江西省南昌市第二中学2018-2019学年高二上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

南昌二中2018—2019学年度上学期第三次月考
高二数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.曲线的极坐标方程化为直角坐标为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
此题考查极坐标方程的知识
答案B
点评：通过极坐标的公式就可以直接转化
2.曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为（）
A. 1
B. 2
C. e
D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由曲线的解析式，求出导函数，然后把切点的横坐标x=0代入，求出对应的导函数的函数值即为切线方程的斜率．
解：由y=e x，得到y′=e x，
把x=0代入得：y′（0）=e0=1，
则曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为1．
故选A．
考点：直线的斜率；导数的几何意义．
3.下列结论错误
．．的是（）
A. 若“且”与“或”均为假命题，则真假.
B. 命题“存在”的否定是“对任意”
C. “”是“”的充分不必要条件.
D. “若则a<b”的逆命题为真.
【答案】D
【解析】
【分析】
A、对于简单命题p、q，p、q有一个假p∧q假，p、q有一个真p∨q真；
B、特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题；
C、p⇒q且q推不出p，则p是q的充分不必要条件；
D、写出逆命题，由条件不能得结论，只要一个反例就可．
【详解】∵或为假命题，∴¬p和q都是假的，即p真q假，p∧q为假命题也成立，∴A正确；
∵特称命题的否定是全称命题，∴B正确；
∵x＝1时，x2﹣3x+2＝0成立，x2﹣3x+2＝0时，x＝1不一定成立，x＝2也可，∴x＝1是x2﹣3x+2＝0”充分不必要条件，∴C正确；
逆命题为：若a＜b，则am2＜bm2，当m＝0时，此命题不成立，∴D错误．
故选：D．
【点睛】此题考查了复合命题的真假，复合命题的真假与构成的简单命题真假相关，有真值表一定要记住；特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，两种命题的一般形式，都需要记清，本题属于基础题．
4.如果椭圆上一点到它的右焦点距离是6,那么点到它的左焦点的距离是（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|＝2a，求出结果即可．
【详解】∵椭圆，
∴当椭圆上的点P到它的右焦点距离是6时，
点P到它的左焦点的距离是2a﹣6＝2×4﹣6＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了椭圆的定义及标准方程的应用问题，是基础题目．
5.函数在的图像大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．
【详解】∵f（x）=y=2x2-e|x|，∴f（-x）=2（-x）2-e|-x|=2x2-e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8-e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2-e x，∴f′（x）=4x-e x=0有解，故函数y=2x2-e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．
6.函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A. 0≤a<1
B. －1<a<1
C. 0<a<
D. 0<a<1
【答案】D
【解析】
【分析】
对f（x）求导，然后对a分a≤0和a>0两种情况讨论函数的单调性，由单调性确定函数的最值.
【详解】＝3x2－3a＝3(x2－a),
当a≤0时，＞0，
∴f (x)在(0，1)内单调递增，无最小值.
当a＞0时，＝3(x－)(x＋),
当x＞，f（x）为增函数，当0＜x＜时，f（x）为减函数，
∴f（x）在x＝处取得最小值，
∴＜1，即0＜a＜1时，f (x)在(0，1)内有最小值.
故选：D．
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,进而研究函数最值，属于常考题型.
7.等比数列中，，，函数，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
8.已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．
【详解】双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，
∴k l，
∴直线l的方程为y（x﹣c），
与y＝±x联立，可得y或y，
∵，
∴2•，
∴a b，
∴c＝2b，
∴e．
故选B．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．
9.已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点．若恰好将线段三等分，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：依题意可得椭圆的焦点坐标为，以的长轴为直径的圆的圆心为原点半径长为，则圆方程
为。

