人教版 九年级数学上册专题复习：巧用一元二次方程的解法(含答案)

人教版数学九年级上册
巧用一元二次方程的解法
类型一 选择合适的方法解一元二次方程 1. 方程9x 2
－25＝0的解为( )
A. x ＝53
B. x ＝35
C. x 1＝53，x 2＝－53
D. x 1＝35，x 2＝－35
2. 用适当的方法解下列方程.
(1)4(x －3)2
＝25(x －2)2
； (2)5x (x －2)＝3(2－x )；
(3)x 2
＋7x ＋15＝8； (4)x (x ＋10)＝25.
类型二 利用一元二次方程的定义确定字母系数的取值
3. 已知(m 2
－9)x 2
＋m ＋2x ＝1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( ) A. m ≠±3 B. m ≥－2 C. m ≥－2且m ≠±3 D. m ≥－2且m ≠3 4. 已知关于x 的方程(2m 2
－8)x 12m 2＋1＋(m ＋2)x ＋5＝0.
(1)m 取何值时，它是一元一次方程？
(2)m 取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程.
类型三 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值
5. 关于x 的方程3x 2
＋mx －8＝0有一个根是23，求另一根及m 的值.
6. 先化简，再求值：(a 2－4a 2－4a ＋4－12－a )÷2a 2－2a
，其中a 是方程x 2
＋3x ＋1＝0的根.
7. 观察下面方程的解法：x 4
－13x 2
＋36＝0. 解：原方程可化为(x 2
－4)(x 2－9)＝0. ∴(x ＋2)(x －2)(x ＋3)(x －3)＝0
∴x ＋2＝0或x －2＝0或x ＋3＝0或x －3＝0. ∴x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝－3，x 4＝3. 你能否求出方程x 2
－7|x |＋10＝0的解吗？
类型四 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题
8. 已知a ，b 是方程3x 2
－9x ＋1＝0的两个根，是否存在实数m 使(5a 2
－15a ＋m )·(4b 2
－12b ＋3)的值等于2？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
类型五 利用根的判别式判定方程根的情况或利用方程根的定义求字母系数的值
9. 已知关于x 的方程x 2
－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知方程的一个根为x ＝0，求代数式(2m －1)2
＋(3＋m )(3－m )＋7m －5的值(要求先化简再求值).
类型六 利用根的判别式及根与系数的关系解几何问题 10. 已知关于x 的方程x 2
－(2k ＋1)x ＋4(k －12)＝0.
(1)求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC 的一边长a ＝4，另两边b ，c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长.
11. 已知平行四边形ABCD 的两条边AB ，AD 的长是关于x 的方程2x 2
－2mx ＋m －12＝0的两个实数
根.
(1)当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长？ (2)若AB ＝2，求平行四边形ABCD 的周长.
类型七 利用根的判别式及根与系数的关系求字母或代数式的值 12. 已知关于x 的一元二次方程x 2
－(m －1)x ＋m ＋2＝0. (1)若方程有两个相等的实数根，求m 的值； (2)若方程的两实数根之积等于m 2－9m ＋2，求m 的值.
13. 已知关于x 的一元二次方程(2m －1)x 2
－2mx ＋1＝0有两个不相等的实数根. (1)求m 的取值范围；
(2)当m ＋1m
＝11时，求m －1
m
的值.
参考答案
1. C
2. 解：(1)变形为[2(x －3)]2
－[5(x －2)]2
＝0，即(2x －6)2
－(5x －10)2
＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0，即(7x －16)(－3x ＋4)＝0.∴x 1＝
167，x 2＝43
. (2)5x (x －2)＋3(x －2)＝0，(x －2)(5x ＋3)＝0，x 1＝2或x 2＝－3
5
.
(3)x 2＋7x ＋7＝0，Δ＝72
－4×7＝21>0，x ＝－7±212，x 1＝－7＋212，x 2＝－7－212.
(4)x 2
＋10x ＋25＝50，(x ＋5)2
＝50，x ＋5＝±52，x 1＝52－5，x 2＝－5－5 2. 3. D
4. 解：(1)∵方程是一元一次方程，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 2
－8＝0，m ＋2≠0，或⎩⎪
⎨⎪⎧1
2
m 2
＋1＝1，
（2m 2－8）＋（m ＋2）≠0，
解得m ＝2或m ＝
0.
(2)∵方程是一元二次方程，∴2m 2－8≠0且12m 2＋1＝2，∴m ＝± 2.∴2m 2
－8＝－4.∴这个方程为－
4x 2
＋(2＋2)x ＋5＝0或－4x 2
＋(2－2)x ＋5＝0.
