偏心变化对高层建筑结构平扭周期比的影响
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《高规》[1 ]对平扭周期比 (第 1 扭转周期与第 1 平动周期之比) 的规定具有开创意义 ,通过限制平扭周期 比保障结构扭转刚度不致过小的设计理念在国内已被广泛接受 。但《建筑抗震设计规范》[2 ] 、美国 IBC[3 ] 、美 国 N EHRP[4 ] 、欧洲 EC8[5 ]等国内外规范并没有关于平扭周期比的规定 ,有文献对结构扭转反应与平扭周期 比之间的关系进行了研究 ,但未针对结构布置不同 、偏心率不同的情况进行分析[628 ] ,为探讨平扭周期比控 制扭转反应的有效性 ,作者对结构偏心率 (涵盖刚度偏心 、质量偏心) 对平扭周期比的影响进行研究 。
第 32 卷 第 12 期 2010 年 6 月
武 汉 理 工 大 学 学 报
JOURNAL OF WUHAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
DO I :10. 3963/ j. issn. 167124431. 2010. 12. 014
Vol. 32 No. 12 J un. 2010
度矩阵 、质量矩阵 、位移向量分别表示为
Kx
0
Kx ·ey
m00
u
K= 0
Ky
Ky ·ex
M = 0 m 0 X = v
(3)
Kx ·ey Ky ·ex Kt + Kx ·ey 2 + Ky ·ex 2
0 0J
θ
不考虑扭转耦连时 ,结构振动的特征值和特征周期分别为
λx = Kx / m λy = Ky/ m λt = Kt/ J
第 32 卷 第 12 期 刘建伟 ,李英民 :偏心变化对高层建筑结构平扭周期比的影响 57
平扭周期比 、第 1 振型扭转因子等振动特征的变化规律。 2. 1 对称结构
沿两主轴对称的结构扭转振型与平动振型不耦连 , 各振型为纯平动振型和纯扭转振型 , 当 Kx > Ky 时 , 结构第 1 振型为 Y 向平动振型 。
L I U Jian2w ei , L I Y i ng2m i n
(School of Civil Engineering , Chongqing University , Chongqing 400045 ,China)
Abstract : Tortionally coupled period ratio is one of t he important factors for torsional control of tall building in china , which proposed by Technical Specification for Concrete Structures of Tall Building. In order to estimate t he rationality of torsional con2 trol met hod for different structures , simple calculation met hod of vibration characteristics including tortionally coupled period ra2 tio and torsional factor of t he vibration mode were deducted in t his article. Thereby t he influence factors and variety rules of vi2 bration characteristics were gained. It was observed t hat stiffness eccentricity would influence t he period ratio. If stiffness eccen2 tricity is great enough t he direction of first vibration mode would be changed. Tortional irregularity caused by stiffness eccentric2 ity usually can’t reflected by period ratio. For some structures , period ratio would decrease while stiffness eccentricity increases. Key words : tall building ; coupling of translational and torsional vibration ; period ratio ; torsional factor of vibration
