第二讲 高二数学抛物线的几何性质精编(含答案).(DOC)

第二讲 抛物线的几何性质
一【基础知识讲解】
1、知识框图
图形
标准方程
22y px =
()0p >
22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-
()0p >
定义 与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)
顶点 ()0,0
离心率 1e =
对称轴 x 轴
y 轴
范围
0x ≥
0x ≤
0y ≥
0y ≤
焦点
,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
0,2p F ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
准线方程 2
p
x =-
2
p
x =
2
p y =-
2
p y =
焦半径
0,0()M x y
02
p MF x =+
02
p MF x =-+ 02
p MF y =+
02
p MF y =-+
通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HH p '=
焦点弦长 公式 12AB x x p =++
参数p 的几何意义
参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔
过焦点的弦长
|AB |
|AB |=|x 1+x 2|+p |AB |=|y 1+y 2|+p
当AB 与x 轴垂直时，|AB |=2p
若直线AB 倾斜角为θ，则|AB |θ
2sin 2p
=。

2.关于抛物线焦点弦的几个结论：
①.若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则： 2124
p x x =，2
12y y p =-。

x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=432p -(即OB OA ⋅)
证明：因为焦点坐标为F(
2
p
,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2p
y k x =-
，由2
()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
得: 2220ky py kp --=
∴2
12y y p =-，2242
121222244
y y p p x x p p p =⋅==。

当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2
p
x =
，则1y p =，2y p =-，∴212y y p =- 同上也有：2
124
p x x =。

例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF
+为定值。

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+
，22
p BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2
124
p x x =。

则：212121211()()()2224
AF BF AB AB p p p p AF
BF
AF BF
x x x x x x ++==
=⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+ 练习：过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则
11
p q
+= 化为标准方程，得21(0)x y a a
=>，从而12p a
=．取特殊情况，过焦点F 的弦PQ 垂直于对称轴，则PQ 为通径，即12PQ p a
==，从而1
2p q a
==
，故114a p q +=
②.（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，
则
22sin P AB α
=
（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短，即|AB|=2p 。

证明：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2
p
y k x =-
由2
()22p y k x y px ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k +=，212y y p =-，
22
1212122221112111()41p k AB y y y y y y k k k k
+=+-=++-=+
2222
22(1)2(1tan )2tan sin p k p P
k ααα
++===。

易验证，结论对斜率不存在时也成立。

（2）由（1）：AB 为通径时，90α=，2sin α的值最大，AB 最小，即|AB|=2p 。

例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。

解：由结论二，12=29
sin α
（其中α为直线AB 的倾斜角）， 则3
sin 2
α=±，所以直线AB 倾斜角为3π或23π。

③.两个相切：
（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦 点弦相切。

（3）焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π
；
（4）设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，则以A 1B 1为直
径的圆必过焦点F
（5）一动圆的圆心在抛物线22y px =上，且动圆恒与直线x+2
p
=0相切，则 此动圆必过焦点F
例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，
求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与
直线AB 相切。

证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。

由抛物线定义：AM AF =，BN BF =，
∴111
()()222
QP AM BN AF BF AB =+=+=，
∴以AB 为直径为圆与准线l 相切
（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ， ∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ， ∴∠AFM=∠MFO 。

同理，∠BFN=∠NFO ，
∴∠MFN=1
2
（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°，
∴1
2
MP NP FP MN ===，
∴∠PFM=∠FMP
∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB ∴以MN 为直径为圆与焦点弦AB 相切。

