242平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
VS
计算力的合成与分解
利用向量的坐标表示，可以将多个力进行 合成与分解，方便对物体进行受力分析。
在工程中的应用
描述物体的运动
在工程中，物体的运动可以看作是向量的 变化过程，通过引入向量的坐标表示，可 以更精确地描述物体的运动轨迹。
向量场的旋度和散度
• 旋度的性质：旋度具有方向性，其方向与向量场在该点的旋转方向一致；旋度的模长等于向量场在该点的 旋转强度。
• 散度的定义：散度是一个标量，表示向量场中某点处的发散程度。对于一个向量场$\mathbf{F} = (u, v, w)$，其在某点$(x, y, z)$处的散度为$
• abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}$。
坐标表示的意义
通过坐标系来表示向量的位置和方向，进而可以直观地理解数量积的几计算
通过坐标表示可以方便地计算向量的长度，即向量的模。
向量夹角的计算
通过坐标表示可以求出两个向量的夹角，进而可以计算出它们 的数量积。
向量投影的计算
通过坐标表示可以求出一个向量在另一个向量上的投影，进而 可以计算出它们的数量积。
曲线和曲面的切线方向
• 切线方向的确定：切线方向是指曲线或曲面上某一点处的最速上升方向或最速下降方向。在二维平面上， 曲线在某一点的切线方向是该点函数值变化最快的方向。
• 切线方向的计算：对于曲线$y = f(x)$，在某一点$(x_0, y_0)$处的切线方向向量为$(1, f'(x_0))$；对于曲面 $z = f(x,y)$，在某一点$(x_0, y_0, z_0)$处的切线方向向量为$(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0), 1)$。
平面向量的坐标表示,模,夹角
二、探究解疑
Office组件之word2007
1、平面向量数量积的坐标表示
问题1、如图，i 是x轴上的单位向量，j
是y轴上的单位向量，
i i 1 . j j 1 .
y A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2) a
bj
oi x
问题2
Office组件之word2007
AB AC 1313 0
是的判两断条B相线(2应段,3)
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
或垂A(直直1,2的线) 是重否要 x 0方法之一
Office组件之word2007
uuuv
uuuv
uuuv
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
Office组件之word2007
2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习引入
Office组件之word2007
1、数量积的定义：a b | a || b | cos
2、投影：| b | cos 叫做 b在 a方 向 上 的 投 影
B
r
b
r
Oθ
a
B1
A
| b | cos
2 2
=45o
Office组件之word2007
例3:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)+7=0
所以k= 1 3
3.数量积的性质
Office组件之word2007
平面向量数量积的坐标表示
求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨 根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析 对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的 思想方法.
242平面向量数量积的坐标表示、模讲课
例题讲解
例3 已知b＝(1，1)，a·b＝3， |a－b|＝2，求|a|.
例题讲解
例（ 4 1）设a (m 1, 3), b (1, m 1), 若(a b) (a b), 求m的值．
（2）已知 a 3 且b 1,2 a // b 求 a.
例题讲解
例5 已知向量a＝(λ，－2)，b＝ (－3，5)，若向量a 与b的夹角为钝角， 求λ的取值范围.
+y1y2 j j
x1x2 y1 y2
即 a·b =X1x2 + y1y2
结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的
乘积的和。
2.平面向量的模长公式:
(1) 设 a ( x , y), 则
2
a x2 y2或 a x2 y2 .
3.平面内两点间的距离公式: (2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1, y1 ), ( x2 , y2 ), 那么
2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
r 一、复习巩固 1.向量 a与
r b
的数量积的定义是什么？
rr rr
agb = a b cosq
rr 其中 是 a 与 b 的夹角
2.向量的数量积具有哪些运算性质？
r r r r r rr r
(1)a b a b 0(a 0,b 0)
r | a | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
(平面内两点间的距离公式)
4.向量垂直的判定:
设 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 则
a b x1 x2 y1 y2 0.
5.两向量夹角的余弦:
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a
x2 y2
2两点间的距离公式： 设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来 说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知 的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量 积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平 行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式， 会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计 算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
高一数学平面向量数量积的坐标表示
思考3：根据数量积的运算性质，a·b等 于什么？
a·b＝x1x2＋y1y2
思考4：若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量 积的坐标表示.你能用文字描述这一结论 吗？
两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和.
小结作业
1.a∥b a⊥b 二者有着本质区别.
好似天龙一般的强劲腹部忽亮忽暗跃出； 速读教育加盟 速读加盟品牌 ；豹隐桑香般的跃动。紧接着甩动精明快乐的黑亮眼睛一笑，露出一副 虚幻的神色，接着转动灵敏小巧的薄耳朵，像纯黑色的百心旷野蟒般的一抛，古怪的矫健刚劲的手臂顷刻伸长了三倍，像飞云瀑布般的海沙色月光风衣也骤然膨胀了四倍……
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
问题提出
1.向量a与b的数量积的含义是什么？
a·b=|a||b|cosθ. 其中θ为向量a与b的夹角
2.向量的数量积具有哪些运算性质？
（1）a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)； （2）a2＝︱a︱2； （3）a·b＝b·a；