对大小 ,而《高规》[1 ]采用的耦连周期比不仅与抗扭刚度 、抗侧刚度的大小相关 ,也与结构偏心率大小有关[9 ] (无特别说明时下文所述周期比均为耦连周期比) 。
1 平扭周期比计算方法
为便于结构设计人员把握偏心率不同时平扭周期比的实际控制效果 ,参考文献[7 ]将高层建筑结构凝聚
为 3 个自由度的简单体系进行分析 ,得到了高层建筑平扭耦连振动特征简化计算方法 , 给出了平扭周期比 、
表 1 典型结构算例
结构 参数
平扭刚度比
Kx / Kt
Ky/ Kt
X 向偏心 ex/ r
Y 向偏心 ey/ r
ex/ r
双向偏心
ey/ r
系列 1
0. 9
0. 6
系列 2
0. 9
0. 8
0 ,0. 1 ,0. 2 ,0. 3 ,
0 ,0. 1 ,0. 2 ,0. 3 ,
0 ,0. 1 ,0. 2 ,0. 3 ,
Dyi = mλ2ye2x λx - λi 2/ D
i = 1 ,2 ,3
(10)
Dθi = J λx - λi 2 λy - λi 2/ D 其中 , D = mλ2xe2y λy - λi 2 + mλ2ye2x λx - λi 2 + J λx - λi 2 λy - λi 2 。
文中分析过程中 ,首先通过式 (10) 判定各振型的振动方向 , 再通过式 (8) 确定 X 向平动振型 、Y 向平动
建筑结构非耦连振型为纯平动或纯扭转振型 ,相应的非耦连周期比可以反映抗侧刚度与抗扭刚度的相
收稿日期 :2010201209. 基金项目 :重庆市建委项目. 作者简介 :刘建伟 (19802) ,男 ,博士生. E2mail :ljwsdcq @126. com
5 6 武 汉 理 工 大 学 学 报 2010 年 6 月
质量惯性矩 ,则 x 方向平动因子 D xi 、y 方向平动因子 Dyi 、扭转因子 Dθi可分别表示为[10 ]
n
n
n
∑ ∑ ∑ Dxi =
m
j
x
2 ji
D yi
=
m
j
y
2 ji
Dθi
=
Jθj 2ji
(1)
j =1j =1来自j =1式 (1) 满足
D xi + Dyi + Dθi = 1
(2)
结构的振动方向 ;某些情况下平扭周期比数值大小与结构规则程度并不相符 ,偏心率增加时平扭周期比反而减小 。
关键词 : 高层建筑 ; 平扭耦连 ; 平扭周期比 ; 振型扭转因子
中图分类号 : TU 973
文献标识码 : A
文章编号 :167124431 (2010) 1220055206
Response of Translational2tortional Period Ratio of Tall Building Structures While Eccentricity Changed
如图 1 所示 ,竖向规则的高层建筑结构符合刚性楼板假定 , O 和 C 分别为
楼层的质心和刚心 , ex 、ey 分别是结构沿 x 向和 y 向的偏心距 , 结构质量为 m , 质量回转半径为 r ,转动惯量 J = m r2 。侧向刚度分别为 Kx = Kx1 + Kx2 , Ky = Ky1 + Ky2 ,扭转刚度为 Kt 。仅保留结构顶部的 3 个自由度 u 、v 、θ,则结构的刚
特征主要与 Ky 、Kt 相对大小有关 。当 Ky < Kt 时 , 结构第 1 振型以 Y 向平动为主 , 随着偏心率的增加 , Y 向平动周期变长 ,扭转周期变短 ,平扭周期比减小 ,第 1 振型扭转因子增加 ; 当 Ky > Kt 时 , 结构第 1 振型以 扭转为主 ,随着偏心率的增加 ,扭转周期增大 ,平动周期减小 ,平扭周期比增加 ,第 1 振型扭转因子逐渐减小 , 当第 1 振型扭转因子减至 0. 5 以下 ,即第 1 振型变为以平动为主的振型后 ,平扭周期比骤减 ,如图 3 所示 。
第 1 振型扭转因子与平动因子的变化规律。
对于某一振型 ,平动因子大于 0. 5 时称为平动振型 , 扭转因子大于 0. 5 时称为扭转振型 。假定 x ji 、yji 、 θji分别为空间结构正则化振型向量空间中第 j 质点 i 振型的位移分量 , m j 、J j 分别为第 j 质点的集中质量和