④.若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA
⊥OB 。

反之也成立。

B A M
N
Q P y x
O F
O A
M
N
P y
x
F
B
⑤. px y 22
=的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（t 为参数）
py x 22
=的参数方程为⎩⎨⎧==222pt
y pt
x （t 为参数）
对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩，
，设抛物线22x py =上动点P
坐标为
2
(22)pt pt ，，O 为抛物线的顶点，显然2
22OP
pt k t pt ==，即t 的几何意义为过抛
物线顶点O 的动弦OP 的斜率．
例 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，
OB 和OA 垂直，且线段AB 长为513，求P 的值．
解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ，，，，
则112A OA t k ==，1
2B OA OB
t k k ==-=-． A B
，的坐
标分别为
(84)2p p p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．2
2
8(4)2p AB p p p ⎛⎫=-++ ⎪
⎝
⎭∴5135132p ==．2p =∴．
二【例题讲解】
★★★模块1：抛物线的几何性质基础过关
1．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( B )
A ．－2
B ．0
C ．－2或0
D ．－2或2
2．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( C )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝－8x
C ．y 2＝8x 或y 2＝－8x
D ．x 2＝8y 或x 2＝－8y
3.过抛物线y 2
＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，
|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8. 选B.
4.以抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦半径为直径的圆与y 轴的位置关系
是( C )
A ．相交
B ．相离
C ．相切
D ．不确定
解析：如图，取AF 中点C ，作CN ⊥y 轴，AM ⊥y 轴，可得|CN |＝
1
2
|AF |，
5.如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，
8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，
则||5F P =（ ）．
A ．5
B ．6
C ． 7
D ．9
[解析]B 根据抛物线的定义，可知12
i
i i p
PF x x =+=+（1i =，2，……，n ），)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ,55=x ,||5F P =6
6.抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是___2_____．
7.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．
解：椭圆9x 2＋4y 2
＝36可化为x 24＋y 2
9＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的
方程为y 2＝ax (a ≠0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴有|a
4
|＝3，∴|a |
＝12，即a ＝±12.
故所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x .
8.设A 、B 为抛物线px y 22
=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.
【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置
［解析］设直线OA 方程为kx y =,由⎩⎨⎧==px
y kx y 22解出A 点坐标为)2,2(2k p
k p
⎪⎩
⎪⎨⎧
=-=px
y x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2
pk pk -，直线AB 方程为2
21)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p
【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用k
1
-
换k 而得
☆变式训练☆
1.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射
影为11,B A ,则=∠11FB A ( C ) A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 2.两个正数a 、b 的等差中项是
9
2
，一个等比中项是25，且,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为( )
A ． 1(0,)4-
B ．1
(0,)4
C ．1(,0)2-
D ．1(,0)4-
[解析] D. 1,4,5-=-==a b b a
3.一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点( )
()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -
显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.
4. 已知动点M 的坐标满足方程，则动点M 的轨迹是（ ）
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 以上都不对 解：由题意得：
即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离
由抛物线定义可知：动点M 的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线为准线的抛物线。

