同济大学高等数学2.2求导法则与导数公式

3cos2 x2 (sin x2)(x2)
3cos2 x2 (sin x2) 2x 6xsin x2 cos2 x2
（2） y ln( x 1 x2 )
解： y [ln(x 1 x2 )]
1
(x 1 x2 )
x 1 x2
1 (1 1 (1 x2 )) x 1 x2 2 1 x2
例 1．求下列函数的导数
（1） y x5 x 13x cos x ；
x3
解：
y
x2
x
5 2
x
3
3x
cosx
，
y
(
x2
)
(x
5 2
)(
x3
)(3x
)co
sx
3x
(cosx)
2x
5
7
x2
3x
4
3x
ln3cosx
3x
sin
x
。
2
（2） y x3 sin x(ln x 1 )
x
解： y[x3 sin x(ln x 1 )] x
解： f (e) 2 ，
∵ f (x) 在x e 的某邻域内是严格单调增加的连续函数，
且
f
(e)
(1 x
3x2 e3
)
xe
4 e
0
，
∴ ( f 1)(2) 1 e 。 f (e) 4
例 7．（1）求 y arcsin x ，x (1, 1) 的导数。
解：∵ y arcsin x 在(1, 1) 内严格单调增加且连续，
§2.2 求导法则与导数公式
2.2.1 若干基本初等函数的导数
1.(C)0 ；
2.(x ) x1 (R) ；
3.(sinx)cosx ；
4. (cosx) sin x ；
5. (log a
x)
1 xlna
；
6.(a x ) a x lna ；
(ln x) 1 ； x
(e x ) ex 。
2.2.2 导数的四则运算法则
1.复合函数的求导法则
设 u g (x)在 x可导，y f (u) 在 u g (x) 可
导,则复合函数y f (g(x)) 在 x 亦可导，且
f (g(x)) f (u) g x f g(x) g x
或 dy dy du dx du dx
链锁法则
即复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量
∴ arccos x arcsin x ， 2
∴ (arccos x) ( ) (arcsin x) ， 2
(arccosx) 1 ，x (1, 1) 。 1 x2
(2)．求 y arctan x ，x (, ) 的导数。
解：∵ y arctan x 在(, ) 内严格单调增加且连续，
的导数乘以中间变量对自变量的导数。
例 1.求下列函数的导数:
（1） y arctan x 1 x 1
解： y arctan x 1 由y arctan u ， u x 1 1 2
x 1
x 1 x 1
复合而成。
dy dx
dy du
du dx
1 1 u
2
2 (x 1)2
1
(
1 x 1)2
(
∴ x sin y 在( , ) 内也严格单调增加且连续， 22
又当 y ( , 2
2
)
时，
xy
cos y 0 ，
∴ yx
1 xy
1 cos
y
1
1 sin 2 y
1， 1 x2
即 (arcsinx) 1 ，x (1, 1) 。 1 x2
∵ arcsin x arccos x ，x (1, 1) ， 2
例 3. y shx, 求 y
解: y (shx) ( ex ex ) ex ex chx
2
2
类似地可得
chx shx ,
thx
1 ch 2 x
,
cth x
1 sh 2 x
例 4.y x(x 1)(x 2) (x 2012),求 y0 .
解: y (x 1)(x 2) (x 2012)
（11）(sec x) sec x tan x ；（12）(csc x) csc x cot x ；
（13）(arcsinx)
1 ；（14）(arccosx) 1 x2
1； 1 x2
（15）(arctanx) 1 1 x2
； （16）(arccot x) 1 1 x2
。
2.2.4 复合函数的导数
例如： y f (u) ，u g(v) ，v k(x) 复合成函数
y f {g[k(x)]}，且 dy , du , dv 都存在，则 du dv dx
dy dy du dv 。 dx du dv dx
或写成 yx yu uv vx 。
例 2．求下列函数的导数 （1） y cos 3 x 2 解： dy (cos 3 x2 ) 3cos 2 x2 (cos x2 ) dx
3 2x 1(x 2)4 (3) y
(3 x)25 (1 2x)4
解 (1) y xcos x ecos xln x
y (x cos x ) ecos x ln x (cosx ln x) ecos x ln x ( ln x sin x cos x ) x
( f (x)g(x) ) (eg(x)ln f (x) ) eg(x)ln f (x) (g(x) ln f (x)) eg(x)ln f (x)[g(x) ln f (x) g(x) f (x)] f (x)
x
1 ( 1 )2 x
x
arcsin 1 x 1 1 [sin(lnx)] 1
x
1 ( 1 )2 2 x3
x
x
arcsin 1 1 1 sin(lnx) x 2 x 1 x
（4） y [ f (sin 1)]2 ，其中f (x) 可导，求dy 。
x
dx
解： dy d [ f (sin 1 )]2 2 f (sin 1 ) [ f (sin 1 )]
2 x 1)2
1 x2
. 1
x 1
（2）y ln x ，
解：当x 0 时， y ln x ，dy 1 ； dx x
当x 0 时， y ln(x) 可看成由 y ln u ，u x 复合而成，
dy 1 (1) 1 (1) 1 ；
dx u
x
x
∴(ln x ) 1 。 x
链锁法则可以推广到有限个中间变量的情形。
∴ x tan y 在( , ) 内也严格单调增加且连续。 22
又当 y ( , 2
2
)
时，
xy
sec 2
y0
，
∴ yx
1 xy
1 sec2
y
1
t
1 an2
y
1
1 x
2
，即
(arct anx)
1
1 x2
， x (,
)
。
类似地可得：
(arc
co
t
x)
1
1 x
2
，x (,
)
。
2.基本初等函数和常数的求导公式
3
5
y 2 4 2 8
y 3(2x 1) x 2 3 x 5(1 2x)
y 3 2x 1(x 2)4 [ 2 4 2 8 ] (3 x)2 5 (1 2x)4 3(2x 1) x 2 3 x 5(1 2x)
2.2.5 参数方程所确定的函数的导数
{ 设参数方程
x (t ) y (t)
x(x 2) (x 2012)
x(x 1)(x 3) (x 2012)
x(x 1) (x 2011)
故 y0 1 2 2012 0 0 0 2012!.