系列 3
1. 2
0. 8
0. 4 ,0. 5 ,0. 6
0. 4 ,0. 5 ,0. 6
0. 4 ,0. 5 ,0. 6
系列 4
1. 2
1. 1
0 ,0. 2 ,0. 4
2. 2 单向偏心结构 沿强轴 ( X 向) 偏心的结构 (图 2 (a) ) , X 向振型为纯平动振型 , Y 向平动振型与扭转振型耦连 ,结构振动
沿弱轴 ( Y 向) 偏心的结构 (图 2 ( b) ) , Y 向振型为纯平动振型 , X 向平动振型与扭转振型耦连 , Kx 、Ky 相近时 ,偏心较大情况下可能出现 T x > Ty 的情况 ,此时结构第 1 平动振型以 X 向平动为主 , 因此沿弱轴偏 心的结构其振动特征与 Kx 、Ky 、Kt 三者相对大小有关 。对于系列 1 、系列 2 各结构 , Ky < Kx < Kt ,第 1 振型 为 Y 向平动振型 ,偏心率增大时 ,第 1 周期不变 ,扭转周期减小 ,因而扭转周期比减小 。对于系列 3 各结构 , Ky < Kt < Kx , e/ r ≤0. 5 时 ,第 1 振型也是 Y 向平动振型 ,第 2 振型为扭转振型 ,偏心率增加时 ,第 1 平动周 期不变 ,扭转周期增加 ,平扭周期比增大 ; e/ r = 0. 6 时 , 第 1 振型变为 X 向平动振型 , 第 3 振型变为扭转振 型 ,此时结构平扭周期比数值较小 。对于系列 4 各结构 , Kt < Ky < Kx ,第 1 振型为扭转振型 , 第 2 振型为 Y 向平动振型 ,偏心率增加时 ,第 1 平动周期不变 ,扭转周期增大 , 平扭周期比增大 , e/ r = 0. 6 时 , 第 1 振型变 为 X 向平动振型 ,平扭周期比数值下降很多 。
振型 、扭 转 振 型 的 特 征 周 期 T x 、Ty 、Tt , 最 后 得 到 结 构 的 平 扭 周 期 比 可 表 示 为 Tt/ Tl , 其 中 Tl = max T x Ty ,为第 1 平动周期 。
2 偏心变化对结构振动特征的影响
表 1 所述结构 Kx > Ky ,即非耦连周期 T′x < T′y ,同一系列结构刚度比相同 , 偏心方向或偏心率不同 (偏 心率大小以偏心距与质量回转半径的比值 e/ r 表示) , 以此为例 , 研究偏心形式和偏心率不同时 , 建筑结构
Ti = 2π 1/ λi i = 1 ,2 ,3
(8)
φi = λxey λy - λi , λyex λx - λi , - λx - λi λy - λi T i = 1 , 2 , 3
(9)
将式 (9) 代入式 (1) 即可求得各振型的平动因子和扭转因子 ,即 D xi = mλ2xe2y λy - λi 2/ D
(4)
T′x = 2π 1/ λx T′y = 2π 1/ λy T′t = 2π 1/ λt
(5)
考虑平扭耦连时 ,结构体系自由振动方程
¨
M X + KX = 0
(6)
特征方程
KX - λM X = 0
(7)
由式 (7) 可求得体系特征值 λ1 、λ2 、λ3 及相应的特征周期和振型 ,即
仅保留结构顶部的3个自由度uv则结构的刚度矩阵质量矩阵位移向量分别表示为kxk0kx?eyky?ex0kykx?eyky?exktkx?ey2ky?ex2mm0m00j000xuv3不考虑扭转耦连时结构振动的特征值和特征周期分别为xkxmykymtktj1xt4tx2y21ytt21t5考虑平扭耦连时结构体系自由振动方程mxkx067特征方程由式7可求得体系特征值123及相应的特征周期和振型即kxmx0ti21ii1238ixeyyiyexxixiyiti1239将式9代入式1即可求得各振型的平动因子和扭转因子即dxim2dyim2xe2yyi2d2dye2xxi2dij2m2xiyi2di12310其中dm2文中分析过程中首先通过式10判定各振型的振动方向再通过式8确定x向平动振型y向平动振型扭转振型的特征周期txtytt最后得到结构的平扭周期比可表示为tttl其中tlmaxtxty为第1平动周期
偏心变化对高层建筑结构平扭周期比的影响
刘建伟 ,李英民
(重庆大学土木工程学院 ,重庆 400045)
摘 要 : 为明确偏心率不同时平扭周期比的实际控制效果 ,给出了高层建筑结构平扭周期比 、振型扭转因子的简化计
