江苏省如东高级中学2012-203学年高一1月测试数学试题-Word版含答案

高一数学试卷 13.01.03
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在题后相应的位置上） 1．若幂函数的解析式为()(2)a
f x a x =-，则____.a =．
2．已知不等式230x -≥的解集为A ,不等式2
20x x --<的解集为B ，则A B = ．
3．函数tan(2)3
y x π
=-
的周期为 ．
4．函数()lg(21)x
f x =-的定义域为 ． 5
的值为 ．
6．已知函数2
()45f x x x =-+，[1,4]x ∈，则函数()f x 的值域为 ． 7．已知()f x 为偶函数，则函数(1)f x -的图象一定关于直线 对称． 8．若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f (4
x π
-
)= f (4
x π
+
)，则下
列函数中，符合上述条件的有_________.（填序号）
①f (x )=cos4x ②f (x )=sin(2x 2
π
+
) ③f (x )=sin(4x 2
π
+
) ④f (x ) = cos(
32
π
-4x ) 9．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2
),1(log 2
,2)(2
31x x x e x f x 则))2((f f 的值为 ． 10．已知20≤≤x ,若不等式4324x x
a ≤-⨯-恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 11．奇函数()f x 满足(1)(),f x f x +=-[0,1)x ∈时，3
()f x x =，则(25.5)f = ．
12．如图是函数
|,0,0)(sin()(ϕωϕω>>+=A x A x f 的图象的一部分，则其解析式=)(x f ．
13．定义运算2
)2(2)(,)(,222-⊕*=
-=⊕-=*x x
x f b a b a b a b a 则函数的奇偶性为 ．
14．下列命题：
x
①函数sin(2)3y x π
=+
的单调增区间为⎥⎦⎤+⎢⎣
⎡
+127,12ππππk k ，k Z ∈； ②函数y=3sin(2x+
32π)图象的一个对称中心为(,0)6
π
；
③函数)6
2
1sin(π
-
=x y 在区间11
[,
]36ππ-
上的值域为[； ④函数cos y x =的图象可由函数sin()4
y x π
=+的图象向左平移
4
π
个单位得到； ⑤若方程sin(2)03x a π
+
-=在区间[0,]2π上有两个不同的实数解12,x x ，则126
x x π
+=.
其中正确命题的序号为 .
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分14分） 已知33cos sin =α+α，求的值。

及ααα
ααcos sin sin cos tan -+
16．（本题满分14分）已知函数()f x 的定义域是),0(+∞，且满足()()()f xy f x f y =+,1
()12
f =,如果对于0x y <<,都有()()f x f y >. （1）求(1)f ；
（2）解不等式2)3()(-≥-+-x f x f .
17．（本题满分15分）已知函数f(x)是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x＋x－3．
(1)求f(－1)的值；(2)求函数f(x)的表达式；(3)求证：方程f(x)＝0在区间(0，＋∞)上有唯一解．
18．（本题满分15分）
商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/ 件，商场以高于成本价的价格（标价）出售. 问：
（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
19．（本题满分16分）
下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．
(1)若该港口的水深y (m)和时刻t (0≤t ≤24)的关系可用函数y ＝A sin(ωt )＋b (其中A ＞0，ω＞0，b ∈R)来近似描述，求A ，ω，b 的值；
(2)若一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m ，安全条例规定至少要有2.5m 的安全间隙(船底与海底的距离)，试用(1)中的函数关系判断该船何时能进入港口？ 20．（本题满分16分） 设1
21()log 1
ax
f x x -=-为奇函数，a 为常数．
（1） 求a 的值；
（2） 证明)(x f 在区间（1，＋∞）内单调递增；
（3） 若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式)(x f >1()2
x
m +恒成立，求实数m 的取值范围．
高一数学参考答案
一、填空题
1. 3
2.3[,2)2
3.
