高中数学 第二章 数列(一)教学设计 新人教A版必修5

（新课标）2015-2016学年高中数学第二章数列（一）教学设计新
人教A版必修5
从容说课
本章通过生产实际和社会生活中的实际引入了等差数列与等比数列这两种特殊数列的概念、有关知识和方法.重点研究了等差数列与等比数列的通项公式、基本性质、前n项和公式以及用上述知识解决生产实际与社会生活中有关的实际问题.
数列在现实世界中无处不在，等差数列与等比数列是其中的两种特殊的数列，发现数列的等差关系或等比关系是首先遇到的问题，也是学习中需要培养的最基本的能力.只有在观察和思考过程中迅速发现等差关系或等比关系，才能进一步地建立等差数列或等比数列的数学模型，接下来再用等差数列或等比数列的通项公式和有关的性质分析问题和解决问题.
数列实际上是特殊的函数，是定义在正整数集N*(或它的有限集{1，2，3，…，n})上的函数.数列的项实际上是定义域为正整数集N*(或它的有限集{1，2，3，…，n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.学习中学会用函数的观点认识数列，是理解数列的概念和性质的有效途径.尤其对等差数列与等比数列这两种特殊数列，更需要清楚地认识到它们与一次函数与指数函数的对应关系.进而，还可以将知识拓展到等差数列的前n项和与二次函数的关系.
数列的通项公式描述的是数列的第n项与序号n之间的函数关系，它是研究数列性质的载体，也是联系问题的已知条件与所要解决的问题的桥梁.它是分析问题与解决问题过程中最受关注的目标.
等差数列与等比数列的通项公式的推导，采用了不完全归纳法；等差数列与等比数列的前n项和公式的推导分别采用了“倒序相加”和“错位相减”的方法；本章在有关的问题的探索过程中还蕴含着更多的数学思想方法，如函数与方程的思想、数形结合的思想、转化与化归的思想、算法的思想、分类讨论的思想方法等等.所有蕴含这些思想方法的问题，都是培养和提高学生的数学素养的极好素材，需要我们潜心探究，以更好地体现新课程标准的理念.
学习过程中，用数列这个数学模型研究和解决生产实际与社会生活中的现实问题，是本章的一个重要内容，通过对“教育储蓄问题”“住房贷款问题”等问题的探究，既巩固了数学知识，又培养了学生的人生观和价值观，收到的效果是不可估量的，这类问题值得我们高度重视.
数列学习中，学生将在理解概念和性质的基础上，结合对具体教学实例的分析，体验数列这个数学模型在解决问题中的特殊作用；通过合作交流、独立思考、自主探索，发展有条理的思考与表达能力，提高逻辑思维能力.数列，特别是等差数列与等比数列，既有知识性，又有趣味性和实用性，在物理、化学、生物等学科，以及经济、天文、历法等领域，都有它的身影.我们应当适当地引导学生拓展知识的空间，更好地应用知识，乃至于更好地提高思想水平和能力水平.
在实例的选择中，我们要把握这样一些原则：
亲和原则.选取的例子要贴近学生，或者来自学生的生活实践，或者使用学生所学过的数学.
趣味性原则.选取的实例一般要有丰富的背景，本身要有趣味性.
基础性原则.问题本身并不难，但要蕴涵丰富的思想方法.
本节课作为本章的小结，旨在和学生一起站在全章的高度，以问题解决为主线，以典型例习题为操作平台，以巩固知识、发展能力、提高素养为目的对本章作全面的复习总结，帮助学生进一步提高对数列的理解和认识，优化知识结构.
鉴于本节课是复习课，小结应主要由学生来完成，教师帮助其完善和补充，练习题也放手由学生来完成，教师做好组织者和引导者的工作.
教学重点1.系统化本章的知识结构；
2.提高对几种常见类型的认识；
3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力.
教学难点解题思路和解题方法的优化.
教具准备多媒体课件，投影胶片，投影仪等
三维目标
一、知识与技能
1.进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问题的方案；
2.进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能力；
3.加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练程度；
4.在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题.
二、过程与方法
1.通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力；
2.通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础知识的能力；
3.在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的思想方法.
三、情感态度与价值观
1.通过具体实例，感受和体会数列在解决具体问题中的意义和作用，认识数列知识的重要性；
2.感受并认识数列知识的重要作用，形成自觉地将数学知识与实际问题相结合的思想；
3.在解决实际问题过程中形成和发展正确的价值观.