算方法 ,进而对其影响因素和变化规律进行了分析 。结果显示 ,偏心率变化会影响建筑结构的振动特征 ,甚至可能改变
《高规》[1 ]对平扭周期比 (第 1 扭转周期与第 1 平动周期之比) 的规定具有开创意义 ,通过限制平扭周期 比保障结构扭转刚度不致过小的设计理念在国内已被广泛接受 。但《建筑抗震设计规范》[2 ] 、美国 IBC[3 ] 、美 国 N EHRP[4 ] 、欧洲 EC8[5 ]等国内外规范并没有关于平扭周期比的规定 ,有文献对结构扭转反应与平扭周期 比之间的关系进行了研究 ,但未针对结构布置不同 、偏心率不同的情况进行分析[628 ] ,为探讨平扭周期比控 制扭转反应的有效性 ,作者对结构偏心率 (涵盖刚度偏心 、质量偏心) 对平扭周期比的影响进行研究 。
第 32 卷 第 12 期 2010 年 6 月
武 汉 理 工 大 学 学 报
JOURNAL OF WUHAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
DO I :10. 3963/ j. issn. 167124431. 2010. 12. 014
Vol. 32 No. 12 J un. 2010
度矩阵 、质量矩阵 、位移向量分别表示为
Kx
0
Kx ·ey
m00
u
K= 0
Ky
Ky ·ex
M = 0 m 0 X = v
(3)
Kx ·ey Ky ·ex Kt + Kx ·ey 2 + Ky ·ex 2
0 0J
θ
不考虑扭转耦连时 ,结构振动的特征值和特征周期分别为
λx = Kx / m λy = Ky/ m λt = Kt/ J
第 32 卷 第 12 期 刘建伟 ,李英民 :偏心变化对高层建筑结构平扭周期比的影响 57
平扭周期比 、第 1 振型扭转因子等振动特征的变化规律。 2. 1 对称结构
沿两主轴对称的结构扭转振型与平动振型不耦连 , 各振型为纯平动振型和纯扭转振型 , 当 Kx > Ky 时 , 结构第 1 振型为 Y 向平动振型 。
L I U Jian2w ei , L I Y i ng2m i n
(School of Civil Engineering , Chongqing University , Chongqing 400045 ,China)
Abstract : Tortionally coupled period ratio is one of t he important factors for torsional control of tall building in china , which proposed by Technical Specification for Concrete Structures of Tall Building. In order to estimate t he rationality of torsional con2 trol met hod for different structures , simple calculation met hod of vibration characteristics including tortionally coupled period ra2 tio and torsional factor of t he vibration mode were deducted in t his article. Thereby t he influence factors and variety rules of vi2 bration characteristics were gained. It was observed t hat stiffness eccentricity would influence t he period ratio. If stiffness eccen2 tricity is great enough t he direction of first vibration mode would be changed. Tortional irregularity caused by stiffness eccentric2 ity usually can’t reflected by period ratio. For some structures , period ratio would decrease while stiffness eccentricity increases. Key words : tall building ; coupling of translational and torsional vibration ; period ratio ; torsional factor of vibration
