浙江省高考数学一轮复习 专题：06 平面向量的模与夹角特色训练

六、平面向量的模与夹角
一、选择题
1．已知单位向量a,b 满足|a +b |=|a −b |，则a 与b −a 的夹角是( ) A. π
6
B. π
3
C. π
4
D. 3π
4
【湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】 【答案】D
【解析】∵|a ⃑ +b ⃑ |=|a ⃑ −b ⃑ | ∴ (a ⃑ +b ⃑ )2
=(a ⃑ −b ⃑ )2
，∴ a ⃑ ⋅b ⃑ =0 即a ⃑ ⊥b ⃑ 如图
OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ⃑ =(1,0),OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ =(0,1),OC ⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ −a ⃑ =(−1,1)即是第二象限的角平分线，所以由图可见a ⃑ 与b ⃑ −a ⃑ 的夹角是3π
4，故选D.
2．【河南省林州市第一中学高三10月调研】已知向量,a b 满足
(
)
1,2,3,2a b a b ==-=
，则2a b +（）
A. 22
B. 25
C. 17
D. 15 【答案】C
3．【河南省洛阳市高三期中】向量,a b 均为非零向量， ()()
2,2a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为（ ） A.
3π B. 2π C. 23π D. 5
6
π 【答案】A
【解析】()
2
2?02?a b a a a b -=⇒=， ()
2
2?02?b a b b a b -=⇒=，所以22a b =，即
a b =，
设,a b 的夹角为θ， 2
2·12cos 2a a b a b a
θ===，又[]0,θπ∈，所以,a b 的夹角为3π
，故选A.
4．【云南省红河州高三统一检测】设1,2OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP 上的投影的取值范围( )
A. 25-,15⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
B. 25,15⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
C. 5,15⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
D. 5-,15⎛⎤
⎥ ⎝⎦
【答案】D
2584OA OP
OP
x x λλλ→⋅→=⋅→=⋅-+=
2
584
x λ
λλ∴=
-+
当λ0=时， 0,x =
当2
22
215λ8λ4482λ0521x λλλλ-+⎛⎫
>==
-+=-+ ⎪⎝⎭
， 故当λ1=时，
1x 取得最小值为1，即1
101x x
≥∴<≤， 当λ0<时， 2
22215844825215x λλλλλλ-+⎛⎫
=-=--+=--+=- ⎪
⎝⎭，即15x <- 5
05
x ∴-
<< 综上所述]5
( ,15
x ∈-
故答案选D .
5．【江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】半圆的直径AB ＝4, O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()
PA PB PC +⋅的最小值是（ ） A. 2 B. 0 C. 1- D. 2- 【答案】D
6．【浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若|a ⃑ |=|b ⃑ |=|c |=2，且a ⃑ ⋅b ⃑ =0，(a ⃑ −c )⋅(b ⃑ −c )≤0，则|a ⃑ +b ⃑ −c |的取值范围是（ ） A. [0,2√2+2] B. [0,2] C. [2√2−2,2√2+2] D. [2√2−2,2] 【答案】D
【解析】
如图所示：OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ⃑ ，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，OD ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ⃑ +b ⃑ ∵(a ⃑ −c )⋅(b ⃑ −c )≤0，∴点C 在劣弧AB 上运动， |a ⃑ +b ⃑ −c |表示C 、D 两点间的距离|CD |。

|CD |的最大值是|BD |＝２，|CD |最小值为|OD |−2=2√2−2. 故选：D.
7．【河北省武邑中学高三上第二次调研】设a b ，为单位向量且相互垂直，若向量c 满足
()
c a b a b -+=-，则c 的最大值是（ ）
A. 22
B. 2
C. 2
D. 1 【答案】A
【解析】由题意结合a b ⊥可设()()()1,0,0,1,,a b c x y ===，
8．【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知直线PA,PB 分别于半径为1的圆O 相切于点A,B,PO =2,PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2λPA ⃑⃑⃑⃑ +(1−λ)PB ⃑⃑⃑⃑⃑ .，若点M 在圆O 的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是( )
A. (−1,1)
B. (0,2
3
) C. (1
3
,1) D. (0,1)
【答案】B
【解析】因为PO =2，由切线长定理知PA =PB =√3，又
OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +2λPA ⃑⃑⃑⃑ +(1−λ)PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，因此OM
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=9λ2−6λ+1<1，解得0<λ<23． 点睛：本题首先要学会问题转化，一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径，因此写出
向量OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +2λPA ⃑⃑⃑⃑ +(1−λ)PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2λPA ⃑⃑⃑⃑ −λPB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再根据向量的平方运算，求出|OM
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=9λ2−6λ+1，令其小于半径即可求出． 9．【河北省邢台市高三上学期第一次月考】在ABC ∆中， D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =， 2BC =， 0GA GB GC ++=，则AB CG
=
（ ）
A. 3
B. 5
C. 2
D. 10
2
【答案】 B
2
222 2.3
2BC GA GE AC ⎛⎫
⎪==-= ⎪⎝⎭
所以2
2
10
1,112, 5.2
AB CE CG CG
==+=∴
=
= 本题选择B 选项.
