【冲刺卷】九年级数学下期中模拟试卷(带答案)

【冲刺卷】九年级数学下期中模拟试卷(带答案) 一、选择题
1．若反比例函数
k
y
x
=(x<0)的图象如图所示，则k的值可以是（）
A．-1B．-2C．-3D．-4
2．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB．则cos∠AOB的值等于（）
A．B．C．D．
3．已知线段a、b，求作线段x，使
2
2b
x
a
=，正确的作法是（）
A．
B．
C．
D．
4．观察下列每组图形，相似图形是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是()
A．
3
2
OB
CD
=B ．
3
2
α
β
=C ．1
2
3
2
S
S
=D．1
2
3
2
C
C
=
6．在同一直角坐标系中，函数
k
y
x
=和y=kx﹣3的图象大致是（）
A
．B．C．
D．
7．已知2x=3y，则下列比例式成立的是（）
A．B．C．D．
8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）
A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺
9．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A．252
-B．25
-C．251
-D．52
-
10．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将
△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的1
2
，得到△COD，则CD的长度是（）
A．2 B．1 C．4 D．25
11．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）
A．1
2
B．
2
4
C．
1
4
D．
1
3
12．下列变形中：
①由方程
12
5
x-
=2去分母，得x﹣12=10；
②由方程2
9
x=
9
2
两边同除以
2
9
，得x=1；
③由方程6x﹣4=x+4移项，得7x=0；
④由方程2﹣
53
62
x x
-+
=两边同乘以6，得12﹣x﹣5=3（x+3）．
错误变形的个数是（）个．
A．4B．3C．2D．1二、填空题
13．已知反比例函数
21
k
y
x
+
=的图像经过点(2,1)
-，那么k的值是__．
14．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是_____．
15．如图，已知一次函数y=kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反
比例函数y=12
x
（x＞0）交于C点，且AB=AC，则k的值为_____．
16．如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP 的长度为__时，△ADP 和△ABC 相似．
17．如果a c e b d f
===k （b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f ），那么k=_____． 18．在 ABC V 中， 6AB = ， 5AC = ，点D 在边AB 上，且 2AD = ，点E 在边AC 上，当 AE = ________时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与 ABC V 相似．
19．如图，若点 A 的坐标为 ()
1,3 ，则 sin 1∠ =________.
20．如图，已知AD AE =，请你添加一个条件，使得ADC AEB △≌△，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）
三、解答题
21．如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD CD BD
=．
（1）求证：△ACD ∽△CBD ；
（2）求∠ACB 的大小．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣2，1），B （﹣1，4），C （﹣3，3）．
（1）画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90°得到的△A 1BC 1．
（2）以原点O 为位似中心，位似比为2：1，在y 轴的左侧，画出将△ABC 放大后的△A 2B 2C 2，并写出A 2点的坐标 ．
23．如图，在OABC Y 中，22OA =，45AOC ∠=︒，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数()0k y x x =>的图象经过点A 、D
（1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．
（1）将△ABC 各顶点的横纵坐标都缩小为原来的
12
得到△A 1B 1C 1，请在图中画出△A 1B 1C 1；
（2）求A 1C 1的长．
25．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
由图像可知，反比例函数与线段AB相交，由A、B的坐标，可求出k的取值范围，即可得到答案.
【详解】
如图所示：
由题意可知A （-2,2），B （-2,1），
∴1-2⨯2<<-2⨯k ，即4-<<-2k
故选C.
【点睛】
本题考查反比例函数的图像与性质，由图像性质得到k 的取值范围是解题的关键.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据作图可以证明△AOB 是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．
【详解】
连接AB ，
由图可知：OA=0B ，AO=AB
∴OA=AB=OB ，即三角形OAB 为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos ∠AOB=cos60°=． 故选B ．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC 是等边三角形是解题的关键．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段a 、b 和2b ，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段x ．
【详解】
解：由题意，
2
2b x
a =
∴
2
a b
b x =，
∵线段x没法先作出，
根据平行线分线段成比例定理，只有C符合．
故选C．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【详解】
解：A、两图形形状不同，故不是相似图形；
B、两图形形状不同，故不是相似图形；
C、两图形形状不同，故不是相似图形；
D、两图形形状相同，故是相似图形；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
5．D
解析：D
【解析】
A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立；
B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此αβ
=，所以B选项不成立；C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；
D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.
