线段和差的最值问题教案

已知在对抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标 .
要求△PBC的周长最小？ 第一步 寻找、构造几何模型 只要PB+PC最小就好了！ 经典模型：牛喝水！
线段和差的最值问题解题策略
01
02
03
把PB+PC转化为PA+PC ！
当P运动到H时，PA+PC最小
第二步 计算——勾股定理
第二步，计算 当P运动到E时，PA＋PB最小 当Q运动到F时，QD－QC最大
THANKS
一、求两条线段之和的最小值
例1：在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90O，D是BC边的中点，E是AB上的一动点，则EC+ED的最小值为 。 A C B D E p
例2：△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，试在AB上找一点P，在BC上取一点M，使CP+PM的值最小，并求出这个最小值。 A B C P M C/
01
A
02
B
03
C
04
E
05
F
06
D
07
D/
08
O
规律总结
例5、例6中的最小值问题所涉及到的路径，虽然都是由三条动线段连接而成，且路径都是“定点→动点→动点→定点”，但是例5中的量动点间的线段长度不确定，而例6的两动点间的线段长度为定值，正是由于这点的不同，使得它们的解题方法有很大差异，例5是根据两点之间线段最短找到动点的位置，例6是通过构造平行四边形先找到所求的其中一个动点的位置，另一个位置也随之确定。
规律总结
例1、例2中的最小值问题，所涉及到的路径，虽然都是由两条线段连接而成，但是路径中的动点与定点的个数不同，例1 中的路径为“定点→动点→定点”，是两个定点一个动点，而例2中的路径是“定点→动点→动点”，是一个定点两个动点，所以两个题的解法有较大差异，例1是根据两点之间线段最短求动点的位置，例2是根据垂线段最短找两个动点的位置。
A
B
O
C
D
P
A
01
B
02
O
03
C
04
D
05
P
06
规律总结
例3，例4中最小值问题，所涉及到的路径虽然都是有两条动线段连接而成，且路径都是“定点→动点→定点”，但是动点运动的路线不同，例3是直线，例4是曲线，因此它们的解法有很大不同，例3是根据两点之间线段最短找到动点的位置，例4是根据垂线段最短找到所求的两个动点的位置。
对于动点Q（1，n）， 求PQ+QB的最小值 .
要求PQ+QB的最小值？ 线段和差的最值问题解题策略 第一步 寻找、构造几何模型 经典模型：牛喝水！
线段和差的最值问题解题策略 把PQ+QB转化为PQ+QA ！ 当Q运动到E时，PQ+QA最小 第二步 计算——勾股定理
第二步 计算——勾股定理
线段和差的最值问题解题策略 单人棋 2014年10月
BRAND PLANING
线段和差的最值问题解题策略
两条线段和的最小值 两点之间，线段最短 当P运动到E时，PA＋PB最小
两条线段差的最大值
三角形两边之差小于第三边 当Q运动差的最值问题解题策略
第一步，寻找、构造几何模型
线段和差的最值问题解题策略
”
把PQ+QB转化为PQ+QA ！
1
当Q运动到E时，PQ+QA最小
2
线段和差的最值问题解题策略
小结 E? F!
3.如图，∠AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值。
A
B
O
P
D
E
R
Q
4.如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
品牌介绍
三、求四边形周长最小值问题
02
例5:在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.
第一步 寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE的周长最小？
把三条线段转移到同一条直线上就好了！
E
F
E/
F/
M
N
第二步 计算——勾股定理
E
A D
B C
N
M
品牌介绍
二、求三角形周长的最小值
01
例3：已知二次函数图像的顶点坐标为C(3，-2)，且在x轴上截得的线段AB的长为4，在y轴上有一点P，使△APC的周长最小，求P点坐标。
A
C
B
A/
O
P
例4：抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-4，3)，B(2，0)，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，经过点C(0，-2）的直线a与x轴平行。（1）求直线AB和抛物线，（2）设直线AB上点D的横坐标为-1，P(m，n)是抛物线上的一动点，当△POD的周长最小时，求P点坐标。 2010•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点． （1）求直线AB和这条抛物线的解析式； （2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由； （3）设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线y=ax2+bx+c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题． 分析：（1）用待定系数法即可求出直线AB的解析式；根据“当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等”可知：抛物线的对称轴为y轴，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据A点坐标可求出半径OA的长，然后判断A到直线l的距离与半径OA的大小关系即可； （3）根据直线AB的解析式可求出D点的坐标，即可得到OD的长，由于OD的长为定值，若△POD的周长最小，那么PD+OP的长最小，可过P作y轴的平行线，交直线l于M；首先证PO=PM，此时PD+OP=PD+PM，而PD+PM≥DM，因此PD+PM最小时，应有PD+PM=DM，即D、P、M三点共线，由此可求得P点的坐标；此时四边形CODP是梯形，根据C、O、D、P四点坐标即可求得上下底DP、OC的长，而梯形的高为D点横坐标的绝对值由此可求出四边形CODP的面积． 解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则有： −4k+b＝32k+b＝0， 解得k＝−12b＝1； ∴直线AB的解析式为y=-12x+1； 由题意知：抛物线的对称轴为y轴，则抛物线经过（-4，3），（2，0），（-2，0）三点； 设抛物线的解析式为：y=a（x-2）（x+2）， 则有：3=a（-4-2）（-4+2），a=14； ∴抛物线的解析式为：y=14x2-1； （2）易知：A（-4，3），则OA=42+32=5； 而A到直线l的距离为：3-（-2）=5； 所以⊙A的半径等于圆心A到直线l的距离， 即直线l与⊙A相切； （3）过D点作DM∥y轴交直线于点M交抛物线于点P， 则P（m，n），M（m，-2）； ∴PO2=m2+n2，PM2=（n+2）2； ∵n=14m2-1，即m2=4n+4； ∴PO2=n2+4n+4=（n+2）2， 即PO2=PM2，PO=PM； 易知D（-1，32），则OD的长为定值； 若△PDO的周长最小，则PO+PD的值最小； ∵PO+PD=PD+PM≥DM， ∴PD+PO的最小值为DM， 即当D、P、M三点共线时PD+PM=PO+PD=DM； 此时点P的横坐标为-1，代入抛物线的解析式可得y=14-1=-34， 即P（-1，-34）； ∴S四边形CPDO=12（CO+PD）×|xD|=12×（2+32+34）×1=178． 点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，还涉及到解析几何中抛物线的相关知识，能力要求极高，难度很大．
线段和差的最值问题解题策略
2020
小结
01
2021
经典模型：台球两次碰壁问题
02
2022
经验储存：没有经验，难有思路
03
例6：在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别是A(-2，0)，O(0,0)，B(0，4），把△AOB绕O点按顺时针旋转90度，得到△COD，（1）求C、D的坐标，（2）求经过A、B、D三点的抛物线。（3）在（2）中的抛物线的对称轴上取两点E、F（E在F点的上方），且EF=1，当四边形ACEF的周长最小时，求E、F的坐标。