教学过程
导入新课
数列是高中代数的重要内容之一，也是高考考查的重点.它的主要内容主要有两个方面：第一方面是数列的基本概念，如等差数列的定义、等比数列的定义、通项公式、等差中项、等比中项、数列的性质以及数列的前n项和公式等；第二方面是数列的运算和实际应用，即运用通项公式、前n项和公式以及数列的性质求一些基本量，运用数列的基础知识探究与解决实际问题.
应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,a n,d(q),n,S n“知三求二”的问题；(3)数列知识在实际方面的应用.
在解决上述问题时，一是要用函数观点来分析解决有关数列问题；二是要运用方程的思想来解决“知三求二”的计算问题；三是能自觉地运用等差、等比数列的特征来化简计算；四是树立应用意识，能用数列有关知识解决生产生活中的一些问题.
推进新课
师
出示多媒体课件一：
(请同学们自己将框中的公式补充完整)
师等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式都不止一种形式，请同学们在总结的时候不要忘记它们中的任何一种形式.
［回顾与思考］
1.知识的发生发展过程：
师你能从函数的观点认识数列吗？你能体会学习数列与学习实数之间的异同吗？等差数列与等比数列的通项公式反映了什么函数关系？它们的图象各有什么特点呢？
生思考.
师请看下面的结构框图(出示多媒体课件二)：
师请同学们理解并解释框图的结构及其含义.
2.通项公式与前n项和公式的推导中的思想方法：
师你能清楚地说出等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的一种推导方法吗？每一个公式的推导能说出几种方法吗？
生回忆学习过程中自己已经掌握的方法，并积极发言.
师在它们的前n项和公式的推导中，请大家特别注意其中的两种推导方法：
等差数列的前n项和公式推导中的“倒序相加法”与“叠加法”；
等比数列的前n项和公式推导中的“错位相减法”与“叠乘法”；
另外，还应该知道，对于任何数列{a n}，S n与a n有以下关系：a n=S1,n=1,
S n-S n-1,n＞1.
师你知道这个公式在解决问题中有哪些作用吗？
生思考，回答.
3.应用本章知识要解决的主要问题：
师你明确应用本章知识要解决哪些问题吗？
生应用本章知识要解决的主要问题有：
(1)对数列概念理解的题目；
(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,a n,d(q),n,S n“知三求二”的问题；
(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.
师肯定学生的回答，必要时给予补充.
师出示投影胶片1：例题1.
【例1】 设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和.若{S n }是等差数列，求q 的值. ［合作探究］
师 这是一个关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的基本题，起点比较低，入手的路子宽.你如何想？ 生 独立思考，列式、求解.
师 组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法的过程. 参考答案如下：(投影胶片2)
解法一：利用定义，∵{S n }是等差数列，∴a n =S n -S n -1=…=S 2-S 1=a 2. ∴a 1·q n -1
=a 1·q.∵a 1≠0,∴q
n -2
=1.∴q=1.
解法二：利用性质，∵{S n }是等差数列，∴a n =S n -S n -1=S n -1-S n -2=a n -1,
a 1·q n -1=a 1·q n -2.∵a 1≠0,q≠0,∴q=1.
解法三：利用性质，∵2S 2=S 1+S 3，∴2(a 1+a 2)=a 1+a 1+a 2+a 3, 即a 2＝a 3.∴q=1.
师 点评：还可以用求和公式、反证法等. 师 出示投影胶片3：例题2.
【例2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2
＋2n ＋4(n ∈N ). (1)写出这个数列的前三项；
(2)证明数列除去首项后所成的数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列. ［合作探究］
师 第1个问题很容易思考，请同学们独立完成. 生 迅速作答.
解：（1）a 1=S 1=7,a 2=S 2-S 1=22
+2×2+4-7=5,
a 3=S 3-S 2=32+2×3+4-(7+5)=7,即a 1=7,a 2=5,a 3=7.