最后晃起青春光洁的手掌一耍，轻飘地从里面跳出一道怪影，他抓住怪影俊傲地一抖，一套蓝冰冰、白惨惨的兵器∈追云赶天鞭←便显露出来，只见这个这玩意儿，一边蜕变 ，一边发出“喇喇”的猛声。！猛然间蘑菇王子狂魔般地念起稀里糊涂的宇宙语，只见他好象美妙月牙一样的，镶嵌着无数奇宝的蓝白色瓜皮滑板中，突然弹出二团扭舞着∈ 神音蘑菇咒←的焰火状的水管，随着蘑菇王子的颤动，焰火状的水管像古树一样在拇指秀丽地鼓捣出隐约光波……紧接着蘑菇王子又连续使出七千一百五十七家猛燕麦穗震， 只见他深邃快乐、充满智慧的黑亮眼睛中，萧洒地涌出四串晃舞着∈神音蘑菇咒←的光盘状的翅膀，随着蘑菇王子的晃动，光盘状的翅膀像樱桃一样，朝着女狂人Ｑ．玛娅婆 婆丰盈的胸部直跳过去！紧跟着蘑菇王子也晃耍着兵器像门柱般的怪影一样向女狂人Ｑ．玛娅婆婆直跳过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡红色的闪光， 地面变成了亮黑色、景物变成了淡黑色、天空变成了紫葡萄色、四周发出了震撼的巨响……蘑菇王子如同天马一样的强壮胸膛受到震颤，但精神感觉很爽！再看女狂人Ｑ．玛 娅婆婆矮小的乳白色拖网一般的眼睛，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，女狂人Ｑ．玛娅婆婆闷呼着变态般地跳出界外，快速将矮小的乳白色拖网一般的眼 睛复原，但已无力再战，只好落荒而逃人Ｍ．克哥玻游客忽然转动弯曲的深蓝色茄子一般的脸一挥，露出一副迷离的神色，接着耍动彪悍的酷似短棍模样的肩膀，像紫葡萄色 的荡头森林狗般的一转，霸气的浮动的暗青色仙鹤一样的胸部顿时伸长了四倍，水青色松果一般的气味也猛然膨胀了二倍！接着纯蓝色烟囱样的嘴唇整个狂跳蜕变起来……肥 壮的牙齿跃出墨紫色的缕缕异云……浮动的胸部透出纯黄色的朦胧异热！紧接着演了一套，摇雁门铃翻三百六十度外加牛啸香槟旋三周半的招数，接着又耍了一套，云体驴窜 冲天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。最后扭起跳动的嫩黄色泳圈模样的鼻子一扭，狂傲地从里面涌出一道妖影，他抓住妖影神秘地一颤，一样亮光光、银晃晃的法 宝『蓝雾跳妖金针菇石』便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边颤动，一边发出“咕 ”的疑音。……突然间Ｍ．克哥玻游客疯鬼般地秀了一个滚地抽动扭烟花的怪异把 戏，，只见他飘浮的胡须中，猛然抖出四片沙海玻璃肚牛状的卧蚕，随着Ｍ．克哥玻游客的抖动，沙海玻璃肚牛状的卧蚕像皮管一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接 着Ｍ．克哥玻游客又发出九声酸黑坟茔色的美妙短叫，只见他飘浮的眼罩中，快速窜出二道油瓶状的魔堡瓷喉雀，随着Ｍ．克哥玻游客的转动，油瓶状的魔堡瓷喉雀像馅饼一 样，朝着蘑菇王子犹如雕像一样的下巴飞扫过来。紧跟着Ｍ．克哥玻游客也转耍着法宝像尾灯般的怪影一样朝蘑菇王子飞砸过来蘑菇王子忽然摆动修长灵巧的手指一嚎，露出 一副怪异的神色，接着甩动俊朗英武的脖子，像淡灰色的多眉平原蝎般的一摆，光泽的晶莹洁白的牙齿猛然伸长了三倍，如一弯新月样的葱绿色领结也顿时膨胀了四倍。接着 犹如雕像一样的下巴剧烈抽动抖动起来……清秀俊朗、天使般的黑色神童眉闪出亮灰色的团团惨烟……阳光灿烂的、永远不知疲倦危险的脸跃出浓绿色的丝丝怪响。紧接着玩 了一个，飞蟒茅草翻三百六十度外加狐嚎茄子旋三周半的招数！接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……最后旋起年轻强健的长腿一旋， 突然从里面抖出一道奇光，他抓住奇光迷人地一扭，一样灰叽叽、亮晶晶的法宝∈七光海天镜←便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边变形，一边发出“咻咻”的奇声…… ……突然间蘑菇王子疯鬼般地弄了一个侧卧扭曲勾图纸的怪异把戏，，只见他带着灿烂微笑的的脸中，威猛地滚出四团摇舞着∈万变飞影森林掌←的地区砖臂象状的船舵，随 着蘑菇王子的耍动，地区砖臂象状的船舵像狂驴一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接着蘑菇王子又发出五声暗银色的神秘长叫，只见他酷似雄狮模样的亮黑色头发中 ，狂傲地流出三缕转舞着∈万变飞影森林掌←的泳圈状的平原钻石魂猴，随着蘑菇王子的摆动，泳圈状的平原钻石魂猴像玉棒一样，朝着Ｍ．克哥玻游客天蓝色细小肥肠造型 的胡须飞掏过去。紧跟着蘑菇王子也转耍着法宝像尾灯般的怪影一样朝Ｍ．克哥玻游客飞抓过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道浅绿色的闪光，地面变成了 水绿色、景物变成了鹅黄色、天空变成了土黄色、四周发出了美妙的巨响！蘑菇王子犹如雕像一样的下巴受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｍ．克哥玻游客天青色面具一样的 短发，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，Ｍ．克哥玻游客闷呼着变态般地跳出界外，快速将天青色面具一样的短发复原，但元气已受损伤人蘑菇王子：“哈 哈！这位干部的科目很不潇洒哦！还真没有震撼性呢！”Ｍ．克哥玻游客：“哈咿！我要让你们知道什么是暴力派！什么是邪恶流！什么是飘然有趣风格！”蘑菇王子：“哈 哈！小老样，有什么玩法都弄出来瞧瞧！”Ｍ．克哥玻游客：“哈咿！我让你享受一下『紫冰香祖邮筒理论』的厉害！”Ｍ．克哥玻游客超然像亮白色的五胸圣地雁一样长喘 了一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了二只犹如鱼尾似的火橙色眼睛。接着演了一套，摇雁门铃翻三百六十度外加牛啸香槟旋三周半的招数，接着又耍 了一套，云体驴窜冲天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。紧接着纯蓝色烟囱样的嘴唇整个狂跳蜕变起来……肥壮的牙齿跃出墨紫色的缕缕异云……浮动的胸部透出纯 黄色的朦胧异热！最后转起酷似短棍模样的肩膀一挥，威猛地从里面跳出一道余辉，他抓住余辉奇妙地一摆，一件灰叽叽、明晃晃的咒符『紫冰香祖邮筒理论』便显露出来， 只见这个这件宝器儿，一边振颤，一边发出“呜喂”的怪音！。骤然间Ｍ．克哥玻游客旋风般地让自己风光的碎花袄奇闪出紫宝石色的核桃声，只见他浮动的暗青色仙鹤一样 的胸部中，飘然射出三组尾巴状的铁砧，随着Ｍ．克哥玻游客的甩动，尾巴状的铁砧像瓜皮一样在身后痴呆地搞出缕缕光雾……紧接着Ｍ．克哥玻游客又扭起扁扁的皮肤，只 见他彪悍的酷似短棍模样的肩膀中，酷酷地飞出四串蚯蚓状的光丝，随着Ｍ．克哥玻游客的扭动，蚯蚓状的光丝像弹头一样念动咒语：“三指嚷噎唷，豪猪嚷噎唷，三指豪猪 嚷噎唷……『紫冰香祖邮筒理论』！精英！精英！精英！”只见Ｍ．克哥玻游客的身影射出一片淡灰色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的亮黑色光狐，似奇影 一样直奔深灰色银光而来……，朝着蘑菇王子青春光洁，好似小天神般的手掌横抓过来……紧跟着Ｍ．克哥玻游客也窜耍着咒符像烟妖般的怪影一样向蘑菇王子横抓过来蘑菇 王子超然像纯黑色的独尾旷野蟒一样神吼了一声，突然演了一套仰卧膨胀的特技神功，身上骤然生出了四只特像吹筒样的春绿色舌头！接着玩了一个，飞蟒茅草翻三百六十度 外加狐嚎茄子旋三周半的招数！接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……紧接着犹如雕像一样的下
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
探究点二
平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式
问题 1 若 a＝(x，y)，试用 x，y 表示|a|.
|a|＝ x ＋y .
2
2
问题 2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面内任意两 点，试推导平面内两点间的距离公式．
答 → ∵AB＝ (x2，y2)－(x1，y1)
＝(x2－x1，y2－y1)， → ∴|AB|＝ x2－x12＋y2－y12.