双曲线的渐近线方程为，即。

不妨设直线与圆相交于点
，直线与椭圆交与点，则有。

联立可得
，解得，所以，解得（舍）或，则
，故选D．
考点：1椭圆的简单性质；2．圆锥曲线的综合．
【思路点睛】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为，根据对称性易知为圆的直径且，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程；设与在第一象限的交点的坐标为，代入的方程得：
；对称性知直线被截得的弦长为，根据C1恰好将线段AB三等分得：，从而
可解出的值，故可得结论．
10.已知函数，若对，使得，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得，进而得到对恒成立，然后转化为在上恒成立，利用分离参数的方法求解即可．
【详解】∵，
∴，
由题意得在上恒成立，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
而在上单调递增，
∴，
∴，
∴实数m的取值范围为．
故选B．
【点睛】解决恒成立问题的常用方法是分离参数法，即如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min．
11.已知函数，则“b > 2a”是“f (－2) < 0”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用f（1）＝0得a，b，c的关系，将“”用a，b表示，根据充要条件的定义判断得出结论.
【详解】∵f（1）＝0∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b，
∵⇔4a﹣2b+c＜0⇔3a﹣3b＜0⇔a﹣b＜0⇔b＞a
∵a＞0∴2a＞a
∴b＞2a⇒b＞a
即b＞2a⇒＜0
但b＞a成立推不出b＞2a，
所以“b＞2a”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”，“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
12.设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（）
A. [-，1）
B. [-，）
C. [，）
D. [，1）
【答案】D
【解析】
设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.
因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，
当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.
考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
视频
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13.在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
将ρ=2sinθ代入ρcosθ=﹣1消去ρ，可得sin2θ=﹣1，通过讨论进一步缩小θ的范围，即可求出θ的值，再代入任意一个方程即可求出ρ的值．
【详解】将ρ=2sinθ代入ρcosθ=﹣1，得2sinθcosθ=﹣1，∴sin2θ=﹣1．
∵0≤θ≤2π，及sinθ≥0，cosθ≤0，∴，∴π≤2θ≤2π，∴2θ=，∴．
将代入ρ=2sinθ，得ρ==．
故曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为（，）．
故答案为：
【点睛】本题考查极坐标系中的曲线与曲线的交点的极坐标，可直接代入计算出，亦可先化为普通方程求出其交点坐标，然后再化为极坐标．
14.设函数，则函数在上的最小值为____
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值即可．
【详解】f（x）＝lnx+x2，f′（x）2x，
x∈[1，e]，故f′（x）＞0在[1，e]恒成立，
故f（x）在[1，e]递增，
f（x）的最小值是f（1）＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
15.若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则
的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得到，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则
的取值范围可得．
【详解】因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，
所以a2+1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为，
设点P（x0，y0），
则有，解得，
因为，，
所以x0（x0+2），
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为，
所以当时，取得最小值，
故的取值范围是，
故答案为．
【点睛】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．
16.设a,b,c是△ABC的三边,P: , Q:方程x2 +2ax+b2 = 0与方程x2 +2cx－b2 = 0有公共根. 则
P是Q的_____.(填：充分不必要条件,必要而不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件)
【答案】充要条件
【解析】
【分析】
要从充分性和必要性两个方面进行分析，充分性，即假设A＝90°成立判断两个方程是否有公共根，必要性，设两个方程公共根为m，判断A＝90°是否成立，分析两个方面即可得结论．
【详解】充分性：当A＝90°时，a2＝b2+c2．
于是x2+2ax+b2＝0⇔x2+2ax+a2﹣c2＝0⇔[x+（a+c）][x+（a﹣c）]＝0，
该方程有两根x1＝﹣（a+c），x2＝﹣（a﹣c）．
同样，x2+2cx﹣b2＝0⇔[x+（c+a）][x+（c﹣a）]＝0，
该方程亦有两根x3＝﹣（c+a），x4＝﹣（c﹣a）．
显然x1＝x3，两方程有公共根，即充分性成立；
必要性：设方程x2+2ax+b2＝0与x2+2cx﹣b2＝0的公共根为m，
则
（1）+（2）得m＝﹣（a+c）．（m＝0舍去）．
将m＝﹣（a+c）代入（1）式，得[﹣（a+c）]2+2a•[﹣（a+c）]+b2＝0，
整理得a2＝b2+c2．所以A＝90°，即必要性成立；
故答案为：充要条件.
【点睛】本题考查充要条件的判断，有关充要条件判断问题，要从充分性和必要性两个方面分别进行分析．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）
17.已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求得函数在处的导数，再利用点斜式写出切线方程.（2）对函数求导后，利用分离常数发，转
化为，再利用单调性求得的最大值，由此求得的的取值范围.
【详解】（1）依题意，，，
故，而，
故所求切线方程为，即；
（2）依题意，，则；
由在区间上是增函数，
则对于1≤≤3恒成立，所以；
因，故，记，则，
而函数在上为减函数，则，所以4；
故实数的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用函数导数，根据题目所给函数单调性，求参数的取值范围的题目.利用导数求切线方程的关键点有两个，一个是切点的坐标，另一个是切点处的斜率，也即是，求得这个斜率后，利用点斜式可求得切线方程.
18.设p：不等式有解；q：函数在R上有极值.求使命题“p或q”为真的实数m的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
对p：解不等式得到集合A,对q:已知函数有极值需导函数的判别式Δ>0，得集合B，要使p或q为真，求两个集合的并集即可.或者先求命题p,q全为假时m的范围，然后取补集即可.
【详解】p: A={m|或}
q:由函数在R上有极值，
，只需△>0.
由△＞0，得B={m|m＜－1或m＞4}.
要使“p或q”为真命题，则 p,q中至少有一个为真,
若p,q全为假,则解得，
的取值范围为
【点睛】解决此类问题时，一般先将两个命题为真命题的条件求出来，再根据复合命题的真值表进行判断，如果某个命题为假命题，则取补集即可.
19.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程；
(2)若直线的极坐标方程分别为，，设直线与曲线的交点为，，，求
的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：
（1）由题意可得C的普通方程，极坐标方程为.
（2）由题意可得，，△OMN为直角三角形，则.
试题解析：
（1）由参数方程，得普通方程，
所以极坐标方程，即.
（2）直线与曲线的交点为，得，
又直线与曲线的交点为，得，
且，所以.
20.已知函数,在时取得极值.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求证：当时，.
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）在时取得极值，则，从而可得a值和函数解析式，求导，解不等式和，即可
确定f（x）的单调区间；（2）构造函数g（x）＝，对函数求导，判断函数单调性，通过单调性易得g（x）＞0恒成立，进而得到结论．
【详解】(1)f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0.所以a＝4.
此时f′(x)＝＝＝. 因为f(x)的定义域是{x|x>0}，
所以当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.所以当a＝4时，x＝2是f(x)的极小值点．即增区间为，减区间为.
(2)证明：设g(x)＝x3－x2－lnx，则g′(x)＝2x2－x－，
因为当x>1时，g′(x)＝>0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)>g(1)＝>0.所以当x>1时，x2＋lnx<x3.
【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数研究函数单调性和函数最值问题．
21.已知椭圆的左右两个焦点为，离心率为，过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线与椭圆C相交于两点，椭圆的左顶点为，连接并延长交直线于两点，分别为的纵坐标，且满足.求证：直线过定点.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由离心率e＝和椭圆过点（，1）得a，b，c关系，解方程组，即可得到a，b，从而求出椭圆方程；（2）联立直线l方程和椭圆方程，得到关于x的二次方程，由判别式大于0，运用韦达定理，将已知条件化简整理，可得k，m的等量关系，结合直线l的方程，即可判断直线恒过的定点．
【详解】（1）由,过点
解得，，故椭圆C的方程为.
（2）联立消去y，
得，
则，
又、
，
设直线MA：，则，同理
∵，∴，即，
∴，∴，
即.
∴
∴，故.
故直线方程为，可知该直线过定点．
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线与椭圆的位置关系以及过定点问题，解决过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
22.已知函数
（1）若函数的图像在公共点P处有相同的切线，求实数m的值和P的坐标；
（2）若函数的图像有两个不同的交点M、N，求实数m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过线段MN的中点作x轴的垂线分别与的图像和的图象交于S、T点，以S点为切点作以T为切点作的切线，是否存在实数m，使得？如果存在，求出m的值；如果不存
在，请说明理由。