师 第2个问题是要证明一个数列是等差数列，这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”，你能把握好这个条件的运用吗？
生 自主探究，组织数学语言，准确表达推理过程. 参考答案：(投影胶片4) （2）∵⎩⎨
⎧-=-,
1
,11n n S S n S n ＞1，
∴当n ＞1时，a n ＝S n -S n -1＝n 2＋2n ＋4- [(n -1)2
＋2(n -1)＋4]＝2n ＋1.
a n ＋1-a n ＝2(定值),
即数列{a n }除去首项后所成的数列是等差数列. 师 点评：a n ＝S 1,n =1,
S n -S n -1,n ＞1 是一个重要的关系式，要充分发挥它的作用. 还有其他不同的证法，请同学们多交流. 师 出示投影胶片5：例题3.
【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. ［合作探究］
师 三个数成等差数列，在设法上应根据条件的特殊性考虑特殊的设法，同样，三个数成等比数列，也要注意兼顾前三个数已经设出来的形式. 生 积极思考，列式探究，踊跃发言.
师 观察学生的思考情况，指点学生寻找合理的思路. 归纳、概括、总结学生的解题结果，给出如下两种典型解法. 投影胶片6
解法一：设四个数依次为a -d ，a ，a ＋d ，a d a 2
)(+，
依题意有 (a -d )＋a
d a 2
)(+＝16,①
a ＋(a ＋d )＝12,②
由②式得 d ＝12-2a .③
将③式代入①式整理得a 2
-13a ＋36＝0. 解得a 1＝4，a 2＝9. 代入③式得d 1＝4，d 2＝-6.
从而所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 投影胶片7
解法二：设四个数依次为x ，y ，12-y ，16-x ，
依题意有⎩⎨
⎧-=-=-+②
①2
)12()16(,2)12(y x y y y x
由①式得x ＝3y-12.③
将③式代入②式得y(16-3y ＋12)＝(12-y)2
. 整理得y 2
-13y ＋36＝0, 解得y 1
＝4，y 2＝9, 代入③式得x 1＝0，x 2＝15.
从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
师 点评：本题若采用其他设求知量的方法列方程，解题过程会是怎么样的呢？请同学们课外探究一下，并在本题上述设求知量的方法的基础上，思考四个数成等差数列的常见设法，以及四个数成等比数列的常见设法. 师 出示投影胶片8：例4.
【例4】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0， （1）求公差d 的取值范围；
（2）指出S 1，S 2，…S 12中哪一个值最大，并说明理由. ［合作探究］
分析：本题的条件形式上比较特殊，属于同学们不太熟悉的面孔，思考应该从最熟悉的角度入手.
师 引导：第1个问题，目标是关于d 的范围的问题，故应当考虑到合理的选用等差数列的前n 项和的哪一个公式.其次，条件a 3＝12可以得出a 1与d 的关系，列式中可以用来代换掉另一个量，起到减少求知量的作用.
生 在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于d 的不等式. 参考答案：投影胶片9 解：（1）依题意有S 12＝12a 1＋2
1
×12×11d ＞0, S 13＝13a 1＋
2
1
×13×12d ＜0, 即2a 1＋11d ＞0,①
a 1＋6d ＜0.②
由a 3＝12，得a 1＝12-2d ,③
将③式分别代入①②式得24＋7d ＞0且3＋d ＜0，
∴7
24
-
＜d ＜-3为所求. 师 对第2个问题的思考，可以有较多的角度，请同学们合作探究，交流你们的想法，寻找更好的思路.
生 积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法.
师 收集、整理出学生的不同思路，公布优秀的思考方法和解题过程，归纳出如下几种解法： 投影胶片10
（2）解法一：由(1)知d ＜0，∴a 1＞a 2＞a 3＞……＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值， 由于S 12=12a 1+21×12×11d =6(2a 1+11d )＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13=13a 1+2
1
×13×12d =13(a 1+6d )＝13a 7＜0,
∴a 6＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大. 投影胶片11 解法二：S n ＝na 1＋2
1
n (n -1)d ＝n (12-2d )＋
21 (n 2
-n )d ＝2
)245()2245(22
2d d d n d ----. ∵d ＜0，∴2)2
245(d n -
-最小时，S n 最大， 而当724-＜d ＜-3时，有6＜2
245d -
＜6.5，且n ∈N ， ∴当n ＝6时，(n -2
245d -
)2最小，即S 6最大. 投影胶片12
解法三：由d ＜0，可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，
因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0， 则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值， 由S 12＞0，S 13＜0，有 12a 1＋
21×12×11d ＞0a 1＋5d ＞-2
d
＞0;
13a 1＋
2
1
×13×12d ＜0a 1＋6d ＜0. ∴a 6＞0，a 7＜0，
故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大. 投影胶片13
解法四：同解法二得S n ＝
2
d
(n -2245d -
)2-2
24
5d -.