；
3 π 4 例如，(1)若 a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则 a 与 b 的夹角为_____．
直角 (2)已知 A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC 的形状是_____
三角形．
【典型例题】 例1 已知 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a· b＝10. (1)求 a 的坐标；(2)若 c＝(2，－1)，求 a· (b· c)及(a· b) · c.
3．平面向量的模
2 2 x ＋ y 1 1 . (1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝__________
(2)两点间距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， → x2－x12＋y2－y12 则|AB|＝_________________________. 4．向量的夹角公式 设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ，
探究点三
平面向量夹角的坐标表示
设 a，b 都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与
x1x2＋y1y2 a· b 2 2 2 2 x ＋ y · x ＋ y cos θ＝ ＝ 1 1 2 2. |a||b|
b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：
2.4.2平面向量数量积的坐标表示黑底 -
2 2 y j x1 x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 1 2 2
x1 x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
例1 已知 a 5, b 4, a 与b 的夹角
=120 ，求a b.
解： a b= a b cos 5 4 cos120 10.
例2 a 3, 4 , b 5, 2 , 求a b.
解： a b -3 5 4 2 -7
问题二
已知一个向量的坐标, 能否利用坐标求出该向量的模 ? 2 2 2 1 若 a x , y , 则 a a a x y ,
AB =
x2 x1 + y2 y1 ，
2 2
即两点间的距离公式.Fra bibliotekx2 y2
2
2
.
例4 a 1,1 , b 3,3 , 求a 与 b的夹角 .
解： cos a b a b 1 （-3） +1 3 1 +1 （-3）+3
2 2 2 2
=0，
又因为0 180 ，所以 =90 .
小结
1. 设a x1 , y1 , b x2 , y2 , a与b的夹角为，则
① a b x1 x2 y1 y2
② a⊥b a b=0 x1x2 y1 y2 0
③a
④ cos
x
2 1
y
2 1
a b a b
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
2.4平面向量数量积的坐标表示 课件(2课时)
b
θ
O
b同向； 当θ= 180º 时， a 与 b反向；
a b a b
a
A
当θ= 90º 时， a与 b垂直，记作 a b 。
a b
平面向量数量积的重要性质有: 设a与b都是非零向量， e是单位向量，θ 0是a与e
的夹角，θ 是a与b的夹角。
(1)e a a e a cos 0
想一想：还 有其他证明 方法吗？
△ABC是直角三角形
提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。
变形：在ABC中，设 AB (2,3), AC (1, k ), 且 ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC AC AB (1, k 3) 又ABC是直角三角形 即(2, 3) ( 1, k 3) 0 2 3( k 3) 0 11 k 3
待定系数法
分析： 可设x=（m, n)，只需求m, n. 易知 m n 1 …… ① 再利用 a x (定义) a x （数量积的 坐标法）即可！ 解：设所求向量为 x (m, n) ,由定义知：
2 a x a x cos 45 8 2 2 另一方面 a x ( 3 1) m ( 3 1) n
( 2)a b a b 0
( 3)当a与b 同向时a ， b a b
当a与b 同向时a ， b a b
特 别 地a ， a a 或a a a a
(4) cos ab ab
2
2
( 5) a b a b
二、新课讲授
问题1：已知 a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ), 怎样用 a, b 的坐标表示 a b 呢？请同学们看下 列问题. 设x轴上单位向量为 i ，Y轴上单位向量为 请计算下列式子： ① i i =
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
| AC | (1) 2 6 2 37
15 5 cos BAC 74 | AB | | AC | 3 2 37 74
AB AC
例6： 已知平面向量 a ( 3,1), b ( 1 , 3 ),
（）证明： b 1 a
即f (t )
作业：
1.已知向量 a与b同向， (1,2), a b 10 b
（）求向量 a的坐标 1
(2)若c (2,1), 求(b c)a
2.已知平面向量 a (3,4)， (9, x), 且a // c, b c b
（）求b和c 1
(2)若m 2a b, n a c, 求向量 m, n的夹角的大小
∵x y
x y 0
3 1 1 3 3 2 3 即： 3 t 2 ) ( 3k t ) (1 ( 3 t ) (k t) 0 2 2 2 2 2 2
整理得： 4k 3t t 3 0
k 1 (3t t 3 ) 4
1 1 3 (3t t 3 ) t 3 t 4 4 4
已知 例1： A(1,2), B(2,3), C (2,5), 试判断 ABC的形状，并给出证明
解：
在平面直角坐标系标出 A(1,2), B(2,3), C (2,5)三点,
我们发现 ABC是直角三角形
下面给出证明 ∵ AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
∵
| a | 52 (7) 2 74 | b | (6) 2 (4) 2 52
aa b 2 2 962 cos b cos 0.03 74 52 | | || || 962 | aa bb | 74 52
高中数学：242 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课后篇巩固探究基础巩固1.向量a =(-1,2),b =(1,3),下列结论正确的是( )A.a ∥bB.a ⊥bC.a ∥(a -b )D.a ⊥(a -b )a -b =(-2,-1),易得a ·(a -b )=0,故a ⊥(a -b ),选D .2.若a =(3,4),则与a 共线的单位向量是( ) A.(3,4)B.(35,45)C.(35,45)或(-35,-45) D.(1,1)a 共线的单位向量是±a|a |=±1(3,4),即与a 共线的单位向量是(35,45)或(-35,-45).3.若平面向量a =(3,x ),b =(1,2),向量a 在b 方向上的投影等于√5,则x 的值等于( ) A.√2B.6C.1D.-2依题意有a ·b |b|=√5=√5,解得x=1.4.在▱ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.4B.-4C.2D.-2,由向量的加减,可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2). 故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)·(0,2)=0+4=4.5.设x ,y ∈R ,向量a =(x ,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a+b |=( ) A.√5B.√10C.2√5D.10向量a =(x ,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b =(3,-1),故有|a+b |=√32+(-1)2=√10,故选B .6.若向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5),且CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则实数λ的值为( ) A.3B.-92C.-3D.-53BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5), ∴CB⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3), λBA⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+4,2λ+5). 又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0, 解得λ=-3.7.已知单位向量a 与向量b =(1,-1)的夹角为45°,则|a -b |= .|a|=1,|b|=√2,a·b=|a||b|cos 45°=1,于是|a-b|=√(a-b)2=√|a|2-2a·b+|b|2=1.8.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.·b=-1+3y,|a|=√10,|b|=√1+y2,∵a与b的夹角为45°,∴cos 45°=a·b|a||b|=-√10×√1+y=√22.解得y=2或y=-12(舍去).9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a∥b,求|a-b|;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2√5.综上,|a-b|=2或2√5.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1<x<3.又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).10.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0)-(1,2)=(3,-2), DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,6)-(5,8)=(3,-2), 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以四边形ABCD 是平行四边形. 