【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）设两图象公共点P（x0，y0），P的坐标满足f（x）和g（x）解析式得到关系式①，又在点P处有共同的切线得到关系式②，②和①联立求解即可.（2）有两个交点转为有两个解,利用变量分求解即可;（3）利用反证法即可得到证明.
【详解】解：（1）设函数
则有①
又在点P处有共同的切线,
②
②代入①，得设
所以，函数最多只有1个零点，观察得此时，点P（1，0）.
（2）有两个交点即方程有两个解,
即在(0,+∞)上有两个解.
设h(x)= ,∴, ∴x=1
易知x=1为极大值点,且h(x)>0,且以x轴为渐近线
∴0<m+1<1,∴
另解：根据（1）知，当时，两条曲线切于点P（1，0），
此时，变化的y=g(x)图象对称轴为
而是固定不变的，如果继续让对称轴向右移动，
即解得两条曲线有两个不同的交点，当时，开口向下，只有一个交点，显然不合题意，所以，有
（3）假设存在这样的m，不妨设以S为切线的切线
l1的斜率,以T为切点的切线l2的斜率如果存在m，使得
即③
而且有如果将③的两边同乘以得
,即
，④
即，设，则，
令，则
⑤
∴④与⑤矛盾，所以，不存在实数
【点睛】本题考查利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查函数图像的交点个数问题，同时掌握反证法的证明方法，属于难题．。