高中数学选修1-2：3.2.1同步练习

高中数学人教A版选修1-2 同步练习
1.已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于复平面内的()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：选B.由z＝z2－z1＝1＋2i－(2＋i)＝(1－2)＋(2－1)i＝－1＋i，因此，复数z＝z2－z1对应的点为(－1，1)，在第二象限．
2.已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，若z1＋z2为纯虚数，则有()
A．a－c＝0且b－d≠0 B．a－c＝0且b＋d≠0
C．a＋c＝0且b＋d≠0 D．a＋c≠0且b＋d＝0
解析：选C.∵z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i为纯虚数，
∴a＋c＝0，b＋d≠0.
3.当1＜m＜2时，复数2m＋m i－(4＋i)在复平面内对应的点位于第________象限．
解析：2m＋m i－(4＋i)＝(2m－4)＋(m－1)i.
∵1＜m＜2，∴2m－4＜0，m－1＞0，
故复数2m＋m i－(4＋i)在复平面内对应的点位于第二象限．
答案：二
4.已知复数z满足z＋(1＋2i)＝10－3i，则z＝________．
解析：z＝(10－3i)－(1＋2i)＝9－5i.
答案：9－5i
1.已知z＝11－20i，则1－2i－z等于()
A ．z －1
B ．z ＋1
C ．－10＋18i
D ．10－18i
解析：选C.1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)
＝(1－11)＋[－2－(－20)]i
＝－10＋18i ，故选C.
2.a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )
A ．1＋i
B ．2＋i
C ．3
D ．－2－i
解析：选D.∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i)＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝0，b ＋1＝0.∴⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1. ∴a ＋b i ＝－2－i.
3.A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ，OB 为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．
4.计算(－1＋2i)＋(i －1)－|1＋2i|＝________．
解析：原式＝－1＋2i ＋i －1－5＝－2－5＋3i.
答案：－2－5＋3i
5.复平面内，若复数z ＝a 2(1＋i)－a (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________．
解析：z ＝(a 2－4a )＋(a 2－a －6)i.
∵复数z 所对应的点在第二象限．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＜0，a 2－a －6＞0， 解得3＜a ＜4.
答案：(3，4)
6.计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2008＋2009i)＋(2009－2010i)＋(－2010＋2011i)＋(2011－2012i)．
解：原式＝(1－2＋3－4＋…－2008＋2009－2010＋2011)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2009－2010＋2011－2012)i
＝(2011－1005)＋(1005－2012)i ＝1006－1007i.
[B 级 能力提升]
7.设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选C.∵z ＝3－4i ，
∴z －|z |＋(1－i)＝3－4i －32＋（－4）2＋1－i
＝(3－5＋1)＋(－4－1)i ＝－1－5i.
8.若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：
选B.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝（x －2）2＋（y －2）2表示圆上的点与定点(2，2)间的距离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.
9.设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝__________．
解析：∵f (z )＝z －2i ，
∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2－2i
＝(3＋4i)－(－2－i)－2i
＝(3＋2)＋(4＋1－2)i
＝5＋3i.
答案：5＋3i
10.在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数为1，2＋i ，－1＋2i.D 为BC 的中点．
(1)求向量AD 对应的复数；
(2)求△ABC 的面积．
解：(1)由条件知在复平面内B (2，1)，C (－1，2)．
则D (12，32)，点D 对应的复数是12＋32
i ， AD ＝OD －OA ＝(12，32)－(1，0)＝(－12，32
)， ∴AD 对应的复数为－12＋32
i. (2)AB ＝OB －OA ＝(1，1)，
|AB |＝2，
AC ＝OC －OA ＝(－2，2)，
|AC |＝8＝22，
BC ＝OC －OB ＝(－3，1)，
|BC |＝10，
∴|BC |2＝|AC |2＋|AB |2，
∴△ABC 为直角三角形．
∴S △ABC ＝12
|AB |·|AC | ＝12
2·22＝2. 11.(创新题)已知z 1＝cos θ＋isin θ，z 2＝cos α＋isin α(θ，α∈R)，求|z 1＋z 2|的取值范围． 解：法一：∵z 1＋z 2＝cos θ＋isin θ＋cos α＋isin α
＝(cos θ＋cos α)＋i(sin θ＋sin α)，
∴|z 1＋z 2|2＝(cos θ＋cos α)2＋(sin θ＋sin α)2
＝2＋2(cos θcos α＋sin θsin α)
＝2＋2cos(θ－α)，
由于(2＋2cos(θ－α))∈[0，4]，
∴|z 1＋z 2|∈[0，2]．
法二：∵|z 1＝|z 2|＝1，
又||z 1|－|z 2||≤|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|，
∴0≤|z 1＋z 2|≤2，
即|z 1＋z 2|∈[0，2]．。