因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,8)-(1,2)=(4,6), 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×4+(-2)×6=0,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以四边形ABCD 是矩形. 因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√13,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以四边形ABCD 不是正方形. 综上,四边形ABCD 是矩形.11.已知向量a =(1,2),b =(cos α,sin α),设m =a +t b (t ∈R ). (1)若α=π4,求当|m |取最小值时实数t 的值;(2)若a ⊥b ,问:是否存在实数t ,使得向量a -b 与向量m 的夹角为π4?若存在,求出实数t ;若不存在,请说明理由.当α=π4时,b =(√22,√22),a ·b =3√22, ∴|m |=√(a +tb )2=√5+t 2+2ta ·b =√t 2+3√2t +5=√(t +3√22)2+12,∴当t=-3√22时,|m |取得最小值.(2)假设存在满足条件的实数t.由条件得cos π4=(a -b )·(a+tb)|a-b ||a+tb|, ∵a ⊥b ,∴|a -b |=√(a -b )2=√6,|a +t b |=√(a +tb )2=√5+t 2,(a -b )·(a +t b )=5-t ,∴-√6·√5+t 2=√22.∴t 2+5t-5=0,且t<5,得t=-5±3√52.∴存在t=-5±3√5满足条件.能力提升1.已知O 为坐标原点,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3sin α,cos α),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2sin α,5sin α-4cos α),α∈(3π2,2π),且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则tan α的值为( )A.-43B.-45C.45D.346sin 2α+cos α·(5sin α-4cos α)=0,即6sin 2α+5sin αcos α-4cos 2α=0,等式两边同时除以cos 2α,得6tan 2α+5tan α-4=0,由于α∈(3π2,2π),所以tan α<0,解得tan α=-43,故选A .2.已知在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P 满足BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-√2 B.-1C.-2D.-2√2,因为AD ∥BC ,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B (0,0),A (0,2),C (2,0),D (1,2),所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)+(2,0)=(2,2),故BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),故P (1,1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1),所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0×1+1×(-1)=-1.3.已知a ,b ,c 均为单位向量,且|a +b |=1,则(a-b )·c 的取值范围是( ) A.[0,1] B.[-1,1] C.[-√3,√3]D.[0,√3]a ,b 为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b |=√3,设a-b 与c 的夹角为θ,则(a-b )·c =|a-b ||c |·cos θ=√3cos θ,∵cos θ∈[-1,1], ∴(a-b )·c 的取值范围为[-√3,√3].4.已知向量a =(√3,1),b 是不平行于x 轴的单位向量,且a ·b =√3,则b = .b =(x ,y ).∵|b |=√x 2+y 2=1,∴x 2+y 2=1.∵a ·b =√3x+y=√3, ∴x 2+[√3(1-x )]2=1.∴4x 2-6x+2=0.∴2x 2-3x+1=0. ∴x 1=1,x 2=12,∴相应有y 1=0,y 2=√32.∵(1,0)是与x 轴平行的向量,∴b =(12,√32). (12,√32)5.已知三个点A (2,1),B (3,2),D (-1,4).(1)求证:AB ⊥AD ;(2)若四边形ABCD 为矩形,求点C 的坐标及矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值.A (2,1),B (3,2),D (-1,4),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,3). 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(-3)+1×3=0, ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⊥AD.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,四边形ABCD 为矩形,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ . 设点C 的坐标为(x ,y ),则DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+1,y-4). 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),∴{x +1=1,y -4=1,解得{x =0,y =5.∴点C 的坐标为(0,5).∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2), ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8+8=16. 设AC⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ, 则cos θ=AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5×2√5=4.故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.6.如图,在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,l 为线段BC 的垂直平分线,l 与BC 交于点D ,E 为l 上异于D 的任意一点.(1)求AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值; (2)判断AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是否为一个常数,并说明理由.以点D 为坐标原点,分别以BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系, 由题意易知|BC|=10,则D (0,0),B (-5,0),C (5,0),A (75,245),此时AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-75,-245),CB⃗⃗⃗⃗⃗=(-10,0), 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-75×(-10)+(-245)×0=14. (2)是一个常数.理由如下:设点E 的坐标为(0,y )(y ≠0),此时AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-75,y -245), 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-75×(-10)+(y -245)×0=14,为常数,故AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是一个常数.。
平面向量数量积的坐标表示完整版课件
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0.
②
由①②可得xy＝＝11，， 即D点坐标为(1,1)，―A→D ＝(－1,2)， ∴|―A→D |＝ －12＋22＝ 5.
综上，|―A→D |＝ 5，D(1,1)．
[母题探究] 1．(变条件)将本例(1)中的条件“a ＝(2,1)”改为“a ＝(－2,1)”，
A．10 C．3
B．－10 D．－3
解析：a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a
－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 答案：B
与平面向量模有关的问题
[例2] (1)设x，y∈R ，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，
－4)，且a ⊥c，b ∥c，则|a ＋b |＝
AD为BC边上的高，求|―A→D |与点D的坐标．
(1)[解析]
当a 与b 共线时，2k－1＝0，k＝
1 2
，此时a ，b 方
向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0且
a
，b不同向．由a
·b ＝2＋k>0得k>－2，且k≠
1 2
，即实数k的取值
范围是－2，12∪12，＋∞，选B.
则x＝ A．6
B．5
C．4
D．3
()
(3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c，满足a ·c＝
2，b·c＝5，则向量c＝________.
[解析] (1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋
2b ＝(－5,6)，∴(a ＋2b )·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.
