高考数学一轮复习 4.1 三角函数的概念教案

第四章三角函数
●网络体系总览
●考点目标定位
1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式.
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力.
能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.
4.会用正弦线、正切线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解正弦、余弦、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=A sin（ωx+ϕ）的简图，理解A、ω、ϕ的物理意义.
5.了解反正弦、反余弦、反正切的概念，会用反三角表示角.
●复习方略指南
本部分内容历来为高考命题的热点，其分值约占20%，一般都是三或四个小题，一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y=A sin （ωx+ϕ）的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形，一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”.
本章内容公式多，三角函数作为工具，和其他知识间的联系密切，因此复习中应注意：
1.弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背，要在灵、活、巧上下功夫.
2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中，应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想.
3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法，并从中体会“变换美”.
4.有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”
a sin x+
b cos x=2
2b
a+
sin（x+ϕ）（其中ϕ角所在象限由a、b的符号确定，ϕ角的值由b确定）将函数化成y=A sin（ωx+ϕ）+h的形式，再求其最tanϕ=
a
值或周期等.
4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式
●知识梳理
1.任意角的三角函数
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P （x ，y ）与原点的距离是r （r =
2
2y x +＞0），则sin α=r
y ，cos α=r
x ，tan α=x
y .
上述三个比值不随点P 在终边上的位置改变而改变. 2.同角三角函数关系式
sin 2
α+cos 2
α=1（平方关系）；
α
α
cos sin =tan α（商数关系）；
tan αcot α=1（倒数关系）. 3.诱导公式
α+2k π（k ∈Z ）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等
于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
另外：sin （2
π－α）=cos α，cos （2
π－α）=sin α.
●点击双基
1.已知sin 2
α=5
3，cos 2
α =－5
4，那么α的终边在
A.第一象限
B.第三或第四象限
C.第三象限
D.第四象限 解析：sin α=2sin 2
αcos 2
α=－25
24＜0，cos α=cos
22
α
－sin
22
α
=
25
7
＞0，
∴α终边在第四象限. 答案：D
2.设cos α=t ，则tan （π－α）等于 A.
t
t 21- B.－
t
t 2
1- C.±
t
t 21- D.±
2
1t
t -
解析：tan （π－α）=－tan α=－α
αcos sin .
∵cos α=t ，又∵sin α=±2
1t
-，∴tan （π－α）=±
t
t 21-.
答案：C
3.α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点且cos α=4
2
x ，
则x 的值为
A.
3 B.±3 C.－3 D.－
2
解析：∵cos α=r
x =
5
2
+x x =
4
2
x ，∴x =0（舍去）或x =
3
（舍
去）或x =－3.
答案：C 4.若
α
αsin sin 1-1+=α
αcos sin 1+，则α的取值范围是_______.
解析：∵
α
αsin sin 1-1+=|
cos |sin 1αα+=ααcos sin 1+，
∴cos α＞0.∴α∈（2k π－2
π，2k π+2
π）（k ∈Z ）. 答案：α∈（2k π－2
π，2k π+2
π）（k ∈Z ）
5.化简8sin 1-=_________.
解析：
8sin 1-=2
4cos 4sin ）（-=|sin4－cos4|=sin4－cos4.
答案：sin4－cos4 ●典例剖析
【例1】 （1）若θ是第二象限的角，则）
（）
（θθ2sin cos cos sin 的符号是什
么?
（2）π＜α+β＜3
π4，－π＜α－β＜－3
π，求2α－β的范
围.
剖析：（1）确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限.
（2）可以把α+β与α－β看成两个变量（整体思想），然后把2α－β用这两个变量表示出来即可.
解：（1）∵2k π+2
π＜θ＜2k π+π（k ∈Z ），
∴－1＜cos θ＜0，4k π+π＜2θ＜4k π+2π，－1＜sin2θ＜0.
∴sin （cos θ）＜0，cos （sin2θ）＞0. ∴
）
（）
（θθ2sin cos cos sin ＜0.
（2）设x =α+β，y =α－β，2α－β=mx +ny ，
则2α－β=m α+m β+n α－n β=（m +n ）α+（m －n ）β. ∴⎩⎨
⎧-=-=+.
