高一函数大题(附答案)
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(3)|AP|2=(x+3)2+( )2，设x+2=t，t≠0，则|AP|2=(t+1)2+( )2=t2+2t+2– + =(t2+ )+2(t– )+2=(t– )2+2(t– )+10=(t– +1)2+9，
所以当t– +1=0时即t= ，也就是x= 时，|AP|min= 3。
所以，要使关于 的方程 有7个不同实数解，关于 的方程 有一个在区间 的正实数根和一个等于零的根。
所以 ，即 .
3、对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称点 为函数的不动点。
（1）已知函数 有不动点（1，1）和（-3，-3）求 与 的值；
（2）若对于任意实数 ，函数 总有两个相异的不动点，求 的取值范围；
当 时， ，满足②
（2）若 时， 不满足①，所以不是 函数；
若 时， 在 上是增函数，则 ，满足①
由 ，得 ，
即 ，
因为
所以 与 不同时等于1
当 时， ，
综合上述： ，a=1
（3）根据（2）知：a=1，方程为 ，
由 得
令 ，则
由图形可知：当 时，有一解；
当 时，方程无解。
2、设函数 是定义在 上的偶函数.若当 时，
若有解为0，则b=1，所以a= 。
(2)f(x)= ，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即 =4，m= –4(必要性)，
又m= –4时，f(x)+f(–4–x)= =……=4成立(充分性)，
所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
（2）当 时，求 在 上的最小值，及取得最小值时的 ，并猜想 在 上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当 时，证明：函数 的图象上至少有一个点落在直线 上。
解：（1） 时， ，则 ，
∵函数 是定义在 上的奇函数，即 ，
∴ ，即 ，又可知 ，
∴函数 的解析式为 ， ；
（2） ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
(1)求a、b的值；
(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。
解(1)由f(2)=1得2a+b=2，
又x=0一定是方程 =x的解，
所以 =1无解或有解为0，
若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，
即 时， 。
猜想 在 上的单调递增区间为 。
（3） 时，任取 ，∵ ，
∴ 在 上单调递增，即 ，即 ， ，
∴ ，
∴ ，∴当 时，函数 的图象上至少有一个点落在直线 上。
5、设函数f(x)=ax +bx+1（a,b为实数）,F(x)=
（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x) 成立，求F(x)表达式。
（3） 是R上的奇函数，则 ，∴（0，0）是函数 的不动点。
若 有异于（0，0）的不动点 ，则 。
又 ，∴ 是函数 的不动点。
∴ 的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，
所以有 个（ ），加上原点，共有 个。即 必为奇数。
4、已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， （ 为常数）。
（1）求函数 的解析式；
函数大题练习
1、对定义在 上，并且同时满足以下两个条件的函数 称为 函数。
①对任意的 ，总有 ；
②当 时，总有 成立。
已知函数 与 是定义在 上的函数。
（1）试问函数 是否为 函数？并说明理由；
（2）若函数 是 函数，求实数 的值；
（3）在（2）的条件下 ，讨论方程 解的个数情况。
解：（1）当 时，总有 ，满足①，
（3： 必为奇数。
解：（1）由不动点的定义： ，∴
代入 知 ，又由 及 知 。
∴ ， 。
（2）对任意实数 ， 总有两个相异的不动点，即是对任意的实数 ，方程 总有两个相异的实数根。
∴ 中 ，
即 恒成立。故 ，∴ 。
故当 时，对任意的实数 ，方程 总有两个相异的不动点。………...................1’
（1）求 在 上的解析式.
（2）请你作出函数 的大致图像.
（3）当 时，若 ，求 的取值范围.
（4）若关于 的方程 有7个不同实数解，求 满足的条件.
[解]（1）当 时， .
（2） 的大致图像如下：.
（3）因为 ，所以
，
解得 的取值范围是 .
（4）由（2），对于方程 ，当 时，方程有3个根；当 时，方程有4个根，当 时，方程有2个根；当 时，方程无解.…15分
当x<0时-x>0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，
∴F(x)是奇函数且F(x)在 上为增函数，
m>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)
∴F(m)+F(n)>0。
6、函数f(x)= (a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
∴F(x)= ，
（2）由（1）可知f(x)=x +2x+1
∴g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1，
由于g(x)在 上是单调函数，知- 或- ，得k -2或k 6，
（3） f(x)是偶函数，
∴f(x)=f(x)，而a>0
∴ 在 上为增函数
对于F(x)，
当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，
（2）在（1）的条件下,当x 时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。
（3）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
解：（1） f(-1)=0
∴
由f(x) 0恒成立知△=b -4a=(a+1) -4a=(a-1) 0
∴a=1
从而f(x)=x +2x+1
所以当t– +1=0时即t= ，也就是x= 时，|AP|min= 3。
所以，要使关于 的方程 有7个不同实数解，关于 的方程 有一个在区间 的正实数根和一个等于零的根。
所以 ，即 .