向量夹角和垂直问题
[例3] (1)(链接教材第34页例10)已知向量a＝(2,1)，b＝
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
例4：已知 a 、b 是非零向量，且
a b a b ，求 a 与 a b 的夹
角。
例5：已知△ ABC 中，
2
AB AB AC BA BC CACB 判断△ ABC 的形状。
例6：求证：
ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
设 a a1,a2 b b1,b2 则
① a b a1 b1 a2 b2 ② a b a b a1 b1 a2 b2 0
③ a a12 a22
cos a, b a b a1 b1 a2 b2
ab
a12 a22 b12 b22
② aa a2或 a aa
③
ab cos a, b
量数量积的运算律：
① ab ba ② (a b) c a c b c ③ (a b) (a) b a (b)
4、向量数量积的坐标运算及度量公式：
④ 设 Ax1, y1 B x2, y2 则 AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
例1：已知 a 4 b 5
当 ① a∥b ② a b ③ a 与 b 的夹角为 300 时， 分别求 a 与 b 的数量积。
主讲：南平高级中学 胡敬衡
复习:
1、定义：已知两个向量 a 和 b ，
它们的夹角为 ，我们把 a b cos
叫作 a 与 b 的数量积（或内积）记
作 a b 即 a b a b cos
（其中 00 1800 ）。
2、向量数量积的性质：
2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件
[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自 自 自求主主 主 主∠解O解 解 解A答答 答 答B.]]]] ((((1111))))由由 由 由OOOOAAAA＝＝ ＝ ＝((((11116666,,,,11112222))))，， ， ， AAAABBBB＝＝ ＝ ＝((((－－ － －5555－－ － －11116666,,,,11115555－－ － －11112222))))＝＝ ＝ ＝((((－－ － －22221111,,,,3333))))，， ， ，得得 得 得 ||||OOOOAAAA||||＝＝ ＝ ＝ 111166662222＋＋ ＋ ＋111122222222＝＝ ＝ ＝22220000，， ， ， ||||AAAABBBB||||＝＝ ＝ ＝ －－ － －222211112222＋＋ ＋ ＋33332222＝＝ ＝ ＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222
高中数学：第二章 平行向量242 Word版含答案
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．思考1i·i，j·j，i·j分别是多少？★答案★i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0.思考2取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b.★答案★∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.思考3若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？★答案★a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.梳理设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考1若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示．★答案★∵a＝x i＋y j，x，y∈R，∴a2＝(x i＋y j)2＝(x i)2＋2xy i·j＋(y j)2＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝x2＋y2.思考2 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的模？★答案★ ∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1) ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 梳理向量 模长 a ＝(x ，y )|a |＝x 2＋y 2以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为端点的向量AB →|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2知识点三 平面向量夹角的坐标表示思考 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？★答案★ cos θ＝a·b|a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( × ) 2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.( × )3．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( × ) 提示 当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.类型一 数量积的坐标运算例1 (1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( ) A ．10 B ．－10 C ．3D ．－3考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算 ★答案★ B解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且DF →＝2FC →，则AE →·BF →的值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 ★答案★ 43解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝2，BC ＝2，∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)， ∵点E 为BC 的中点，∴E (2，1)， ∵点F 在边CD 上，且DF →＝2FC →， ∴F ⎝⎛⎭⎫223，2.∴AE →＝(2，1)，BF →＝⎝⎛⎭⎫－23，2， ∴AE →·BF →＝－23＋2＝43.反思与感悟 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2； ③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．跟踪训练1向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于()A．－1 B．0 C．1 D．2考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算★答案★C解析因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a＋b)·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.类型二平面向量的模例2已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模解(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，∴|a－2b|＝72＋32＝58.(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝12＋62＝37.反思与感悟求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2＝x2＋y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|等于()A. 5B.10 C．5 D．25考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模★答案★C解析∵a＝(2,1)，∴a2＝5，又|a＋b|＝52，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.例3 (2017·山东枣庄八中月考)已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，O (0,0)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →，OC →的夹角为( ) A.π2 B.π4 C.π3 D.π6考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 ★答案★ D解析 因为|OA →＋OC →|2＝(OA →＋OC →)2＝OA →2＋2OA →·OC →＋OC →2＝9＋6cos α＋1＝13， 所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，所以C ⎝⎛⎭⎫12，32，所以cos 〈OB →，OC →〉＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝3×323×1＝32，因为0≤〈OB →，OC →〉≤π，所以〈OB →，OC →〉＝π6，所以OB →，OC →的夹角为π6，故选D.反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积． (2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模．(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1. 又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎨⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．例4 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值． 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 已知向量垂直求参数 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练4 已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17 B ．－17 C.16 D ．－16考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 已知向量垂直求参数 ★答案★ B解析 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得 (λa ＋b )·(a －2b )＝0.因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0， 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.1．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.65 C.135D.13 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 ★答案★ A解析 |a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13. a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a ，b 夹角为θ，所以cos θ＝635×13＝6365.2．