2020届高三数学一轮复习 平面向量的基本定理及其坐标

巩固
1．(2020年高考重庆卷)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )．若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选D.∵a ＋b ＝(3,1＋x ),4b －2a ＝(6,4x －2)，a ＋b 与4b －2a 平行，则4x －2＝2(1＋x )，∴x ＝2.
2．(2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →
，则顶点D 的坐标为( )
A ．(2，72)
B ．(2，－1
2
)
C ．(3,2)
D ．(1,3)
解析：选A.设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →
＝(4,3)， 又BC →＝2AD →，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4＝2x ，3＝2(y －2)，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2，y ＝7
2
.故选A.
3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值
为( )
A ．－1
B ．－1
2
C.1
2
D ．1 解析：选B.由已知得u ＝a ＋k b ＝(1,2＋k )，v ＝2a －b ＝(2,3)，故u ∥v ⇔3－2(2＋k )
＝0⇒k ＝－1
2
.
4．(原创题)已知a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，则a ＋b 所在直线的斜率为________． 解析：a ＋b ＝(1,5)，则a ＋b 所在直线的斜率为5. 答案：5
5．(2020年高考安徽卷)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →
＝λAE →＋μAF →
，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.
解析：设AB →＝a ，AD →
＝b ，
那么AE →＝12a ＋b ，AF →
＝a ＋12b ，
又∵AC →
＝a ＋b ，
∴AC →＝23(AE →＋AF →
)，即λ＝μ＝23
，
∴λ＋μ＝4
3.
答案：43
6．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13
BA →，求点C 、D 的坐标和CD →
的坐标．
解：设点C 、D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，
由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →
＝(－3，－6)．因
为AC →＝13AB →，DA →
＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＋1＝1y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪
⎧
－1－x 2＝12－y 2＝2
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＝0y 1＝4
和
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2＝－2
y 2＝0.
所以点C 、D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →
＝(－2，－4)．
练习
1．在三角形ABC 中，已知A (2,3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG →＝2GD →
，则点C 的坐标是( )
A ．(－4,2)
B ．(－4，－2)
C ．(4，－2)
D ．(4,2)
解析：选B.设C (x ，y )，则D (8＋x 2，－4＋y 2)，再由AG →＝2GD →
，得(0，－4)＝2(4＋x 2，－2＋y 2
)，
∴4＋x ＝0，－2＋y ＝－4，即C (－4，－2)，故选B.
2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6) 解析：选D.由题知4a ＝(4，－12)， 4b －2c ＝(－6,20),2(a －c )＝(4，－2)． 由题意知：4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0， 则(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋d ＝0， 即(2,6)＋d ＝0，故d ＝(－2，－6)．
3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A (3,1)，B (－1,3)．若点C 满足OC →＝αOA →
＋βOB →
，其中α，β∈R 且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )
A ．3x ＋2y －11＝0
B ．(x －1)2＋(y －2)2
＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0
解析：选D.设OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →
＝(－1,3)， ∵OC →＝αOA →＋βOB →，
∴(x ，y )＝α(3,1)＋β(－1,3)，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3α－β，y ＝α＋3β，
又α＋β＝1，∴x ＋2y －5＝0.
4．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12
ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( )
A ．2
B ．1 C.45 D.53 解析：选A.设
C (x ，y )，则 AC →＝(x －7，y －1)，CB →
＝(1－x,4－y )，
∵AC →＝2CB →，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －7＝2(1－x )y －1＝2(4－y )
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
y ＝3
.∴C (3,3)
又∵C 在直线y ＝1
2
ax 上，
∴3＝1
2
a ·3，∴a ＝2.