3、对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称点 为函数的不动点。
（1）已知函数 有不动点（1，1）和（-3，-3）求 与 的值；
（2）若对于任意实数 ，函数 总有两个相异的不动点，求 的取值范围；
当 时， ，满足②
（2）若 时， 不满足①，所以不是 函数；
若 时， 在 上是增函数，则 ，满足①
由 ，得 ，
即 ，
因为
所以 与 不同时等于1
当 时， ，
综合上述： ，a=1
（3）根据（2）知：a=1，方程为 ，
由 得
令 ，则
由图形可知：当 时，有一解；
当 时，方程无解。
2、设函数 是定义在 上的偶函数.若当 时，
若有解为0，则b=1，所以a= 。
(2)f(x)= ，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即 =4，m= –4(必要性)，
又m= –4时，f(x)+f(–4–x)= =……=4成立(充分性)，
所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
（2）当 时，求 在 上的最小值，及取得最小值时的 ，并猜想 在 上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当 时，证明：函数 的图象上至少有一个点落在直线 上。
解：（1） 时， ，则 ，
∵函数 是定义在 上的奇函数，即 ，
∴ ，即 ，又可知 ，
∴函数 的解析式为 ， ；
（2） ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
(1)求a、b的值；
(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。
解(1)由f(2)=1得2a+b=2，
又x=0一定是方程 =x的解，
所以 =1无解或有解为0，
若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，
即 时， 。
猜想 在 上的单调递增区间为 。
（3） 时，任取 ，∵ ，
∴ 在 上单调递增，即 ，即 ， ，
∴ ，
∴ ，∴当 时，函数 的图象上至少有一个点落在直线 上。
5、设函数f(x)=ax +bx+1（a,b为实数）,F(x)=
（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x) 成立，求F(x)表达式。
（3） 是R上的奇函数，则 ，∴（0，0）是函数 的不动点。
若 有异于（0，0）的不动点 ，则 。
又 ，∴ 是函数 的不动点。
∴ 的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，
所以有 个（ ），加上原点，共有 个。即 必为奇数。
4、已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， （ 为常数）。
（1）求函数 的解析式；
函数大题练习
1、对定义在 上，并且同时满足以下两个条件的函数 称为 函数。
①对任意的 ，总有 ；
②当 时，总有 成立。
已知函数 与 是定义在 上的函数。
（1）试问函数 是否为 函数？并说明理由；
（2）若函数 是 函数，求实数 的值；
（3）在（2）的条件下 ，讨论方程 解的个数情况。
解：（1）当 时，总有 ，满足①，
（3： 必为奇数。
解：（1）由不动点的定义： ，∴
代入 知 ，又由 及 知 。
∴ ， 。
（2）对任意实数 ， 总有两个相异的不动点，即是对任意的实数 ，方程 总有两个相异的实数根。
∴ 中 ，
即 恒成立。故 ，∴ 。
故当 时，对任意的实数 ，方程 总有两个相异的不动点。………...................1’
（1）求 在 上的解析式.
（2）请你作出函数 的大致图像.
（3）当 时，若 ，求 的取值范围.
（4）若关于 的方程 有7个不同实数解，求 满足的条件.
[解]（1）当 时， .
（2） 的大致图像如下：.
（3）因为 ，所以
，
解得 的取值范围是 .
（4）由（2），对于方程 ，当 时，方程有3个根；当 时，方程有4个根，当 时，方程有2个根；当 时，方程无解.…15分
当x<0时-x>0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，
∴F(x)是奇函数且F(x)在 上为增函数，
m>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)
∴F(m)+F(n)>0。
6、函数f(x)= (a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
∴F(x)= ，
（2）由（1）可知f(x)=x +2x+1
∴g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1，
由于g(x)在 上是单调函数，知- 或- ，得k -2或k 6，
（3） f(x)是偶函数，
∴f(x)=f(x)，而a>0
∴ 在 上为增函数
对于F(x)，
当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，
（2）在（1）的条件下,当x 时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。
（3）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
解：（1） f(-1)=0
∴
由f(x) 0恒成立知△=b -4a=(a+1) -4a=(a-1) 0
∴a=1
从而f(x)=x +2x+1