∵d ＜0，故S n 的图象是开口向下的一条抛物线上的一些点，注意到S 0＝0，且S 12＞0，S 13＜0，知该抛物线与横轴的一个交点是原点，一个在区间(12，13)内，于是抛物线的顶点在(6，6.5)内，而n ∈N ，知n ＝6时，有S 6是S 1，S 2，…，S 12中的最大值. 课堂小结
本节学习了如下内容：
1.第二章“数列”一章知识和方法的概括性回顾与思考.
2.运用中典型例题的探究.
布置作业
1.独立完成复习参考题A 组题.
2.开展探究活动，思考更深刻的数列知识运用的问题.
板书设 本章复习(一)
本章知识结构 典型例题剖析
回顾与思考 例1 例3
例2 例4
习题详解
(课本第75页复习参考题)
A 组
1.（1）B ；（2）B ；（3）B ；（4）A .
2.（1）a n =
n
n 2
1
2-； （2）a n =1+2
1
)2()1(n n --；
（3）a n =(10n
-1)
9
7
； (4) n n a )1(1-+=，或πn a n cos 1+=. 以上各题的通项公式不一定唯一. 3.
4.如果a ,b ,c 成等差数列，则b =5；如果a ,b ,c 成等比数列，则b ＝1或b ＝-1.
5.a n 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972.SUM =86 093 43
6.
6.138.1·(1+0.13%)8
=1 396.3.
7.从12月20日到次年的1月1日，共13天，每天领取的奖品价值呈等差数列分布.
d =10,a 1=100.由S n =a 1n +
2)1(-n n d 得S 13=100×13+2
12
13⨯×10=2 080＞2 000，所以第二种领奖方式获奖受益更多. 9.15天.
10.(1)S 2=a n +1+a n +2+…+a 2n =(a 1+nd )+(a 2+nd )+…+(a n +nd )=a 1+a 2+…+a n +n ×nd =S 1+n 2
d . S 3=a 2n +1+a 2n +2+…+a 3n =(a 1+2nd )+(a 2+2nd )+…+(a n +2nd )=a 1+a 2+…+a n +n ×2nd =S 1+2n 2d . 容易验证2S 2=S 1+S 3，所以S 1,S 2,S 3也是等差数列，公差为n 2
d . （2）S 2=a n +1+a n +2+…+a 2n =(a 1×q n )+(a 2)×q n +…+(a n )×q n
=(a 1+a 2+…+a n )q n =S 1×q n
.
S 3=a 2n +1+a 2n +2+…+a 3n =(a 1×q 2n
)+(a 2×q 2n
)+…+(a n ×q 2n
)=(a 1+a 2+…+a n )q 2n
=S 1×q 2n
. 容易验证：S 22
=S 1×S 3，所以S 1,S 2,S 3也是等比数列，公比为q n
. 11.a 1=f(x+1)=(x+1)2
-4(x+1)+2=x 2
-2x-1,
a 3=f(x-1)=(x-1)2-4(x-1)+2=x 2-6x+7,
因为{a n }是等差数列，所以a 1,a 2,a 3也是等差数列，所以2a 2=a 1+a 3,
即0=2x 2-8x+6.解得x=1或x=3.
x=1时，a 1=-2,a 2=0,a 3=2，由此可求出a n =2n -4.
x=3时，a 1=2,a 2=0,a 3=-2，由此可求出a n =4-2n .
备课资料
一、备用例题
一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了它们的工资标准：A 公司允诺第一个月工资为1 500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资数为2 000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5％，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取.试问：(2003年春上海(22)4＋6＋8＝18分)
(1)若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？
(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不记其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么？
(3)在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元?(精确到1元)并说明理由.
解：(1)在A 公司连续工作n 年，则第n 年的月工资为 a n ＝1 500＋230(n -1)＝230n ＋1 270(元);
在B 公司连续工作n 年，则第n 年的月工资为
b n ＝2 000(1＋100
5) n -1＝2 000×1.05 n -1(元). (2)在A 公司连续工作10年，则其工资总收入为
S 10＝2
1[12×(1 500＋1 500＋9×230)×10]＝304 200(元). 在B 公司连续工作10年，则其工资总收入为
S 10′＝05
.11)05.11(20001210--⨯≈301 869(元). S 10＞S 10′，故仅从工资收入总量来看，该人应该选择A 公司.