例
5．设
f
(
x)
1e2x
x
2
,
,x 0, x 0.
求f (x) 。
解：当 x 0 时， f (x) (1e2x )[(e2)x ]
f1( x)
f2 (x)
f
n
(
x)
；
② [C1 f1(x)C2 f 2 (x)Cn f n (x)]
C1
f1(
x)
C2
f
2
(
x)
Cn
f
n
(
x)
；
③ [( f1(x) f2 (x) fn (x)]
f1(x) f 2 (x) f n (x) f1(x) f2 (x) fn (x)
f1(x) f2 (x) fn (x) 。
确定 了 y 与 x 之间的函数
dx dx
x
x
x
2 f (sin 1 ) f (sin 1 ) (sin 1 )
x
x
x
2 f (sin 1 ) f (sin 1 ) cos 1 (1 )
x
x xx
2 x2
f
(sin
1) x
f
(sin
1 ) cos 1 xx
.
例3. 求下列函数的导数:
(1)
y xcosx
(2)
5 e2x7x4 y ln (1 x2)2(2x 1)7
定理 2 设定义在区间 I 内的严格单调连续函数
x f (y) 在点 y 处可导，且 f ( y ) 0 ，则它的反函数
y f 1(x) 在对应点 x f ( y ) 处也可导，且
( f 1)(x
)
1 f ( y
).
例 6．已知 f 由y f (x) ln x ( x )3 所定义，求( f 1)(2) 。 e
例 2. y tanx , 求 y .
解: y tan x sin x
cos x
sin x cosx cosx sin x 1 sec2 x
cos2 x
cos2 x
类似地可得
cot x csc 2 x , sec x sec x tan x ,
csc x csc x cot x .
∵
f
(0)
lim
x0
f (x) f (0) lim 1e2x 0 2 ，
x0
x0 x0
f
(0)
lim
x0
f (x) f (0) lim
x0
x0
x2 0 0 ， x0
∴ f (x) 在点x0 不可导。
故
f
(x)
2e2x
,
x
0,
2x, x 0.
2.2.3反函数的导数 1.反函数求导法则
(2)
y
ln
(1
5 e2x7x4 x2 )2 (2x 1)7
对数求导法
1 (2x 7 4ln x ) 2ln(1 x2 ) 7 ln 2x 1
5
y
1 (2 5
4 x
)
1
4
x x
2
14 2x 1
(3) ln y 1 ln 2x 1 4 ln x 2 2 ln 3 x 4 ln1 2x
定理 2 : 设函数 u(x),v(x) 在点 x 处可导,则函数
u(x) v(x), u(x) v(x), u(x) v(x) 0
v(x)
在点 x处也可导,且
(1) u(x) v(x) u(x) v(x)
(2) u(x) v(x) u(x) v(x) u(x) v(x)
cu ( x) cu( x)
(3)
u(x)
v(
x)
u( x)
v(x) u(x) v(x) v2 (x)
只 证证明公：式令（y2）u。(x) v(x) ，则
y lim y x0 x
u(x x) v(x x) u(x)v(x)
lim
x0
x
u(x x) v(x x) u(x) v(x x)
lim[
1 (1 x ) 1 .
x 1 x2
1 x2 1 x2
（3） y x arcsin 1 cos(lnx) x
解： y [x arcsin 1 cos(lnx)] [x arcsin 1 ] [cos(lnx)]
x
x
arcsin 1 x 1 ( 1 ) [sin(lnx)] (ln x)
x0
x
u(x) v(x x) u(x) v(x)] x
lim[u(x x) u(x) v(x x)]
x0
x
lim[u(x) v(x x) v(x)]
x0
x
u'(x) v(x) u(x) v'(x)
注: 和与积的导数公式可以推广到任意有限多个函数
① [ f1(x) f2 (x) f n (x)]
（1）(c) 0 ；
（2）(x) x1 ；
（3）(ax ) ax ln a ； （4）(ex ) ex ；
（5）(log a
x)
1 x ln a
；
（7）(sin x) cos x ；
（6）(ln x) 1 ； x
（8）(cos x) sin x ；
（9）(tanx) sec2 x ； （10）(cotx) csc2 x ；
(x3)sin x(ln x 1 ) x3(sin x)(ln x 1 ) x3sin x(ln x 1 )
x
x
x
3x2
sin
x(lnx
1 x
)
x3
cosx(lnx
1 x
ห้องสมุดไป่ตู้
)
x3sin
x(
1 x
1 x2
)
3x2sin x(ln x 1 ) x3cos x(ln x 1 )(x x2)sin x.
x
x
（3） y ln x5 . x
e2x lne2 2e2x ，
当 x 0 时， f (x)(x2)2x ，
当 x0 时，∵ f (00) f (00) f (0) 0 ， ∴ f (x) 在点x0 连续。
续上
例
5．设
f
(x)
1e2x
x
2
,
,x 0, x 0.
求f (x) 。
当 x 0 时， f (x) 2e2x ，当 x 0 时，f (x) 2x ，