所以1
3
a b c ++=﹒
第贰部分﹕非选择题
一﹑出处﹕选修() 第三章 多项式函数的积分
解读﹕
()因为三次函数()f x 的最高次项系数为﹐且(0)(1)(2)25f f f ===﹐所以 ()()()()1201225f x x x x =---+ 3212362425x x x =-++﹒
计算 ' ()与 '' ()﹐得2()367224f x x x '=-+﹐()7272f x x ''=-﹒ 当()0f x ''=时﹐解得1x =﹒ 故反曲点为()()1,(1)1,25f =﹒
()()
2
2
320
()12362425f x dx x x x dx =-++⎰⎰
(
)
2432
3121225x x x x =-++
50050=-=﹒ 二﹑出处﹕选修() 第三章 不等式
解读﹕
()()32log 1241201x x x -+-≥ ()
32log 124120log10x x x ⇒-+-≥ 3212412010x x x ⇒-+-≥ 321241300x x x ⇒-+-≥ ()()()1560x x x ⇒---≥ 15x ⇒≤≤或6x ≥﹒ 又当15x ≤≤或6x ≥时﹐
32321241201241300x x x x x x -+->-+-≥﹐ 即真数32124120x x x -+-为正数﹐符合对数的定义﹒ 故满足原不等式的x 值之范围为15x ≤≤或6x ≥﹒
()将sin cos θθ-化为正弦函数的形式﹐得
s i n c o s θθ-
4πθθθ⎫⎛
⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎭﹒
因为
32
2πθπ≤≤﹐即57444πππθ≤-≤
﹐所以1sin 4πθ⎛
⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭
﹒
因此﹐14πθ⎛
⎫≤-≤- ⎪⎝⎭﹐即sin cos 1θθ≤-≤-﹒
由sin cos 1θθ-≤-﹐整理得 cos 1sin θθ≥+﹒ 又因为底数31>﹐所以cos 1sin 33θθ+≥﹒。