4.4.2对数函数的图像和性质课件(人教版)(1)

即 lg
即pH减小. ∴随着[H+]的增大， pH减小.
即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸性就越强.
(2)当[ H ] 107 时,
∴纯净水的pH是7.
pH lg 107 7.
1

[H ]
也减小，
新知探究
探究2: 对于指数函数y=2x，你能利用指数与对数之间的关系，得
到对应的对数函数？它们的定义域，值域有什么关系？
0<a<1时,在R上是减函数
0<a<1时,0<x<பைடு நூலகம்,y>0; x>1,y<0
(5) a>1时,在(0,+∞)是增函数；
0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
课堂小结
2．反函数
x
y＝a
logax(a>0且a≠1)
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)和对数函数 y＝logx(a>0
且 a≠1)互为反函数．
（2） log
0.3 1.8与
log
0.3 2.7
（3） loga5.1与 loga5.9
(4) ， ；


(5) ， .
典例分析
例1
比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log 2 3.4与 log 2 8.5
解： 考察函数y=log 2 x ,∵a=2 > 1,
课堂小结
1.指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y=ax (a>0,a≠1)
y
x
y=a
图
y=ax
(0<a<1)
(a>1)
1
象
x
o
(1)定义域：R
性
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
y
y=logax
(a>1)
1
x
o
y=logax (0<a<1)
(2)值域：(0,+∞)
(1)定义域： (0,+∞)
章节框架
对数函数的图象位置与底数的关系
作直线y＝1与所给图象相交，交点的
横坐标即为各个底数，根据在
小试牛刀
练习1 函数y = logax，y = logbx，y = logcx，y = logdx的图像如图所示，则
a，b，c，d的大小关系为:
【答案】b<a<1<d<c
．
y log c x
y log b x
液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净
水的pH.
典例分析
解: (1)根据对数的运算性质, 有
pH lg[ H ] lg[ H ] lg

在(0,+∞)上,
1
随着[H+]的增大,
1

[H ]
1
[H ]
减小， 相应地
2x
y=
x∈R
y∈(0,+∞)
x= log 2 y
x改为y,
y改为x
y=log2x
x∈(0,+∞)
y∈R
概念生成
一般地，函数y = log ax与y= ax (a>0,a≠1)互为反函数, 它们的定义域，
值域互换，图象关于直线y=x对称。
y
y 2x
y x
y log 2 x
1
o
x
当堂检测
新知探究
探究1：选取底数a（a>0,且a≠ 1）的若干不同的值，在同一直角坐标系内画出相
应的对数函数的图像，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？
由此你能概括出y = logax （a>0,且a≠ 1）的性质吗？
发现对数函数y = logax 的图象按底数a的取
值，可以分为0<a<1和a>1两种类型。
＜ lg0.8
⑵ log0.56 ＜ log0.54
⑴ lg0.6
⑶ logm5
若a>1
若a<1
logm7
则logm5 < logm7
则logm5 >logm7
典例分析
【例2】溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH=-lg[H
＋],其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶
<
3
<
1
1
2 5
，即1 2 < 1 2.
3
方法二：1 2，1 2相当于两个函数
3
= 1 ，
3
5
= 1 在x=2时的两个函数值，结合图像可
知1 2 <
5 1 2.
3
5
5
典例分析
(5)2 3，5 4.
解：(中间值法)∵2 3 > 2 2 = 1，5 4 < 5 5 = 1，
典例分析
（3） loga5.1与 loga5.9
解: ①若a>1则函数在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9
∴ loga5.1 < loga5.9
②若0<a<1则函数在区间（0，+∞）上是减函数；
∵5.1<5.9
∴ loga5.1 > loga5.9
注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论
小试牛刀
练习2 函数的 f (x)=loga(x－2)－2的图象必经过定点
【解析】令x－2=1，得x = 3，
所以f (3)=loga(3－2)－2=－2，
即函数的 f (x)=loga(x－2)－2的图象必经过定点(3，－2)．
．
典例分析
例3
比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log23.4与 log28.5
(2)值域：R
(3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1
(3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(4) a>1时, x<0,0<y<1; x>0,y>1 (4) a>1时,0<x<1,y<0; x>1,y>0
质 0<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1
(5) a>1时, 在R上是增函数；
2.比较下面三个值的大小：
log3.40.7， log0.60.8与
1 −1
( ) 2
3
当堂检测
3.解不等式:
log 1 (2 x 1) log 1 2
2
2
2
x