12n m n m ，∴m =2
1，n =2
3.∴2α－β=2
1x +2
3y .
∵π＜x ＜3
π4，－π＜y ＜－3
π，
∴2
π＜2
1x ＜3
π2，－2
π3＜2
3y ＜－2
π.
∴－π＜2
1x +2
3y ＜6
π.
评述：（1）解此题的常见错误是：
π＜α+β＜3
4π，
①
－π＜α－β＜－3
π，
②
①+②得0＜2α＜π， ③
由②得3
π＜β－α＜π，
④
①+④得3
π4＜2β＜3
π7，∴3
π2＜β＜6
π7.
⑤
∴－6
π7＜－β＜－3
π2.
⑥
③+⑥得－6
π7＜2α－β＜3
π.
（2）本题可用线性规划求解，不妨一试. 【例2】 已知cos α=3
1，且－2
π＜α＜0，
求α
αααtan cos π2sin πcot ⋅-+⋅--）（）（）（的值.
剖析：从cos α=3
1中可推知sin α、cot α的值，再用诱导公
式即可求之.
解：∵cos α=3
1，且－2
π＜α＜0，∴sin α=－3
22
，cot α=－
4
2.
∴原式=α
αααtan cos sin cot ⋅-⋅-）（）（=α
α
αsin sin cot ⋅-=－cot α=
4
2
.
评述：三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是
常考的问题之一.
【例3】 已知sin β=3
1，sin （α+β）=1，求sin （2α+β）
的值.
剖析：由已知sin （α+β）=1，则α+β=2k π+2
π，再将2α+
β改造成2（α+β）－β即可求之.
解：∵sin （α+β）=1，∴α+β=2k π+2
π.
∴sin （2α+β）=sin ［2（α+β）－β］=sin β=3
1.
评述：整体代入是常用的技巧，这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角函数名称之间的关系.
●闯关训练 夯实基础
1.角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－5
4，则
m 的值是
A.2
1 B.－2
1 C.－
2
3
D.2
3 解析：P （－8m ，－3），cos α=9
6482+-m m =－5
4.
∴m =2
1或m =－2
1（舍去）.
答案：A
2.设α、β是第二象限的角，且sin α＜sin β，则下列不等式能成立的是
A.cos α＜cos β
B.tan α＜tan β
C.cot α＞cot β
D.sec α＜sec β 解析：A 与D 互斥，B 与C 等价，则只要判断A 与D 对错即可.
利用单位圆或特殊值法，易知选A.
答案：A
3.已知tan110°=a ，则tan50°=_________. 解析：tan50°=tan （110°－60°）=︒
︒+︒-︒60tan 110tan 160tan 110tan =a
a 313
+-
.
答案：a
a 313
+-
4.（2004年北京东城区二模题）已知sin α+cos α=5
1，那么
角α是第_______象限的角.
解析：两边平方得1+2sin αcos α=25
1
， ∴sin αcos α=－25
12＜0.
∴α是第二或第四象限角. 答案：第二或第四
5.若sin α·cos α＜0，sin α·tan α＜0， 化简
2
sin
12sin 1α
α+-+
2
sin
12
sin 1α
α-+.
解：由所给条件知α是第二象限角，则2
α是第一或第三象限角. 原式=
2
sin
12
sin
12
sin
12α
α
α
-++-=
|
2
cos
|2α
=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-.
22sec 222sec 2是第三象限角）（是第一象限角），（αααα
6.化简[][]）
（）（）（）（
θθθθ+⋅--+⋅++πcos πsin π1cos π1sin k k k k （k ∈Z ）. 解：当k =2n （n ∈Z ）时，
原式=）
（）（）（）（θθθθ+⋅--+⋅++π2cos π2sin ππ2cos ππ2sin n n n n =θ
θθθcos sin cos sin ⋅--⋅-）
（=－1.
当k =2n +1（n ∈Z ）时，
原式=[][]）
（）（）（）（
θθθθ++⋅-+-+⋅++ππ2cos ππ2sin π22cos π22sin n n n n =）
（θθθ
θcos sin cos sin -⋅⋅=－1.