(3)a n -b n ＝230n ＋1 270-2 000×1.05
n -1,记为f(n ).
要使得f(n )最大，需满足
f(n )＞f(n -1)且f(n )＞f(n ＋1),
于是f(n )-f(n -1)＞0⇒1.05n -2＜2.3;
f(n ＋1)-f(n )＜0⇒1.05 n -1＞2.3.
解得1＋log 1.052.3＜n ＜2＋log 1.052.3.
经计算得lg2.3＝0.361 7，lg1.05＝0.021 2(注：上海市高考允许使用计算器). 从而得18.07＜n ＜19.07，n ＝19.
∴f(n ) m a x ＝f(19)＝230×19＋1 270-2 000×1.05 18
≈827(元).
答：(略) 二、阅读材料
关于等差数列与等比数列的对比
等差数列和等比数列，在数列中起着举足轻重的作用.它们如同一对亲兄弟，再仔细对比就会发现许多有趣的东西，本文略举一二，供大家欣赏.
1.若a n +1-a n =d (d 为常数，n ∈N *)，则{a n }为等差数列，d 为公差；
若n
n a a 1+=q(q 为常数，n ∈N *)，则{a n }为等比数列，q 为公比. 其中，差与商，d 与q 相对比.
2.若d =0，则{a n }为等差数列；
若q=1，则{a n }为等比数列.
其中0与1相对比(0与1恰是二进制中表示数的两数).
3.若l 、m 、n 、p∈N *，m+n =l+p,则
当{a n }为等差数列时，a m +a n =a l +a p ；
当{a n }为等比数列时，a m ·a n =a l ·a p .
其中和与积相对比.
特别地，若m,l,n 为正整数，m+n =2l,则
当{a n }为等差数列时，a m +a n =2a l ；
当{a n }为等比数列时，a m ·a n =a l 2.
其中和与积，倍数与乘方相对比.
4.若{a n }为等差数列，则⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+++n a a a n ...21为等差数列； 若{a n }为正数等比数列，则{}n n a a a ...21为等比数列.
其中算术平均数与几何平均数相对比.
5.若a ＞0,b ＞0，n 为正整数，a n ＞0,则
当a ,a 1,a 2,…,a n ,b 成等差数列时，a 1,a 2,…,a n 的算术平均数等于a ,b 的算术平均数，即2
...21b a n a a a n +=+++；当a ,a 1,a 2,…,a n ,b 成等比数列时，a 1,a 2,…,a n 的几何平均数等于a ,b 的几何平均数，即ab a a a n n =...21.
其中算术平均数与几何平均数，等差中项与等比中项相对比.
6.若n ∈N *,k∈N *，则当{a n }为等差数列时，S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…,S (k+1)n -S k n ,…为等差数列；
当{a n }为等比数列时，S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…,S (k+1)n -S k n ,…为等比数列.
其中等差与等比相对比.
7.三个数成等差数列可设为：a -d ,a ,a +d ，此时公差为d .等差数列有奇数项时均为可类似假设.四个数成等差数列时可设为a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d ，此时公差为2d .等差数列有偶数项时均可类似假设.
三个数列成等比数列可设为q
a ,a ,a q ，此时公比为q.等比数列有奇数项时，均可类似假设.四个数成等比数列可设为
3q
a , q a ,a q,a q 3，此时公比为q 2.等比数列有偶数项时可类似假设. 其中d 与q ，差与商相对比.
8.等差数列前n 项和公式推导方法：倒序相加法；等比数列(公比不为1)前n 项和公式推导方法：错位相减法.
其中倒序与错位，加与减相对比.
9.在等差数列{a n }中，
a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1=d +d +…+d +d +a 1=a 1+(n -1)d .
在等比数列中{a n }中,a n =1-n n a a ·21--n n a a ·…·23a a ·1
2a a ·a 1=q·q·…·q·q·a 1=a 1q n -1. 其中差之和与商之积相对比.
当然，等差数列与等比数列还有众多可对比之处，在此就不一一列举了，不足之处，请多加指教.。