1

0

解：原不等式可化为：

2 x 1 2
1
1
x
2
2
1 1
原不等式的解集是 ，
2 2
质．请完成下列表格，并用描图法画出y = log2x的图像．
x
y = log2x
0.5
-1
1
0
2
1
4
2
6
2.6
8
3
16
4
新知探究
思考1：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．对
于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 y log 2 x 和 y log 1 x ，它们的图
2
象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函
即0<a<1 和 a > 1
典例分析
(4)1 2，1 2；
3
5
解：方法一：由于1 2 =
3
1
1
log2 3
，1 2 =
5
1
1
2 5
，
1
5
1
3
又对数函数 = 2 在(0, +∞)上单 调递增，且0 < < < 1，
∴
1
2
5
1
1
2 ∴
3 2 1
2
由此可见y log 2 x与y log 1 x的图像关于x轴对称.
2
同理，y log 1 x log a x，
(a 0，且a 1），所以
a
y log a x，
(a 0，且a 1）和y log 1 x，
(a 0，且a 1）的图像关于x轴对称.
a
即底数互为倒数的两个对数函数的图像关于x轴对称
∴2 3 > 5 4.
总结提升
比较对数的大小的方法
(1)
比较大小时构造对数函数，根据其
(2)
分别画出不同底数的
比较.
，当x取相
同真数时可观察出函数值的大小.
(3)
(4)当
时，借助中间0或1与两数比较.
时，要按
两种情况分类讨论.
变式练习
课本135 页第2题
2.比较下列各题中两个值的大小:
3.思想方法类比： 类比的思想方法：类比指数函数的研究方法；
数形结合思想方法：是研究函数图像和性质；
谢谢观看
4.4.2
对数函数的图像与性质
复习回顾
1. 指数函数概念：
形如y = ax(a0，且a 1)的函数叫做指数函数.
0<a<1
2. 指数函数的图像与性质:
a>1
图
象
定义
域
R
值
域
（0，+∞）
性 （1）过定点（0，1），即x=0时，y=1
质 （2）在R上是减函数 （2）在R上是增函数
复习回顾
对数函数的概念：
新知探究
象图
y
x =1
y
x =1
y l oga x ( a 1)
O
(1,0)
(1,0)
X
O
X
定义域为(0,+)，值域为R.
过定点（1，0）即x=1时，y=0
质性
在(0,+)上是增函数
当x>1时,y>0;
当0<x<1时,y<0
非奇非偶函数
在(0,+)上是减函数
当x>1时, y<0;
当0<x<1时, y>0
∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；
∵3.4<8.5
∴ log23.4< log28.5
典例分析
（2） log
0.3
1.8与 log
0.3
解：考察函数y=log
2.7
0.3 x
,
∵a=0.3< 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；
∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log
0.3 2.7
一般地，函数y = logax ，(a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，
定义域是（0，+∞）．
：a>0，且a≠1
：自变量 x
：1
复习回顾
研究函数的一般方法：
背景
概念
①定义域
②值域
图像与性质
③单调性
④最值
应用
⑤奇偶性
新知探究
与研究指数函数一样，我们首先画出其图像，然后借助图像研究其性
-2.6
8
3
-3
16
4
-4
-1
-2
= log 2
11
42
1
2 3
4
x
= log 1
2
典例分析
利用换底公式，可以得到y log 1 x log 2 x.
2
因为点( x, y)与点( x, y)关于x轴对称，所以y log 2 x图像上任意一点P( x, y)
关于x轴的对称点P1 ( x, y )都在y log 1 x的图像上，反之亦然.
数的图象？
1
y ( )x
2
y
y 2x
1
o
x
章节框架
对数函数的图象
完成下列表格，对比两个函数的取值列表，并用描图法画出y = log0.5x的图像，能
否看出两个函数的图像有什么关系？
两个图像关于x轴对称
y
2
x
y = log2x
y = log0.5x
0.5
-1
1
1
0
0
2
1
-1
1
4
2
-2
0
6
2.6