对大小 ,而《高规》[1 ]采用的耦连周期比不仅与抗扭刚度 、抗侧刚度的大小相关 ,也与结构偏心率大小有关[9 ] (无特别说明时下文所述周期比均为耦连周期比) 。
1 平扭周期比计算方法
为便于结构设计人员把握偏心率不同时平扭周期比的实际控制效果 ,参考文献[7 ]将高层建筑结构凝聚
为 3 个自由度的简单体系进行分析 ,得到了高层建筑平扭耦连振动特征简化计算方法 , 给出了平扭周期比 、
表 1 典型结构算例
结构 参数
平扭刚度比
Kx / Kt
Ky/ Kt
X 向偏心 ex/ r
Y 向偏心 ey/ r
ex/ r
双向偏心
ey/ r
系列 1
0. 9
0. 6
系列 2
0. 9
0. 8
0 ,0. 1 ,0. 2 ,0. 3 ,
0 ,0. 1 ,0. 2 ,0. 3 ,
0 ,0. 1 ,0. 2 ,0. 3 ,
Dyi = mλ2ye2x λx - λi 2/ D
i = 1 ,2 ,3
(10)
Dθi = J λx - λi 2 λy - λi 2/ D 其中 , D = mλ2xe2y λy - λi 2 + mλ2ye2x λx - λi 2 + J λx - λi 2 λy - λi 2 。
文中分析过程中 ,首先通过式 (10) 判定各振型的振动方向 , 再通过式 (8) 确定 X 向平动振型 、Y 向平动
建筑结构非耦连振型为纯平动或纯扭转振型 ,相应的非耦连周期比可以反映抗侧刚度与抗扭刚度的相
收稿日期 :2010201209. 基金项目 :重庆市建委项目. 作者简介 :刘建伟 (19802) ,男 ,博士生. E2mail :ljwsdcq @126. com
5 6 武 汉 理 工 大 学 学 报 2010 年 6 月
质量惯性矩 ,则 x 方向平动因子 D xi 、y 方向平动因子 Dyi 、扭转因子 Dθi可分别表示为[10 ]
n
n
n
∑ ∑ ∑ Dxi =
m
j
x
2 ji
D yi
=
m
j
y
2 ji
Dθi
=
Jθj 2ji
(1)
j =1j =1来自j =1式 (1) 满足
D xi + Dyi + Dθi = 1
(2)
结构的振动方向 ;某些情况下平扭周期比数值大小与结构规则程度并不相符 ,偏心率增加时平扭周期比反而减小 。
关键词 : 高层建筑 ; 平扭耦连 ; 平扭周期比 ; 振型扭转因子
中图分类号 : TU 973
文献标识码 : A
文章编号 :167124431 (2010) 1220055206
Response of Translational2tortional Period Ratio of Tall Building Structures While Eccentricity Changed
如图 1 所示 ,竖向规则的高层建筑结构符合刚性楼板假定 , O 和 C 分别为
楼层的质心和刚心 , ex 、ey 分别是结构沿 x 向和 y 向的偏心距 , 结构质量为 m , 质量回转半径为 r ,转动惯量 J = m r2 。侧向刚度分别为 Kx = Kx1 + Kx2 , Ky = Ky1 + Ky2 ,扭转刚度为 Kt 。仅保留结构顶部的 3 个自由度 u 、v 、θ,则结构的刚
特征主要与 Ky 、Kt 相对大小有关 。当 Ky < Kt 时 , 结构第 1 振型以 Y 向平动为主 , 随着偏心率的增加 , Y 向平动周期变长 ,扭转周期变短 ,平扭周期比减小 ,第 1 振型扭转因子增加 ; 当 Ky > Kt 时 , 结构第 1 振型以 扭转为主 ,随着偏心率的增加 ,扭转周期增大 ,平动周期减小 ,平扭周期比增加 ,第 1 振型扭转因子逐渐减小 , 当第 1 振型扭转因子减至 0. 5 以下 ,即第 1 振型变为以平动为主的振型后 ,平扭周期比骤减 ,如图 3 所示 。
第 1 振型扭转因子与平动因子的变化规律。
对于某一振型 ,平动因子大于 0. 5 时称为平动振型 , 扭转因子大于 0. 5 时称为扭转振型 。假定 x ji 、yji 、 θji分别为空间结构正则化振型向量空间中第 j 质点 i 振型的位移分量 , m j 、J j 分别为第 j 质点的集中质量和