2π
4. (0,)+∞
5. 12
6. [1,5]
7. 1x =
8. ①③
9. 2 10. 25,4⎛
⎤
-∞- ⎥⎝
⎦
11．1
8
-
12.=y 13. 奇函数 14. 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15 解（1）- ……………………………7分 （2） …………………………14分 16解（1）令1x y ==得(1)(1)(1)(1)0f f f f =+⇒=………4分
（2）由1()1,(0)02f f ==得1(1)(2)()(2)12
f f f f =+⇒=-……6分
(4)(2)(2)2f f f =+=-…………………………………………8分 ∴()(3)[(3)](4)f x f x f x x f -+-=-≥………………………9分 又()f x 为),0(+∞上的减函数
00303(3)414x x x x x x x ->⇒<⎧⎪
∴->⇒<⎨⎪-≤⇒-≤≤⎩
……………………………………13分 解得10x -≤<
∴ 原不等式的解集为[1,0)-.………………………………………14分
17 解(1)因为函数f (x )是实数集R 上的奇函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )． 所以f (－1)＝－f (1)．
因为当x ＞0时，f (x )＝log 2x ＋x －3，所以f (1)＝log 21＋1－3＝－2．
所以 f (－1)＝－f (1)＝2． ………………………3分 (2)当x ＝0时，f (0)＝f (－0)＝－f (0)，解得f (0)＝0；
当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝log 2(－x )＋(－x )－3＝log 2(－x )－x －3． 所以－f (x )＝log 2(－x )－x －3，从而f (x )＝－log 2(－x )＋x ＋3．
所以 f (x )＝ ⎩
⎪⎨⎪⎧－log 2(－x )＋x ＋3，x ＜0，
0，x ＝0，log 2x ＋x －3，x ＞0． ………………………9分
(3)因为f (2)＝log 22＋2－3＝0，所以方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有解x ＝2． 又方程f (x )＝0可化为log 2x ＝3－x ． 设函数g (x )＝log 2x ，h (x )＝3－x ．
由于g (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，h (x )在区间(0，＋∞)上是单调减函数， 所以，方程g (x )＝h (x ) 在区间(0，＋∞)上只有一个解．
所以，方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有唯一解． 说明：指出有解2分，指出单调性2分． ………………………15分 18. 解：（1）(1)解：设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元， 则(100,300]x ∈
)0(<+=k b kx n ，∵b k +=3000，即k b 300-=，∴)300(-=x k n …………3分
k x k x k x y 00010)200()300()100(2--=--= (x ∈(100，300])…………………6分 ∵k ＜0，∴x = 200时，y max =－10 000k ，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．……………………8分 (2)解：由题意得，k (x －100)(x －300) =－10 000k ·75% 0500374002=+-x x 解得x = 250或x = 150
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元………………15分
19．解 (1)由题知，A ＝3，b ＝5，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π
6
． ……………………4分
(2)由(1)得y ＝3sin(π
6
t )＋5（0≤x ≤24）．
货船需要的安全水深为4＋2.5＝6.5(m)，所以当y ≥6.5时，货船就可以进港． 方法一 由3sin(π6t )＋5≥6.5，得sin(π6t )≥1
2．
因为0≤π6t ≤4π，所以π6≤π6t ≤5π6，或13π6≤π6t ≤17π
6
，
解得1≤t ≤5，或13≤t ≤17．
答 该货船可以在1∶00～5∶00和13∶00～17∶00进入港口． …………16分 方法二 由3sin(π6t )＋5＝6.5，得sin(π6t )＝1
2
．
如图，在区间[0，12]内，函数的图象与直线y ＝6.5有两个交点A ，B ，
因此π6t A ＝π6或π－π6t B ＝π
6
，解得t A ＝1，t B ＝5．
在区间[12，24]内，设函数的图象与直线y ＝6.5有两个交点C ，D ． 由函数的周期性，易得t C ＝12＋1＝13，t D ＝12＋5＝17．
答 该货船可以在1∶00～5∶00和13∶00～17∶00进入港口． ……………16分 说明：缺答扣1分．
20．解：22
()()log (3)()log (43)a a f x g x x a x a x ax a -=--=-+
令22
()43h x x ax a =-+，则当01a <<时，()h x 的对称轴22x a a =<+ 故()h x 在[2,3]a a ++上单调递增
min ()(2)44h x h a a ∴=+=-，max ()(3)96h x h a a =+=-…………6分
（1）若125a =
，则96219()2525
h x ≤≤ 1
1125
2525
21996
1log log ()log 02525h x ∴-<≤≤< ()()1f x g x ∴-<………………………………………………9分 （2）由题意，30x a ->在[2,3]a a ++上恒成立，则2301a a a +->⇒< 又01a a >≠且
0<<1a ∴……………………………………………………12分
4log (44)1599log (96)11212
a a
a a a a a ⎧
-≤⇒≤⎪⎪
⎨⎪-≥-⇒≤≥⎪⎩或…………14分
故9012
a -<≤……………………………………16分。