故选D.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【详解】
分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，没有图像符合要求；
②当k ＜0时，y =kx ﹣3与y 轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A 符合要求．
故选A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k 的取值确定函数所在的象限．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x =3y ，即可判断．
【详解】
A ．变成等积式是：xy =6，故错误；
B ．变成等积式是：3x +3y =4y ，即3x =y ，故错误；
C ．变成等积式是：2x =3y ，故正确；
D ．变成等积式是：5x +5y =3x ，即2x +5y =0，故错误．
故选C ．
【点睛】
本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x 尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴ 1.5150.5
x =， 解得x=45（尺），
故选B ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
9．A
解析：A
【解析】
根据黄金比的定义得：12
AP AB = ，得42AP == .故选A. 10．A
解析：A
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质结合A点坐标可直接得出点C的坐标，即可得出答案．【详解】∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将△AOB以坐标原点O为位似中
心缩小为原图形的1
2
，得到△COD，
∴C（1，2），则CD的长度是2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【详解】
过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=
1
3 CD
BD
=，
∴tanB′=tanB=1
3
．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．12．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据方程的不同特点，从计算过程是否正确、方法应用是否得当等方面加以分析．【详解】
①方程
12
5
x-
=2去分母，两边同时乘以5，得x﹣12=10，故①正确．
②方程2
9
x=
9
2
，两边同除以
2
9
，得x=
81
4
；要注意除以一个数等于乘以这个数的倒数，故
②错误．
③方程6x﹣4=x+4移项，得5x=8；要注意移项要变号，故③错误．
④方程2﹣
53
62
x x
-+
=两边同乘以6，得12﹣（x﹣5）=3（x+3）；要注意去分母后，要
把是多项式的分子作为一个整体加上括号，故④错误．
故②③④变形错误．
故选B．
【点睛】
在解方程时，要注意以下问题：（1）去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号；（2）移项时要变号．
二、填空题
13．【解析】【分析】将点的坐标代入可以得到-1=然后解方程便可以得到k的值【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（2-1）∴-1=∴k＝−；故答案为k＝−【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式可以
解析：
3
2 k=-
【解析】【分析】
将点的坐标代入，可以得到-1=21
2
k+
，然后解方程，便可以得到k的值．
【详解】
∵反比例函数y＝21
k
x
+
的图象经过点（2，-1），
∴-1=21 2 k+
∴k＝− 3
2
；
故答案为k＝−3
2
．
【点睛】
本题主要考查函数图像上的点满足其解析式，可以结合代入法进行解答
14．12【解析】【分析】根据位似是相似的特殊形式位似比等于相似比其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形位似比是1：2∴△ABC∽△A′B′C′相似比是
解析：12
【解析】
【分析】
根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】
解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2，
∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是12，
故答案为12．
【点睛】
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15．k=【解析】试题分析：如图：作CD⊥x轴于D则
OB∥CD∴△AOB∽△ADC∴∵AB=AC∴OB=CD由直线y=kx﹣3（k≠0）可知B（0﹣3）∴OB=3∴CD=3把y=3代入y=（x＞0）解得x
解析：k=3 2
【解析】
试题分析：如图：作CD⊥x轴于D，则OB∥CD，∴△AOB∽△ADC，
∴，∵AB=AC，∴OB=CD，
由直线y=kx﹣3（k≠0）可知B（0，﹣3），∴OB=3，∴CD=3，
把y=3代入y=（x＞0）解得，x=4，∴C（4，3），
代入y=kx﹣3（k≠0）得，3=4k﹣3，解得k=，
故答案为．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
16．4或9【解析】当△ADP∽△ACB时需有∴解得AP＝9当△ADP∽△ABC时
需有∴解得AP＝4∴当AP的长为4或9时△ADP和△ABC相似解析：4或9．
【解析】
当△ADP∽△ACB时，需有AP AD
AB AC
=，∴
6
128
AP
=，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需
有AP AD
AC AB
=，∴
6
812
AP
=，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相
似．
17．3【解析】
∵=k∴a=bkc=dke=fk∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)∵a+c+e=3(b+d+f)∴k=3故答案为：3
解析：3
【解析】
∵a c e
b d f
===k，∴a=bk，c=dk，e=fk，∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)，
∵a+c+e=3(b+d+f)，∴k=3，
故答案为：3.
18．【解析】当时∵∠A=∠A∴△AED∽△ABC此时AE=；当时∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC此时AE=；故答案是：
解析：512 35或
【解析】
当AE AB
AD AC
=时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE=
·6212
55 AB AD
AC
⨯
==；
当AD AB
AE AC
=时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE=
·525
63 AC AD
AB
⨯
==；
故答案是：125 53
或.