10．【四川省双流中学高三上9月月考】已知平面向量,PA PB 满足
1
1,2
PA PB PA PB ==⋅=-，若1BC =，则AC 的最大值为（ ）
A. 21-
B. 31-
C. 21+
D. 31+ 【答案】D
【解析】
因为11,2PA PB PA PB ==⋅=-
，所以1cos 2APB ∠=-，即23
APB π∠=，由余弦定理可得1+113AB =+=，如图，建立平面直角坐标系，则33,0,,022A B ⎛
⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，由题设点(),C x y 在以3,02B ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
为圆心，半径为1的圆上运动，结合图形可知：点(),C x y 运动到
点D 时， max ||131AC AD AB ==+=+，应选答案D. 11．【浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知平面向量,,a b c 满足
4,3,2,?3a b c b c ====，则()()()()2
22
·a b a c a b a c ⎡⎤-----⎣⎦最大值为( )
A. 4337+
B. 4733+
C. (
)2
4337+ D. ()
2
4
733+
【答案】D
3,2,3b c b c ==⋅=，则向量,b c 的夹角为60°，
设()()
3,0,1,3B C ，则7BC =
，故：
1332sin60322
OBC
S
=⨯⨯⨯=，设O 到BC 的距离为h ， 则
1
33321
,2
27
OBC
BC h S h ⋅⋅==
∴=，
12．【浙江省ZDB 联盟高三一模】如图，半径为1的扇形AOB 中， 23
AOB π
∠=
， P 是弧AB 上的一点，且满足OP OB ⊥， ,M N 分别是线段,OA OB 上的动点，则•PM PN 的最大值为（ ）
A.
2
2
B. 32
C. 1
D. 2
【答案】C
【解析】•PM PN ()()
2
PO OM PO ON PO OM PO OM ON =+⋅+=+⋅+⋅
311cos150cos120100122OM OM ON ⎛⎫⎛⎫
=++⋅≤+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，选C. 二、填空题
13．【浙江省温州市高三9月测试一】设向量a ⃑ ，b ⃑ ，且|a ⃑ +b ⃑ |=2|a ⃑ −b ⃑ |，|a ⃑ |=3，则|b ⃑ |的最大值是__________；最小值是__________． 【答案】 9 1
14．【浙江卷】已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______. 【答案】 4 25
【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：
2212212cos 54cos a b θθ-=+-⨯⨯⨯=-，
()2212212cos 54cos a b πθθ+=+-⨯⨯⨯-=+，则： 54cos 54cos a b a b θθ++-=++-，
令54cos 54cos y θθ=++-，则[]2
2
1022516cos
16,20y θ=+-∈，
据此可得： ()
()
max
min
2025,164a b a b
a b a b
++-==++-==，
即a b a b ++-的最小值是4，最大值是25．
15．【浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若非零向量.a b 满足22
3
a b =
，且()()32a b a b -⊥+，则向量a 与b 的夹角为_____．
【答案】
4
π
∴cos ,a b =a b a b =2223223
b
b =2
2
，
即,4
a b π
<>=
.
16．【安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy =135∘，斜坐标定义：如果OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =xe 1⃑⃑⃑ +ye 2⃑⃑⃑ （其中e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 分别是x 轴，y 轴的单位向量），则(x,y )叫做P 的斜坐标.