系列 3
1. 2
0. 8
0. 4 ,0. 5 ,0. 6
0. 4 ,0. 5 ,0. 6
0. 4 ,0. 5 ,0. 6
系列 4
1. 2
1. 1
0 ,0. 2 ,0. 4
2. 2 单向偏心结构 沿强轴 ( X 向) 偏心的结构 (图 2 (a) ) , X 向振型为纯平动振型 , Y 向平动振型与扭转振型耦连 ,结构振动
沿弱轴 ( Y 向) 偏心的结构 (图 2 ( b) ) , Y 向振型为纯平动振型 , X 向平动振型与扭转振型耦连 , Kx 、Ky 相近时 ,偏心较大情况下可能出现 T x > Ty 的情况 ,此时结构第 1 平动振型以 X 向平动为主 , 因此沿弱轴偏 心的结构其振动特征与 Kx 、Ky 、Kt 三者相对大小有关 。对于系列 1 、系列 2 各结构 , Ky < Kx < Kt ,第 1 振型 为 Y 向平动振型 ,偏心率增大时 ,第 1 周期不变 ,扭转周期减小 ,因而扭转周期比减小 。对于系列 3 各结构 , Ky < Kt < Kx , e/ r ≤0. 5 时 ,第 1 振型也是 Y 向平动振型 ,第 2 振型为扭转振型 ,偏心率增加时 ,第 1 平动周 期不变 ,扭转周期增加 ,平扭周期比增大 ; e/ r = 0. 6 时 , 第 1 振型变为 X 向平动振型 , 第 3 振型变为扭转振 型 ,此时结构平扭周期比数值较小 。对于系列 4 各结构 , Kt < Ky < Kx ,第 1 振型为扭转振型 , 第 2 振型为 Y 向平动振型 ,偏心率增加时 ,第 1 平动周期不变 ,扭转周期增大 , 平扭周期比增大 , e/ r = 0. 6 时 , 第 1 振型变 为 X 向平动振型 ,平扭周期比数值下降很多 。
振型 、扭 转 振 型 的 特 征 周 期 T x 、Ty 、Tt , 最 后 得 到 结 构 的 平 扭 周 期 比 可 表 示 为 Tt/ Tl , 其 中 Tl = max T x Ty ,为第 1 平动周期 。
2 偏心变化对结构振动特征的影响
表 1 所述结构 Kx > Ky ,即非耦连周期 T′x < T′y ,同一系列结构刚度比相同 , 偏心方向或偏心率不同 (偏 心率大小以偏心距与质量回转半径的比值 e/ r 表示) , 以此为例 , 研究偏心形式和偏心率不同时 , 建筑结构
Ti = 2π 1/ λi i = 1 ,2 ,3
(8)
φi = λxey λy - λi , λyex λx - λi , - λx - λi λy - λi T i = 1 , 2 , 3
(9)
将式 (9) 代入式 (1) 即可求得各振型的平动因子和扭转因子 ,即 D xi = mλ2xe2y λy - λi 2/ D
(4)
T′x = 2π 1/ λx T′y = 2π 1/ λy T′t = 2π 1/ λt
(5)
考虑平扭耦连时 ,结构体系自由振动方程
¨
M X + KX = 0
(6)
特征方程
KX - λM X = 0
(7)
由式 (7) 可求得体系特征值 λ1 、λ2 、λ3 及相应的特征周期和振型 ,即
仅保留结构顶部的3个自由度uv则结构的刚度矩阵质量矩阵位移向量分别表示为kxk0kx?eyky?ex0kykx?eyky?exktkx?ey2ky?ex2mm0m00j000xuv3不考虑扭转耦连时结构振动的特征值和特征周期分别为xkxmykymtktj1xt4tx2y21ytt21t5考虑平扭耦连时结构体系自由振动方程mxkx067特征方程由式7可求得体系特征值123及相应的特征周期和振型即kxmx0ti21ii1238ixeyyiyexxixiyiti1239将式9代入式1即可求得各振型的平动因子和扭转因子即dxim2dyim2xe2yyi2d2dye2xxi2dij2m2xiyi2di12310其中dm2文中分析过程中首先通过式10判定各振型的振动方向再通过式8确定x向平动振型y向平动振型扭转振型的特征周期txtytt最后得到结构的平扭周期比可表示为tttl其中tlmaxtxty为第1平动周期
偏心变化对高层建筑结构平扭周期比的影响
刘建伟 ,李英民
(重庆大学土木工程学院 ,重庆 400045)
摘 要 : 为明确偏心率不同时平扭周期比的实际控制效果 ,给出了高层建筑结构平扭周期比 、振型扭转因子的简化计
算方法 ,进而对其影响因素和变化规律进行了分析 。结果显示 ,偏心率变化会影响建筑结构的振动特征 ,甚至可能改变