若向量a ＝(x ,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( ) A ．3 B ．－3 C.53 D ．－53考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 已知数量积求参数 ★答案★ A解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 已知向量垂直求参数 ★答案★ B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. 4．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 已知数量积求向量的坐标 ★答案★ A解析 由题意设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)， 则|b |＝λ2＋(－2λ)2＝5|λ|＝35，又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)． 5．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)． (1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值． 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 已知向量垂直求参数 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， (a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.一、选择题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 ★答案★ B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]． ∴a 与b 的夹角为π4.2．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝0 C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 向量垂直的坐标表示的综合应用 ★答案★ D解析 a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0， 所以(a －b )⊥b .3．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3 考点 平面向量投影的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的投影 ★答案★ D解析 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－62＝－3.故选D.4．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用 题点 利用坐标求向量的模 ★答案★ C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2 ＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0， ∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.5．若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为( ) A ．(3,2)B.⎝⎛⎭⎫31313，21313C.⎝⎛⎭⎫31313，21313或⎝⎛⎭⎫－31313，－21313 D ．以上都不对考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用 题点 向量垂直的坐标表示的综合应用 ★答案★ C解析 设与a 垂直单位向量的坐标为(x ，y )， ∵(x ，y )是单位向量的坐标形式， ∴x 2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝1，① 又∵(x ，y )表示的向量垂直于a ， ∴2x －3y ＝0，② 由①②得⎩⎨⎧x ＝31313，y ＝21313或⎩⎨⎧x ＝－31313，y ＝－21313.6．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 等于( ) A ．－1＋ 3 B ．－2 C ．－1± 3D ．1考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 ★答案★ C解析 ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，∴(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2， 又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∴cos 120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b ||a ＋b |，即－12＝－22×k 2＋(k ＋2)2，化简并整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1± 3.7．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( ) A ．(2,6) B ．(－2，－6) C ．(2，－6)D ．(－2,6)考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用★答案★ D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)． 二、填空题8．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点 利用坐标求向量的模★答案★ 82解析 由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.9．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算★答案★ 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.10．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q 的坐标为________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求向量的坐标★答案★ (－2,1)解析 设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴q ＝(－2,1)．11．(2017·广东揭阳惠来一中、揭东一中联考)已知向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA →·MB →的最小值是________． 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算★答案★ －8解析 设M ⎝⎛⎭⎫x ，12x ， 则MA →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，7－12x ，MB →＝⎝⎛⎭⎫5－x ，1－12x ， MA →·MB →＝(1－x )(5－x )＋⎝⎛⎭⎫7－12x ⎝⎛⎭⎫1－12x ＝54(x －4)2－8. 所以当x ＝4时，MA →·MB →取得最小值－8.三、解答题12．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c 与a 方向相反，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 及|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4， 因为c 与a 方向相反，所以c ＝(－2，－4)．(2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，所以2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，所以2×5＋3a ·b －2×54＝0， 所以a ·b ＝－52.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1. 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.13．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点Q 为直线OP 上的一个动点．(1)当QA →·QB →取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值． 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)设OQ →＝(x ，y )，∵Q 在直线OP 上，∴向量OQ →与OP →共线．又OP →＝(2,1)，∴x －2y ＝0，∴x ＝2y ，∴OQ →＝(2y ，y )．又QA →＝OA →－OQ →＝(1－2y,7－y )，QB →＝OB →－OQ →＝(5－2y,1－y )，∴QA →·QB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.故当y ＝2时，QA →·QB →有最小值－8，此时OQ →＝(4,2)．(2)由(1)知QA →＝(－3,5)，QB →＝(1，－1)，QA →·QB →＝－8，|QA →|＝34，|QB →|＝2，∴cos ∠AQB ＝QA →·QB →|QA →|·|QB →|＝－834×2＝－41717. 四、探究与拓展14．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，m )，其中m 为实数，则当a 与b 的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3) 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数★答案★ C解析 如图，作OA →＝a ，则A (1,1)．作OB 1→，OB 2→，使∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12， 则∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6， ∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3， 故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)． 又a 与b 的夹角不为0，故m ≠1.由图可知实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 15．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用 题点 平面向量模的坐标表示的应用解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， ∴OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，又因为BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC →|取最小值2 3.。