（1）已知P 得斜坐标为(1,√2)，则|OP
⃑⃑⃑⃑⃑ |=__________． （2）在此坐标系内，已知A (0,2),B (2,0)，动点P 满足|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|BP ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则P 的轨迹方程是__________． 【答案】 1 y =x
【解析】（1）∵|OP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|e 1⃑⃑⃑ +√2e 2⃑⃑⃑ |=√(e 1⃑⃑⃑ )2+2e 1⃑⃑⃑ ∙√2e 2⃑⃑⃑ +(√2e 2
⃑⃑⃑ )2
=1， ∴|OP
⃑⃑⃑⃑⃑ |=1． （2）设P （x ，y ），由|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|BP ⃑⃑⃑⃑⃑ |得|（x ，y ﹣2）|=|（x ﹣2，y ）|，∴√x 2+(y −2)2=√(x −2)2+y 2整理得：y=x ． 故答案为：1；y=x. 三、解答题
17．【江西省六校高三上第五次联考】已知向量,a b 满足3a =， 1b =， a 与b 的夹角为
3
π
. (1)求3a b +；
(2)若向量2a b +与2ta b +垂直，求实数t 的值. 【答案】(Ⅰ) 33；(Ⅱ) 712
-
. 试题解析：(1)∵向量a ， b 满足|a |＝ 3,| b |＝1， a 与b 的夹角为
3
π， ∴|3a b +|＝
(
)
2
3a b
+＝226?9a a b b ++＝963cos
9333
π
+⨯⨯+=
(2)∵向量2a b +与2ta b +垂直，∴(2a b +)·(2ta b +)＝0，∴()2
2
22?40ta t a b b +++=，∴()92231cos
403
t t π
++⨯⨯⨯+=解得712
t =-
. 18．已知a ，b 是两个单位向量．
（Ⅰ）若|3a −2b|=3，试求|3a +b|的值；
（Ⅱ）若a ，b 的夹角为60∘，试求向量m =2a +b 与n =2b −3a 的夹角. 【答案】（1）2√3;（2）120∘ .
【解析】试题分析：（Ⅰ）直接把|3a −2b|=3两边平方，求得a ⋅b =1
3，从而可求|3a +b|的值；
（Ⅱ）利用平面向量的数量积运算求得m ⋅n ，再求出|m|，|n|，代入数量积公式求得向量m ，n 的夹角即可
试题解析：（1）∵a ，b 是两个单位向量，∴ |a|=|b|=1，又|3a −2b|=3， ∴9|a|2−12a ⋅b +4|b|2=9，即a ⋅b =1
3．
∴ |3a +b|=√9|a|2+6a ⋅b +|b|2=√9×1+6×1
3+1=2√3
（2）|m|=√(2a +b)2=√4|a|2+4a ⋅b +|b|2=√4×1+4×1
2+1=√7，
|n|=√(2b −3a)2=√4|b|2−12a ⋅b +9|a|2=√4−12×1
2+9=√7， m ⋅n =(2a +b)⋅(2b −3a)=2|b|2+a ⋅b −6|a|2=−7
2，
cosθ=
m⋅n |m||n|
=
−
7
2
√7⋅√7
=−1
2
，∵ 0≤θ≤180∘，∴夹角θ=120∘ .
19．【广东省兴宁市沐彬中学高三上第二次月考】已知定点A （0，1），B （0，﹣1），C （1，0），
动点P 满足： 2
AP ||BP k PC =，
（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型； （2）当k=2，求2AP BP +的取值范围。

【答案】（1）见解析（2）373,373⎡⎤-+⎣⎦
试题解析：（1）设P （x ，y ），()()(),1,,1,1,AP x y BP x y PC x y =-=+=--． 当k=1时，由2||AP BP k PC ⋅=，得x 2+y 2﹣1=（1﹣x ）2+y 2
， 整理得：x=1，表示过（1，0）且平行于y 轴的直线；
当k ≠1时，由2
||AP BP k PC ⋅=，得x 2
+y 2
﹣1=k （1﹣x ）2
+ky 2
，
整理得： 22
2
111k x y k k ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，表示以点,01k k ⎛⎫- ⎪-⎝⎭为圆心，以11k -为半径的圆． （2）当k=2时，方程化为（x ﹣2）2
+y 2
=1，即x 2
+y 2
=4x ﹣3， ∵()23,31AP BP x y +=-
∴()()22
2331AP BP x y +=+-，又x 2+y 2
=4x ﹣3，
∴()()
()22
23316626AP BP x y x y +=+-=--．问题归结为求6x ﹣y 的最值，
令t=6x ﹣y ，
∵点P 在圆（x ﹣2）2
+y 2
=1，圆心到直线t=6x ﹣y 的距离不大于圆的半径， ∴
12137
t -≤，解得12371237t -≤≤+．∴3732337AP BP -≤+≤+．
20．已知()()()1,2,3,4,a b c a b R λλ==-=+∈. （1）当为何值时, c 最小? 此时c 与b 的位置关系如何?