综上结论，原式=－1. 培养能力
7.（2005年北京东城区模拟题）已知tan （4
π+α）=2，求：
（1）tan α的值；
（2）sin2α+sin 2
α+cos2α的值.
（1）解：tan （4
π+α）=α
αtan tan 1-1+=2，∴tan α=3
1.
（2）解法一：sin2α+sin 2
α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2
α－sin 2
α
=2sin αcos α+cos 2
α
=
1+α
αα2cos cos sin 2=
α
αααα2
2
2cos sin cos cos sin 2++
=1+1+αα2
tan tan 2=2
3. 解法二：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin
2
α
=2sin αcos α+cos 2
α. ①
∵tan α=3
1，∴α为第一象限或第三象限角.
当α为第一象限角时，sin α=
10
1，cos α=
10
3，代入①得2sin
αcos α+cos 2α=2
3；
当α为第三象限角时，sin α=－
10
1，cos α=－
10
3，代入①
得2sin αcos α+cos 2
α=2
3.
综上所述sin2α+sin 2
α+cos2α=2
3.
8.已知sin θ=a
a +-11，cos θ=a
a +-113，若θ是第二象限角，求实数
a 的值.
解：依题意得⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=+-++-<+-<
-<+-<.111311011
31111022）（）（，，a a a a a a a a
解得a =9
1或a =1（舍去）.
故实数a =9
1.
9.设α∈（0，2
π），试证明：sin α＜α＜tan α.
证明：如下图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x 轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P 点.
∵S △OPA ＜S 扇形OPA ＜S △OAT ，∴2
1|MP |＜2
1α＜2
1|A T|.
∴sin α＜α＜tan α. 探究创新
10.是否存在α、β，α∈（－2
π，2
π），β∈（0，π）使
等式sin （3π－α）=2cos （
2
π
－β），3cos （－α）=－2cos
（π+β）同时成立?若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由.
解：由条件得⎪⎩⎪⎨
⎧.
==②
①，
βαβαcos 2cos 3sin 2sin
①2
+②2
得sin 2
α+3cos 2
α=2，∴cos 2
α=2
1.
∵α∈（－2π，2π），∴α=4π或α=－4
π. 将α=4π代入②得cos β=23.又β∈（0，π），∴β=6
π，代入①可知，符合.
将α=－4π代入②得β=6
π，代入①可知，不符合. 综上可知α=4π，β=6
π. ●思悟小结
1.要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念.
2.在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值.
3.注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.
4.注意“1”的灵活代换，如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α－tan 2α=csc 2α－cot 2α=tan α·cot α.
5.应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.
●教师下载中心
教学点睛
1.本课时概念多且杂，要求学生在预习的基础上，先准确叙述回忆，复习中注意“三基”的落实.
2.利用同角三角函数的关系及诱导公式进行化简、求值、证明时，要细心观察题目的特征，注意培养学生观察、分析问题的能力，
并注意做题后的总结，引导学生总结一般规律.如：“切割化弦”“1的巧代”，sin α+cos α、sin αcos α、sin α－cos α这三个式子间的关系.
拓展题例
【例1】 求sin 21°+sin 22°+…+sin 2
90°.
分析：sin 21°+cos 21°=sin 21°+sin 289°=1.
故可倒序相加求和.
解：设S =sin 20°+sin 21°+sin 22°+…+sin 290°，S =sin 290°+sin 289°+sin 288°+…+sin 20°，∴2S =（sin 20°+sin 290°）+…+（sin 290°+sin 20°）=1×91.∴S =45.5.
【例2】 已知sin α+cos β=1，求y =sin 2α+cos β的取值范围. 分析：本题易错解为y =sin 2α+1－sin α，sin α∈［－1，1］，然后求y 的取值范围.
解：y =sin 2α－sin α+1=（sin α－21）2+4
3. ∵sin α+cos β=1，∴cos β=1－sin α.∴⎩⎨
⎧1.≤≤1-1≤-≤-ααsin sin 11， ∴sin α∈［0，1］.
∴y ∈［43，1］.。