故选C 。

★★★模块二：抛物线的几何性质重难点突破
1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )
A ．4
B ．－2
C ．4或－4
D ．12或－2
解析：设标准方程为x 2＝－2py (p >0)，由定义知P 到准线距离为4， 故p
2
＋2＝4，∴p ＝4，∴方程为x 2＝－8y ，代入P 点坐标得m ＝±4. 答案：C 2．(2011·东北三校)抛物线y 2
＝8x 的焦点到双曲线x 212
－y 2
4
＝1的渐近线的距离
为( A )
A ．1 B. 3 C.33 D.3
6
解析：由题意可知，抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，双曲线x2
12
－
y2
4
＝1的渐近线
为y＝±
3
3
x，所以焦点到双曲线的渐近线的距离为
|23|
3＋9
＝1.
3．设，是抛物线上的不同两点，则
是弦过焦点的（C）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．不充分不必要条件
4．(2011·济南第二次诊断)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：由题可知抛物线焦点坐标为(a
4
，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程
为y＝2(x－a
4
)，令x＝0，可得A点坐标为(0，－
a
2
)，所以S△OAF＝
1
2
·
|a|
4
·
|a|
2
＝
4，∴a＝±8. 答案：B
5．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|＝43，则焦点到AB的距离为________．
解析：不妨设A(x,23)，则(23)2＝4x. ∴x＝3，即AB的方程为x＝3.∵抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到AB的距离为2. 答案：2
6．(2009年高考福建卷)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析：∵F(p
2
，0)，∴设AB：y＝x－
p
2
，与y2＝2px联立，得x2－3px＋
p2
4
＝0.∴
x
A
＋x B＝3p.由焦半径公式x A＋x B＋p＝4p＝8，得p＝2. 答案：2
7．动直线y＝a与抛物线y2＝1
2
(x－2)相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，求
线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程． 解：设M 点的坐标为(x ，y )，由题中条件知A 点坐标为(2a 2＋2，a )，结合B (0,3a )，
得⎩⎨⎧
x ＝a 2
＋1，y ＝2a .
消去a 得轨迹C 的方程为y 2＝4(x －1)．
☆变式训练☆
1．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )
A.
π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3 D.π2
解析：由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得6sin 2
θ＝12，∴sin θ＝22，∴θ＝π4或3π
4
. 答案：B
2.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于a 2+2a+3(a ∈R)，则这样的直线（ ）
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
C.1条或2条
D.不存在 [解析]C 44)1(52||22≥++=++=++=a a a p x x AB B A ，而通径的长为4．
3.抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（ ）
A ．33
B ．34
C ．36
D ．38
[解析] C. 过A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，设),(n m A ，则
1,1-=-=+==m OF OH FH m AB AF ，32,3)1(21==∴-=+∴n m m m 四边形ABEF 的面积==⨯++32)]13(2[2
1
36
4．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ C ）
A ． y 2=－2x
B ． y 2=－4x
C ．y 2=－8x
D ．y 2=－16x
5.设O 是坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．
[解析]21.
过A 作AD x ⊥轴于D ，令FD m =，则m FA 2=即m m 22=+，解得2=m ．
)32,3(A ∴21)32(322=+=∴OA
6.已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：1)3(22=++y x 外切，求动圆圆心
M 的轨迹方程．(12分)
[解析]：设动圆圆心为M （x ，y ），半径为r ，则由题意可得M 到C （0，-3）的
距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C （0，-3）为焦点，以y =3为准线的一条抛物线，其方程为y x 122-=．
★★★模块3：抛物线的几何性质综合训练
1.（07.四川文科卷.10题）已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（ ） A.3 B.4 C.32 D.42
【分析】直线AB 必与直线x+y=0垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.
【解析】∵点A 、B 关于直线x+y=0对称，∴设直线AB 的方程为：y x m =+. 由
()22
3013
y x m
x x m y x =+⎧⇒++-=⎨=-+⎩
设方程（1）之两根为x 1，x 2，则121x x +=-. 设AB 的中点为M （x 0，y 0），则120122x x x +=
=-.代入x+y=0：y 0=12.故有11,22M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
从而1m y x =-=.直线AB 的方程为：1y x =+.方程（1）成为：220x x +-=.解得：
2,1x =-，从而1,2y =-，故得：A （-2，-1），B （1，2）.32AB ∴=，选C.
X
O
Y
A
B
M 0
l x y +=ÿ
x
y
M(x,y)
F 1(-c ,0)
F 2(c,0)
O
H
2
:a l x c
=-r 1
r 2
r 2
2.抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积（ ）
A ．4
B ．33
C ．43
D ．8
【解析】如图直线AF 的斜率为3时∠AFX=60°. △AFK 为正三角形.设准线l 交x 轴于M ，则2,FM p == 且∠KFM=60°，∴234,4434
AKF
KF S ∆==⨯=.选C. 【评注】（1）平面几何知识：边长为a 的正三角形的 面积用公式2
34
S a ∆=
计算. 3.（07.湖北卷.7题）双曲线22
122:1(00)x y C a b a b
-=>>，的左准线为l ，左焦点
和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为
M ，则
121
12
F F MF MF MF -
等于（ A ） A ．1- B ．1 C ．1
2
-
D ．12
【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧. 如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c ，离心率为e ，作 MH l H ⊥于，令
1122,MF r MF r ==.∵点M 在抛物线上， 11
12222,MF MF r MH MF r e MH MF r ∴=====故，
这就是说：
12||
||
MF MF 的实质是离心率e. 其次，121||
||
F F MF 与离心率e 有什么关系？注意到：
X
Y O F(1,0)A
K
60°
Y
2
=2px L:x=-1
M
()12121
11122111F F e r r c e a e e MF r r r e +⋅⎛⎫=
===-=- ⎪⎝⎭