（2）当
为何值时, c 与a 的夹角最小? 此时c 与a 的位置关系如何?
【答案】（1） 当1
5
λ=-时, c 最小, b c ⊥；（2）0λ=时, c 与a 的夹角最小, c 与a 平行.
试题解析：
（1）()13,24c λλ=-+,
()()
22
2
2
||132451025c λλλλ=-++=++ 2
12545λ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
当15λ=-
时, c 最小,此时86,55c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()863,4,055b c ⎛⎫
⋅=-⋅= ⎪⎝⎭, ∴b c ⊥ ∴当1
5
λ=-
时, c 最小,此时b c ⊥. （2）设c 与a 的夹角为θ,则22551cos 525105521
a c a c λλ
θλλλλ⋅++=
==++++,
要c 与a 的夹角最小,则cos θ最大, ∵0θπ≤≤,故cos θ的最大值为1,此时0θ=,
2
1cos 1,
1521
λθλλ+==++,解之得0λ=,()1,2c =.
∴0λ=时, c 与a 的夹角最小, 此时c 与a 平行.
21．【河北省衡水市馆陶县第一中学高三上第一次月考】已知向量
33cos ,sin ,=cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,且
()*2f x a b a b λ=-+,（
为
常数）
(Ⅰ)求*a b 及a b +; (Ⅱ)若
的最小值是1m e +≥,求实数
的值.
【答案】(1) 2cos a b x +=；(2) 1
2
λ=
． 【解析】试题分析：（1）用坐标表示向量的模长；（2）转化成二次函数求最值问题， (1)得
3131
*cos *cos sin *sin cos22222a b x x x x x =-=
2
2
33cos cos sin sin 2222x x a b x x ⎛
⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
222cos22cos x x =+=
0,,cos 02x x π⎡⎤
∈∴>⎢⎥⎣⎦
2cos a b x ∴+=
②当01,cos x λλ≤≤=时当且仅当时， ()f x 取得最小值212λ-- , 由已知得: 23122λ--=-
解得1
2
λ= ；
当1,λ> 时当且仅当cos 1x =时，
()f x 取得最小值14λ- ，已知得3
142
λ-=-；
解得5
8
λ= ，这与1λ>相矛盾，
综上所述， 1
2
λ= 为所求.
22．【河南省郑州市第一中学高三上学期入学】已知圆22
1:60C x y x ++=关于直线
1:21l y x =+对称的圆为C .
（1）求圆C 的方程；
（2）过点()1,0-作直线l 与圆C 交于,A B 两点， O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得在平行四边形OASB 中OS OA OB =-？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）()()2
2
129x y -++=（2）存在直线1x =-和1y x =+
试题解析：（1）圆1C 化为标准为()2
239x y ++=，
设圆1C 的圆心()13,0C -关于直线1:21l y x =+的对称点为(),C a b ，则11CC l k k =-， 且1CC 的中点3,22a b M -⎛⎫
⎪⎝
⎭在直线1:21l y x =+上， 所以有()213
{310
2
b
a b
a ⨯=-+--+=，
解得： 1
{
2
a b ==-，
所以圆C 的方程为()()2
2
129x y -++=.
（2）由OS OA OB BA =-=，所以四边形OASB 为矩形，所以OA OB ⊥.
要使OA OB ⊥，必须使·0OAOB
=，即： 12120x x y y +=. ①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，与圆()()2
2
:129C x y -++= 交于两点()1,52A --， ()
1,52B ---.
因为()()(
)()
·1152520OAOB
=--+---=，所以OA OB ⊥，所以当直线l 的斜率不
存在时，直线:1l x =-满足条件.
(
)()()()
()
2
2
2
221,22
2422424144
21k k k
k k k k x k -+-±
+--++-=
+，
21222421k k x x k +-+=-+， 2122
44
1k k x x k +-=+，
要使OA OB ⊥，必须使·0OAOB
=，即12120x x y y +=， 也就是： ()()22122
44
1101k k k x x k
+-+++=+ 整理得： (
)
22
2
2222
44421?011k k k k k
k k k k
+-+-+-+=++ 解得： 1k =，所以直线l 的方程为1y x =+
存在直线1x =-和1y x =+，它们与圆C 交,A B 两点，且四边形OASB 对角线相等.。