19．【解析】【分析】根据勾股定理可得OA的长根据正弦是对边比斜边可得答案【详解】如图由勾股定理得：OA==2sin∠1=故答案为
解析：32 【解析】
【分析】 根据勾股定理，可得OA 的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．
【详解】
如图，由勾股定理，得：OA =22OB AB +=2．sin ∠1=3AB OA =，故答案为3．
20．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS 证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满足SAS ；添加条件此时满足ASA ；添加条件此时满足AAS 故
解析：AB AC =或ADC AEB ∠=∠或ABE ACD ∠=∠.
【解析】
【分析】
根据图形可知证明ADC AEB V V ≌已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA 、SAS 、AAS 证明两三角形全等．
【详解】
∵A A ∠∠= ，AD AE =，
∴可以添加AB AC = ，此时满足SAS ；
添加条件ADC AEB ∠∠= ，此时满足ASA ；
添加条件ABE ACD ∠∠=，此时满足AAS ，
故答案为：AB AC =或ADC AEB ∠∠=或ABE ACD ∠∠=；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．
三、解答题
21．（1）证明见试题解析；（2）90°．
【解析】
试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD ∽△CBD ；
（2）由（1）知△ACD ∽△CBD ，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD ，然
后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
试题解析：（1）∵CD 是边AB 上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵AD CD CD BD
=． ∴△ACD ∽△CBD ；
（2）∵△ACD ∽△CBD ，
∴∠A=∠BCD ，
在△ACD 中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
考点：相似三角形的判定与性质．
22．（1）见解析；（2）（﹣4，2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 以点B 为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可．
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示，△A 1BC 1即为所求；
（2）如图，△A 2B 2C 2，即为所求，A 2（﹣4，2）；
故答案是：（﹣4，2）．
【点睛】
此题主要考查旋转与位似图形的作图，解题的关键是熟知旋转的性质及位似的定义.
23．（1）4k =；（2）()1,4D .
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求出A 点坐标即可；
（2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，则有AB x ⊥轴，可知B 的横纵标为2，D 点的横坐标为1，结合解析式即可求解；
【详解】
（1）Q 22OA =，45AOC ∠=︒，
∴()2,2A ，
∴4k =，
∴4y x
=； （2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，
∴AB x ⊥轴，
∴B 的横纵标为2，
Q 点D 是BC 的中点，
∴D 点的横坐标为1，
∴()1,4D ；
【点睛】
本题考查反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质；利用平行四边形的性质确定点B 的横坐标是解题的关键．
24．（1）作图见解析；（2）10
【解析】
【分析】
(1)直接利用位似图形的性质求解即可;(2)根据题意利用勾股定理解答即可.
【详解】
（1）如图所示：△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，都是符合题意的图形；
（2）A 1C 1的长为：10．
【点睛】
本题考查了位似变换及勾股定理的知识点，解题的关键是由题意正确得出对应点的位置.
25．（1）抛物线的解析式为y=x 2+2x ；（2）D 1（-1，-1），D 2（-3，3），D 3（1，3）；
（3）存在，P（，）或（3，15）．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线过A（2，0）及原点可设y=a（x-2）x，然后根据抛物线y=a（x-2）x过B（3，3），求出a的值即可；
（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=-1右侧，进而可求出D横坐标为：-1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．
【详解】
解：（1）根据抛物线过A（-2，0）及原点，可设y=a（x+2）（x-0），
又∵抛物线y=a（x+2）x过B（-3，3），
∴-3（-3+2）a=3，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+2）x=x2+2x；
（2）①若OA为对角线，则D点与C点重合，点D的坐标应为D（-1，-1）；
②若OA为平行四边形的一边，则DE=OA，∵点E在抛物线的对称轴上，
∴点E横坐标为-1，
∴点D的横坐标为1或-3，代入y=x2+2x得D（1，3）和D（-3，3），
综上点D坐标为（-1，-1），（-3，3），（1，3）．
（3）∵点B（-3，3）C（-1，-1），
∴△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，
①如图1，
若△PMA∽△COB，设PM=t，则AM=3t，
∴点P（3t-2，t），
代入y=x2+2x得（-2+3t）2+2（-2+3t）=t，
解得t1=0（舍），t2=7
9
，
∴P(1
3
，
7
9
)；
②如图2，
若△PMA∽△BOC，
设PM=3t，则AM=t，点P（t-2，3t），代入y=x2+2x得（-2+t）2+2（-2+t）=3t，解得t1=0（舍），t2=5，
∴P（3，15）
综上所述，点P的坐标为(1
3
，
7
9
)或（3，15）．
考点：二次函数综合题。