. 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于
()12112||||
11||||
F F MF e e MF MF -=-+=-.∴
4．已知抛物线y 2＝4x 上两个动点B 、C 和点A (1,2)，且∠BAC ＝90°，则动直线
BC 必过定点( )
A ．(2,5)
B ．(－2,5)
C ．(5，－2)
D ．(5,2) 解析：设B (y 214，y 1)，C (y 22
4
，y 2)，BC 的中点为D (x 0，y 0)，则y 1＋y 2＝2y 0，直线BC ：
x －y 214
y 224
－y 214
＝
y －y 1
y 2－y 1
，即：4x －2y 0y ＋y 1y 2＝0 ①；又AB ·AC ＝0，∴y 1y 2＝－4y 0－20代入①式得：2(x －5)－y 0(y ＋2)＝0，则动直线BC 恒过x －5＝0与y ＋2＝0的交点(5，－2)．答案：C
5．(2011·南京调研)已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________． 解析：依题意得|MA |＋|MF |≥(|MC |－1)＋|MF |＝(|MC |＋|MF |)－1，由抛物线的定义知|MF |等于点M 到抛物线的准线x ＝－1的距离，结合图形不难得知，|MC |＋|MF |的最小值等于圆心C (4,1)到抛物线的准线x ＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4. 答案：4
6.．(2010·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．
(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ·OB 的值；
(2)如果OA ·OB ＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，
消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， ∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.
(2)设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b . 令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0)． ∴若OA ·OB ＝－4，则直线l 必过一定点．
7.已知抛物线y 2＝－x 与直线l ：y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．
(1)求证：OA ⊥OB ；
(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．
解：(1)证明：联立⎩⎨⎧
y 2
＝－x
y ＝k (x ＋1)
，消去x ，得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，则y 1＋y 2＝－1
k
，y 1·y 2＝－1.因为y 12＝－x 1，y 22＝－x 2，所以(y 1·y 2)2＝x 1·x 2.
所以x 1·x 2＝1，
所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，所以OA ⊥OB .
(2)设直线l 与x 轴的交点为N ，则N 的坐标为(－1,0)，所以S △AOB ＝1
2
|ON |·|y 1
－y 2| ＝12×|ON |×(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2＝12×1× 1k 2＋4＝10， 解得k 2＝136，所以k ＝±16.
☆变式训练☆
1.在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标
[解析]解法1：设抛物线上的点)4,(2x x P ，
点P 到直线的距离17
|544|2
+-=x x d 1717417|
4)21
(4|2≥+-=x ， 当且仅当21
=
x 时取等号，故所求的点为），（12
1 解法2：当平行于直线45y x =-且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为b x y +=4，代入抛物线方程得0442=--b x x ， 由01616=+=∆b 得21,1=
-=x b ，故所求的点为），（12
1
2..椭圆12222=+b y a x 上有一点M （-4，5
9
）在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，
抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；
（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值.
解：（1）∵122
22=+b
y a x 上的点M 在抛物线
px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. ∴c=-4，p=8……①
∵M （-4，59
）在椭圆上
∴
125811622=+b
a ……② ∵222c
b a +=……③ ∴由①②③解得：a=5、b=3
∴椭圆为
19
252
2=+y x
由p=8得抛物线为x y 162= 设椭圆焦点为F （4，0）， 由椭圆定义得|NQ|=|NF| ∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|
=5
41
)059()44(22=-+--，即为所求的最小值.
8.A 、B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求证：
(1)A 、B 两点横坐标之积，纵坐标之积分别为定值； (2)直线AB 经过一个定点．
证明：(1)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 12＝2px 1，y 22＝2px 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.
∴y 12·y 22＝4p 2x 1·x 2＝4p 2(－y 1·y 2)，∴y 1·y 2＝－4p 2. ∴x 1·x 2＝4p 2，结论成立．
(2)∵y 12－y 22＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p
y 1＋y 2
.
则直线AB 的方程为y －y 1＝2p y 1＋y 2(x －x 1)．∴y ＝2p y 1＋y 2·x －2p y 1＋y 2·y 12
2p ＋y 1
＝
2p y 1＋y 2·x ＋y 1·y 2
y 1＋y 2
. 又∵y 1·y 2＝－4p 2
，∴y ＝2p y 1＋y 2·x －4p 2
y 1＋y 2＝2p y 1＋y 2
(x －2p )，∴直线AB 过定点
(2p,0)．
9.已知抛物线D ：y 2
=4x 的焦点与椭圆Q ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点F 1重合，
且点)2
6
,
2(P 在椭圆Q 上。

（Ⅰ）求椭圆Q 的方程及其离心率；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l 过椭圆Q 的左焦点F 2，且与椭圆相交于A ，B 两点，求△ABF 1的面积。

解：（Ⅰ）由题意知，抛物线x y 42=的焦点为（1，0）
∴椭圆Q 的右焦点F 1的坐标为（1，0）。

∴122=-b a ①
又点)2
6
,
2(P 在椭圆Q 上， ∴1)
26(
)2(22
2
2
=+b a 即 12322
2=+b
a ②
由①②，解得 3,42
2
==b a ∴椭圆Q 的方程为 13
42
2=+y x ∴离心离 21
122=-==a
b a
c e
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F 2（－1，0）∴直线l 的方程为
1)1(45tan 0+=+︒=-x y x y ，即 设),(),(2211y x B y x A ，由方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=1341
2
2y x x y 消
y
整
理
，
得
7
8
,78,088721212-
=-=+∴=-+x x x x x x ∴
7
2
124)(2||2||2122121=
-+=-=x x x x x x AB 又点F 1到直线l 的距离
2)
1(1|11|2
=-++=
d ∴
7
12
2721221||211=
⋅⋅==
∆d AB S ABF。