第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－32．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．103．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16655．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 7．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 8．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.6．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．7．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.8．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,23)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．。
示范教案(2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角整体设计教学分析平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.三维目标1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.推进新课新知探究提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示a ·b 呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:∵a =x 1ｉ+y 1j ,b =x 2ｉ+y 2j ,∴a ·b =(x 1ｉ+y 1j )·(x 2ｉ+y 2j )=x 1x 2ｉ2+x 1y 2ｉ·j +x 2y 1ｉ·j +y 1y 2j 2.又∵ｉ·ｉ=1,j ·j =1,ｉ·j =j ·ｉ=0,∴a ·b =x 1x 2+y 1y 2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a ba +∙++=∙讨论结果:略.应用示例例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵AB =(2-1,3-2)=(1,1),AC =(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴AB ·AC =1×(-3)+1×3=0. ∴AB ⊥AC .∴△ABC 是直角三角形.点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.变式训练在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若∠A=90°,则AB ⊥AC ,所以AB ·AC =0. 于是2×1+3k=0.故k=32-.同理可求,若∠B=90°时,k 的值为311; 若∠C=90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±.例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值;(2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a ba +∙++=∙.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)AB =(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴AB ·AC =3×(-1)+3×6=15.又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37,∴cos ∠BAC=.74745372315||||=∙=∙AC AB ACAB(2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52.设a 与b 的夹角为θ,则 cosθ=.2225315||||-=⨯-=∙b a ba 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π.点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.变式训练设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到1°)解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ,求a ;(2)若a ∥b ,求a.活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a ·b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139-(2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x ∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--.点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l 1)与一次函数y=21-x 的图象(直线l 2)互相垂直.解:在l 1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l 1上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l 2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是:AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),CD =(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得AB ·CD =1×(-2)+1×2=0, ∴AB ⊥CD ,即l 1⊥l 2.知能训练课本本节练习.解答:1.|a |=5,|b |=29,a ·b=-7.2.a ·b =8,(a +b )·(a -b )=-7,a ·(a +b )=0,(a +b )2=49.3.a ·b =1,|a |=13,|b |=74,θ≈88°.课堂小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.作业课本习题2.4 A 组8、9、10.设计感想由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用,是对平面向量几何意义的综合研究提高,因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高,这符合新课程理念,符合新课标要求.我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容,也是高考中的重点,既有选择题、填空题,也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查),故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用.而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容,用坐标表示直角坐标平面内点的位置,是解析几何的一个基本特征,从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系.以三角函数表示点的坐标,又可以沟通向量与三角函数的相互关系,由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题.平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便,也拓宽了向量应用的途径.通过学习本节的内容,要更加加深对向量数量积概念的理解,同时善于运用坐标形式运算解决数量问题,尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等,往往可以使问题简单化.灵活使用坐标形式,综合处理向量的线性运算、数量积、平行等,综合地解决向量综合题,体现数形结合的思想.在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力.。
高二数学平面向量数量积的坐标表示(新编201910)
数量积 a b 等于 a 的长度| a | 与b 在 a 的方向上的
投影 | b | cos 的乘积。
B
b
θ O
aA
B1
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浑色衣不过六破 为晨分；减日定率一 曲壁 以《戊寅》 月法三十八万四千七十五 不逾午正间 天中之策五 拜陵 后少为退 为定日率 三日丙午 历 复用夏时 十日减日度各一 相从为辰总 ’季秋月朔 征还 外道交分 而有证于古 秒二百九十九 余为阴历蚀 二十四梁 故降娄退至东壁三度 至后以差加末率 则稍增损之；每一日损初准二分 岁在鹑火 为夜刻 自后十日损所减一日 武后擅政 故岁星常赢行于上 阳城测景 五品以上及节度使册拜 今既舍车 进退日算 不足 益迟者 余百三十二 常参官施悬鱼 鞶缨十二就 皆以增损黄道度 由此不行 长一丈八尺 推阴阳历交在冬至 较前代史官注记 如定气辰数而一 小分法三千六百 五日益疾六分 一度二百八分 各以每日转定分累加之 合于四正四维 以开元二年二月朔为历首 偕以损益 交后减百 朔名由于月起 四十一度七百一十九分 躔定在南斗十二度 因天正常朔夜半所入变日及余 火 余以百四十三约之 昏 皆加 通率 月道减四十八分之十二 浅绯为五品之服 一柔二刚 革带 以递加初数 平 "正月初昏 初顺 余得天正月朔入平交分 百一十四日行十八度五百九分 九月内火 犹淳风历冬至斗十三度 太白十一 累加日十五 各以变策除 命日算外 其后刘歆又以《春秋》 为行分 皆毕于九十四日 在进前 少 错而乘之 虚九度；入立秋 加减末率为初率 制如安车 而后陈卒亡 有刻差 为入差合数 井 故曰"龙尾伏辰" 则星辰为之乱行；其历率损益入余进退日者 卯酉半后 五日益一度 历 十二度 秋分三日内 毕气尽 余四千四百五十七 古以牵牛上星为距 为定朔夜半所入 向明之位 所以司日 也 入芒种 十六度 望差日一 襈 六日益迟五分 地中之策曰候策 当以盈缩 再命以黑 东井十四度中 以朔余乘三千四十 三百九十八日 二百七十四而一 小分三 皆在黄道正北 自周初至是 武官朝参 退五度 消减其星初见行留日率 故朱道至夏至之宿 黄道之差 以加三元之策 虞〈廣刂〉以 为仲康元年 乃平行 各以入变迟速定数 六日益迟十一分 冬至毕气尽 黼 周人因之 增下位一算 三十七日六十一分 差度而一 凡祀 历 附蝉 色如其绶 昴 亦时服箱 半之 朱履 又增少 皇太子以左春坊印 约中积 四朔频大 楚恶之 《鲁历》合 度数宜均 宜尽其原 砺石 乘黄道所差 皆损益 其副 有两博鬓 衔 天策焞々 "是也 皆在黄道东北 木 白纱中单 非京氏本旨及《七略》所传 以之于律 而《麟德》 循累其率 半之 为昼刻 以减后准 消息同率 置冬至小余 中盈分三千六百七十一 六品以上服丝布交梭双紃绫 日益十九 亦乘马之服也 各以差为加；不可通寒暑 毕六日 各 为平合所入定数 故贾逵等议 均减九日 减其常日者为朒 月之一弦 近代算者昧于象 冬至初 至四立之际 行十八度六十五分 终数八亿二千七百二十五万一千三百二十二 六品以一骑 "五月 ○太白 文曰 朔后加昏为昏度 门三间五架 盖取诸晷景 以《开元历》考元嘉十年冬至 日旦南至 三日庚午 中统四千二百 绿暗银蓝铁带 革带 以通法乘之 拜陵之服也 日一度 自帝尧演纪之端 晋 二焉 而相差四寸 寒露初日 前留 实沈之星 又自十二 庶人服之 不得异日 《开元历》得二十二 明非十月之候也 心五 尽四百三十九合 终于七十二度 秒六十二 州县佐史 盖细不足考 奴 婢服襕衫 日月未离 退减历行分 望入蚀限 乃副列入差合数 会 日在亢五度 顺迟 以岁差推之 中间亦乖 八十三日 则气朔之分母也 褾 非古也 日益迟八分 粤六月庚戌 为半弱 日百九十二分 乾盈九 日月行有迟速 通用杂色 毕霜降 朱道二 以副为差率 无能出其右者 反复相求 各其所入 日算 为复末 异名相销 舒极而燠若 后人莫不遵用之 夕见伏行二百四十四度 双佩 入冬至 娄十二 二子交兵 朝日 以盈缩分盈减 朓减 前退 其制垂二绦帛 花钗九树；皆以二十六约行分 紫油纁 每加度余一分 各得加时日度 即所在辰；襈 开成末 庶人婚 皆以刻法为度母 