5．(2020年无锡调研)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则
m n
等于( )
A ．－1
2 B ．2
C.1
2
D ．－2 解析：选A.m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，
∵m a ＋n b 与a －2b 共线，
∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0,14m ＋7n ＝0， m n ＝－1
2
.故选A. 6．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →
＝(m ＋1，m －2)，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是( )
A ．m ≠－2
B ．m ≠1
2
C ．m ≠1
D ．m ≠－1
解析：选C.由题意知AC →＝(m ，m ＋1)，BC →
＝(m －1，m －1)，因为点A ，B ，C 能构成三角
形，所以AC →≠λBC →
.
即m m －1≠λm ＋1m －1
，得m ≠1.故选C. 7．若点O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)，且OA ′→＝2OA →，OB ′→＝3OB →
，则点A ′的坐标为
________，点B ′的坐标为________，向量A ′B ′→
的坐标为________．
解析：∵O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)， ∴OA →＝(1,2)，OB →
＝(－1,3)， OA ′→＝2×(1,2)＝(2,4)，OB ′→
＝3×(－1,3)＝(－3,9)．
∴A ′(2,4)，B ′(－3,9)，A ′B ′→
＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)． 答案：(2,4) (－3,9) (－5,5) 8．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{b |b ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝________.
解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2
， 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ1＝－1λ2＝0，∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．
答案：{(－2，－2)}
9．若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且α－β＝k π(k ∈Z )，则a 与b 一定满足：①a 与b 夹角等于α－β；②|a |＝|b |；③a ∥b ；④a ⊥b .
其中正确结论的序号为________． 解析：显然①不对．
对于②：|a |＝cos 2α＋sin 2
α＝1，
|b |＝cos 2β＋sin 2
β＝1. ∴|a |＝|b |，故②正确．
对于③：∵cos α＝cos(k π＋β)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
cos β (k 为偶数)
－cos β(k 为奇数)，
sin α＝sin(k π＋β)＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
sin β (k 为偶数)－sin β(k 为奇数)，
∴a ＝(cos β，sin β)或a ＝(－cos β，－sin β)，与b 平行．故③正确． 显然④不正确． 答案：②③
10.如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)， C(2,6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标．
解：法一：设OP →＝tOB →
＝t (4,4)＝(4t,4t )， 则AP →＝OP →－OA →
＝(4t,4t )－(4,0) ＝(4t －4,4t )， AC →
＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)． 由AP →，AC →
共线的充要条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.
∴OP →
＝(4t,4t )＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．
法二：设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →
＝(4,4)． ∵OP →，OB →
共线， ∴4x －4y ＝0.① 又CP →
＝(x －2，y －6)， CA →
＝(2，－6)，
且向量CP →、CA →
共线．
∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②
解①，②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3， ∴点P 的坐标为(3,3)．
11．在平行四边形ABCD 中，AE →＝13AB →，AF →＝14
AD →，CE 与BF 相交于G 点．若AB →＝a ，AD →
＝
b ，试用a ，b 表示AG →
.
解：由于B 、G 、F 三点共线，因此可设AG →＝xAB →＋(1－x )AF →，即AG →
＝x a ＋1－x 4
b .
由于C 、G 、E 三点共线，因此可设AG →＝yAE →＋(1－y )AC →，即AG →＝y
3
a ＋(1－y )(a ＋
b )＝(1
－23y )a ＋(1－y )b .因此x a ＋1－x 4b ＝(1－23
y )a ＋(1－y )b ，又a 、b 不共线，于是得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－2
3
y
1－x 4＝1－y
，由此解得x ＝37，因此AG →＝3
7a ＋17
b .
12．已知向量u ＝(x ，y )，与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示．
(1)证明：对任意的向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立； (2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p 、q 为常数)的向量c 的坐标． 解：(1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)．
∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)． ∵mf (a )＝m (a 2,2a 2－a 1)，nf (b )＝n (b 2,2b 2－b 1)， ∴mf (a )＋nf (b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)， ∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立． (2)f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝p ，2y －x ＝q .即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2p －q ，y ＝p . ∴c ＝(2p －q ，p )．。