5. 解：设方程的另一根为t ，依题意得：3×(23)2＋23m －8＝0，解得m ＝10.又23t ＝－8
3，∴t ＝－4.∴
另一个根是－4，m 的值为10.
6. 解：原式＝[（a ＋2）（a －2）（a －2）2
＋1a －2]×a （a －2）2＝(a ＋2a －2＋1a －2)×a （a －2）2＝a （a ＋3）2＝1
2(a 2＋3a ).∵a 是方程x 2＋3x ＋1＝0的根，∴a 2＋3a ＋1＝0，∴a 2
＋3a ＝－1，∴原式＝－12
.
7. 解：x 2
－7|x |＋10＝0，(|x |－2)(|x |－5)＝0，∴|x |－2＝0或|x |－5＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2，
x 3＝5，x 4＝－5.
8. 解：由题意得，3x 2
－9x ＝－1，x 2－3x ＝－13.∴(5a 2－15a ＋m )(4b 2－12b ＋3)＝[5(a 2－3a )＋m ][4(b 2
－3b )＋3]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＋m ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43＋3＝2，解得m ＝4315. 9. (1)证明：∵在关于x 的一元二次方程x 2
－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0中，Δ＝(2m ＋1)2
－4m (m ＋1)＝1>0，∴方程总有两个不相等的实数根.
(2) 解：∵x ＝0是此方程的一个根，∴把x ＝0代入方程中得到m (m ＋1)＝0，∴m ＝0或m ＝－1，∵(2m －1)2
＋(3＋m )(3－m )＋7m －5＝4m 2
－4m ＋1＋9－m 2
＋7m －5＝3m 2
＋3m ＋5，把m ＝0代入3m 2
＋3m ＋5得：3m 2
＋3m ＋5＝5；把m ＝－1代入3m 2
＋3m ＋5得：3m 2
＋3m ＋5＝3×1－3＋5＝5.
10. (1)证明：Δ＝(2k ＋1)2－4×4(k －12)＝4k 2＋4k ＋1－16k ＋8＝4k 2－12k ＋9＝(2k －3)2
，∵(2k －
3)2
≥0，即Δ≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有实数根.
(2) 解：当b ＝c 时，Δ＝(2k －3)2＝0，解得k ＝32，方程化为x 2
－4x ＋4＝0，解得b ＝c ＝2，而2＋2
＝4，故舍去；当a ＝b ＝4或a ＝c ＝4时，把x ＝4代入方程得16－4(2k ＋1)＋4(k －1
2)＝0，解得k
＝52，方程化为x 2
－6x ＋8＝0，解得x 1＝4，x 2＝2，即a ＝b ＝4，c ＝2或a ＝c ＝4，b ＝2，所以△ABC 的周长＝4＋4＋2＝10.
11. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD .又∵AB ，AD 的长是关于x 的方程2x 2
－2mx ＋m －12＝0
的两个实数根，∴Δ＝(－2m )2－4×2×(m －12)＝2(m －1)2
＝0，∴m ＝1，∴当m ＝1时，四边形ABCD
是菱形.当m ＝1时，原方程为2x 2
－2x ＋12＝0，即(x －12)2＝0，解得x 1＝x 2＝12.∴菱形ABCD 的边长是12.
(2) 把x ＝2代入原方程，得8－4m ＋m －12＝0，解得m ＝52.将m ＝52代入原方程，得2x 2
－5x ＋2＝0，
又x 1x 2＝1，所以方程另一根AD ＝1÷2＝12.∴□ABCD 的周长为2×(2＋1
2
)＝5.
12. 解：(1)Δ＝[－(m －1)]2
－4×1×(m ＋2)＝m 2
－6m －7.∵方程有两个相等的实数根，∴m 2
－6m －7＝0，解得m 1＝－1，m 2＝7.
(2)由题意可知，m ＋2＝m 2
－9m ＋2，解得m 1＝0，m 2＝10.∵当m ＝0时，Δ<0，此时原方程没有实数根，故舍去，∴m ＝10.
13. 解：(1)根据题意列出方程组⎩⎨⎧
（－2m ）2
－4（2m －1）>0，
2m －1≠0，
m ≥0，
解得0≤m <1且m ≠1
2
.
(2)∵m ＋1m ＝11，∴(m －1m )2＝m ＋1m －2＝11－2＝9.∴m －1m ＝±3，又由(1)得0≤m <1且m ≠1
2，
∴m －
1
m
<0.因此应舍去3，∴m －
1
m
＝－3.。