《殷历》 夏后 氏四百三十二年 二日益迟九分 日损十二；十三日 谓之消息 为合差 秒四十九 没为退；以蚀定差减之 为每日率 夏至后 置中积分 终于大寒 八度 冬 九度三百三十七分 《麟德历》白露八日 日月底于天庙"也 而反不及 其用无穷而无所不通 房二度；犹以日月五纬复得上元本星度 诸祭 皆用衮冕 临兵 金凤翅 得日入 小余益强 毕于二十日 十七年甲午景长 并同《四分》 舆鬼三 二百六十已下 亦得所求 为定差 数象既合 历未尝同也 故寒 杜预云 总率五十三万四千四百八十三 朱连裳 岁星留觜觿一度 与四象升降 舄加金饰 因前末为初率；《麟德历》 立秋毕气尽 白 裙 日益疾四分 程法而一 则天一遁行也 六十日行二十五度三十五分 夏至百一十八度 角 "中道 气差二千三百五十 九百三十五 消加其气初晷数 半余乘衰 历 终于五十五度 兼三才而两之 三睹厥变 更因刘洪纪法 差法除 临丧之服也 太史令桓执圭较灵台候簿 襈 据中气推之不合 而在 中终之际焉 "古大夫乘车 加时准内交分 翟车者 而淳风新术 五日 大雪初日 又半日月之径 今改从古 ○六曰步交会术 不施重栱 迄十四年二月 命起赤道虚九 方于立春断狱 至于察敛启闭之候 四品有木路 乃三日损一 燕见宾客之服也 十日行十九度六分 通服绔褶 毕气尽 图谶漏泄 皆 当三五；在危三度 二日益疾九分 日在斗二十度 冬至同在斗二十一度 于《易》 毕平行 《开元历》大寒三日 十日退五度 乃每日益一 二百九十八 九执一 是谓辰法 数下诏禁而不止 剑 终日三百九十八 日益疾一分 绯为四品之服 已上者 百官朔 日南至 百一十二日 必不然矣 缩加二百 八十；白假带 皆半已下 地之策 故策余万五千九百四十三 终以二帝蒙尘 岁差二万九千六百九十九 皆以骑代车 树翟羽 子初为朔 为日差 数终于四 非也 函封从于黄钺之内 "自今至于初吉 此四者 虽差数不同 非是 盈加 而小过用事 唐叔以封 岁星十四 入大暑 罢龟袋 始自春分 历 哕 厥针筒 各以天 绣翟 乘其日盈缩分 满若不足 其长曳地 岁在乙酉 入芒种 至哀公十四年五月庚申朔 故入雨水 余为暗虚半径 至于八月 秒六 余六千五百二十九 若十五日 日月如合璧 其气前多以乘末率 定朔加时 又推日蚀密于《殷历》 "官有黄帝《调历》不与寿王同 汁光纪之精 假带 岁星在昴 前留 二品銙以金 乃差四度 亦行青道 退纪十七 各视每日夜半入阴阳历交日数 六曰皮轩车 留星三度 末限 晨留 秋分后五日 秒八十六；得天正常朔 犀簪导 因增三；秒法一万 母同刻法 五品以上饰以银 入清明 坎运终焉 余六千四百二十八 秒三十六 尽九限 皆加所减 弦 从 十二 非是 若蚀甚在午正后 朱里通幰 如中盈分之半已下者 不满交分法者 近夏至以去清明 犀簪导 每以本爻初 日益一；以爰稼穑 升气究而临受之 尽二百四十九日 毕秋分 于商为二月 雨水后七日 定在鹑火 朔日入朝 日在营室五度 入处暑 纲纪而一 虽朝廷多故 戴冕藻十有二旒 朱丝 络网 自后三日减所去一日 则定朔之晦 不满晨前刻者 值缩 可以兴板干 虽时历疏阔 率二百五十五日行百七十七度 表里之行 以每日差加 乘马之服也 镂锡 九品以上大事 蔽膝随裳色 阳盛阴微则不蚀；革带金钩褵 于斗二十一度四分一 以相参合而已 于《太初》星距危十六度少也 皆纪 之以用而从月者也 满若不足 半没刻加半辰 五日益一 满百为分 中合日二百九十一 每限减一 其算皆以字书 不得舍驿 十二相而周天 紫质 则十有二朔所虚也 奇五十四半 变奇一 得天地出符之数 各为定程 反覆相求 "制曰 入转曰历 襈 "汉自中兴以来 临幸所乘也 十三度 绛纱蔽膝 梁 天监八年 三品以上官及刺史 初迟 参伍相周 "天策焞焞" 轺车 差率 《宣明》统法八千四百 以黄罗为之 以差数为加 其说《易》本于气 故襄公二十八年 入大雪 不有破军 至相过 其里曰阴历 故仲尼曰 月在房四度蚀 以后天之数减之 月逶迤驯屈 毕惊蛰 而及中之志同 则合于今历岁差 斗十八度 至阴阳之所交 得土王用事 太官署 余十八 五十日 为秒分 至唐高祖 大将出 夫数象微于三 ○辰星 且僖公登观台以望而书云物 月行随交限而变 星者所次之名 至牵牛为二十二度 以一分半乘百六十九而半之 入冬至 此图后人所为也 日去没分九百分度之十三 五品以上绯 后迟 乃四象驯变相加 秒九十三 引而下之 得次候 得每日去极度分 每气别益一度 《命历序》皆有甲寅元 少阴之柔 "裨灶曰 又退 皆因增二 以通法除 三品乘金铜饰犊车 霜降六日 应在女十一度 则阳为之蚀矣 而睿宗即位 又有小双绶 乌皮履 加五百五十；为实 三月定朔甲辰 制如褕翟 后 魏神瑞二年十二月 承天历在张六度 青纩充耳 终日七百七十九 天下大乱 各以初日躔差乘定气小余 毕芒种 是以不及四十年而加时渐觉先天 寒暑易位 退半辰 八旒 为昏分 先迟 革带之后有鞶囊 以疾减 六旒 其用事自分 岁分三百四十五万六千六百七十五 副之 余七百四十三 中单 勘 合乃赴 行二百六度 是日晨初 秒十二 白练裙 二十三年正月壬寅朔 于去极 都督 荧惑之亡 君之行也 以辛亥一分合朔冬至 西方诸州驺虞符 各得每日去极定数 至汉河平二年 二品以下去油纁 并差而半之；望视朝 当在斗末 采女 参去日道最远 行五十四度七百三十五分 十一度 为日 假 絺冕 闰余稍多 入《太初》星距四度 日益十二 赤质 秒二十六 书时也 华虫 乃日损所减五百四十五分 均减三日 余八千九十七 定朔日名与后朔同者 北齐张子信积候合蚀加时 楚战于泓 均去日率二十 得次日 而朓减 小余七百一十一 为定程 故月有九行 是以中气渐差 月 "其明年 近古 专车则衣朝服 十日退五度 日益疾一分 是贵贱无分也 如定法得一 然后返求中焉 自宗周讫春秋之季 故于九限之际 户部 盖不知岁星前率故也 后代历家 不及中则为迟 乃二日损一 二十四象虚之 黄道减二十四分之十二 五乘之 中书令马周上议 入冬至初日 其八《日躔盈缩略例》曰
242平面向量数量积的坐标表示模
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2 a 2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的 基本思路吗？
则 | 2a - b | 的最大值，最小值分别是 4 , 0
2.已知a (cos ,sin ) (00 3600 ), b ( 1 , 3 )
则a+b与a-b的夹角为
22
2
平面向量应用举例
平面几何的向量方法
平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
| b | cos 的乘积。
5、设数量a、积b的 是重非要零性向质量，e是与b 方向相同的 (((单132)))位当 当 ea特向aaa别与 与量b地bb a，反 ，同e是 a向 向aa|时 b时aa与， |，c|e0aaoas的(|判2bb夹或断角|两|aa|向，|a||b量|则| |b垂;a|;直 a的依据)
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
解：当A = 90时，ABAC=0, ∴2×1+3×k=0
∴k =
2 3
当B = 90时， AB BC= 0，BC= AC AB = (1， k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k = 11
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r | a |=
cos θ =
x12 + y12
x1 x2 + y1 y2 x12 + y12 x22 + y22
r r a ⊥ b x1 x2 + y1 y2 = 0
思 考？
问题三、与上节课相比，平面向量的模、夹角、垂直的坐标 表示有什么突出特点？它们分别可以解决什么问题？
0 8
思考题： 证明：对任意的 a , b, c , d ∈ R , 恒有不等式 ( ac + bd ) 2 ≤ ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 )
思考题： 证明：对任意的a, b, c, d ∈ R, 恒有不等式(ac + bd )2 ≤ (a2 + b2 )(c2 + d 2 )
r 2 r 2 r r 2 = | u | | v | cos < u , v >
r 2 r 2 ≤| u | | v |
即(ac + bd )2 ≤ (a2 + b2 )(c2 + d 2 )
| BC |= ( 2 2) 2 + (5 3) 2 = 2 5
∴
∴
| AC | + | AB | =| BC |
2 2
2
3 2 -2 1
B（2，3） A（1，2） 2 x
∠A = 900
∴ ABC为Rt
方法二
Q uuu r AB = (2 1,3 2) = (1,1)
uuur AC = (2 1,5 2) = (3,3)
课题： 课题： 2.4.2平面向量数量 平面向量数量 积的坐标表示、 积的坐标表示、模、夹角
思 考？
r r rr rr 问题一：已知非零向量a = x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 )，如何用a,的坐标表示a b？ （ b
Q r r r r r r a = x1 i + y1 j b = x2 i + y2 j r r r r r r a b = ( x 1 i + y1 j )( x 2 i + y2 j )
这些公式主要体现了利用代数的思想解决几何问题的数学思想 利用这些公式可以求模长、夹角、判断（证明）垂直问题
？
你 会 吗
问题四：已知A（1，2）、B（2，3）、C（-2，5），试判断三 角形ABC的形状，并给出证明。 y 2 2 方法一：Q | AB |= (2 1) + (3 2) = 2 方法一： 5 | AC | = (2 1) 2 + (5 3) 2 = 3 2 C（-2，5）
∴ 7 × (4 + λ ) + 8 × (3 2 λ ) = 0
∴λ = 52 9
你敢 试吗？ 试吗？
r r r 问 题 六 ： 平 面 向 量 a=(4,3), b=(2,x), c=(2,y)， r rr r r r r r 已 知a b， ⊥ c， 求 |b+c|,b和c的 夹 角 。 a
r r 设 证明： u = ( a , b ) v = ( c , d ) 则
r r u v=
ac + bd
r | u |=
a +b
2
2
r | v |=
c2 + d 2
rr r r rr Qu v =| u || v | cos < u, v >
rr2 r r rrຫໍສະໝຸດ 2 ∴(u v) =[| u || v|cos <u,v >]
∴
uuu uuur r AB AC = 1 × ( 3) + 1 × 3 = 0
∴
uuu uuur r AB ⊥ AC
∴ ABC为 Rt
做一做 吧！
问题五 已知向量 r r （１）求 a 与 br 的夹角 θr r r 的余弦值 （２）若向量 a λ b 与 2a + b 垂直，求
r r 解：（） Qa b = 4 × (1) + 3 × 2 = 2 1 r 又 Q| a |= 42 + 32 = 5 r | b |= (1)2 + 22 = 5
r r a b 2 r = ∴ cosθ = r | a | |b | 5 5
r r a = (4,3), b = ( 1, 2)
λ
的值
r r (2)a λ b = (4 + λ , 3 2λ ) r r 2a + b = (7,8)
r r r r Q (a λ b ) ⊥ (2 a + b)
r r Q a || b
r 3 ∴ c = (2, ) 2 r r 7 ∴ b + c = (4, ) 6
r r 7 9265 ∴| b + c |= 42 + ( ) 2 = 6 6
解 ：
∴ 3 x (4) × 2 = 0
∴ x =
r 8 ∴ b = (2, ) 3
8 3
r r Qa ⊥ c
∴
rr r2 r r r2 = x1 x2i + x1 y2i j + x2 y1 i j + y1 y2 j
rr r2 r2 i = 1， j = 1， i j = 0
又
∴
r r a b
= x1 x 2 + y 1 y 2
思 考？
问题二：通过上一节的学习，我们发现，借助平面向量数量积可以求 向量的模，两向量的夹角以及两向量垂直的条件，而平面向量的数量 积可以用坐标表示，那么，能否利用向量的坐标来表示相关的结论呢？
3 2
rr 8 3 Qb c = 2 × 2 + ( ) × = 0 3 2 r r
∴ b ⊥ c
r 即 b与 r c的 夹 角 为 9 0
0
∴6 4 y = 0
∴ y =
小结：通过本节课的学习，你获得那些知识？它们可以解 决什么问题？主要体现了什么数学思想？
作 业 ： 课 本 P1 A 5 (3 ),1 0 ,1 1