【成才之路】高中数学人教A版选修课件：导数及其应用、
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∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt→0 时，ΔΔst→v0－gt0. 故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0－gt0.
[方法规律总结] 1.物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
一般地，如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体在时刻
t 的瞬时速度 v，就是物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内，当 Δt→0
1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员．此时，他 的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法 的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂 双辉共同奠定了微积分学.1676年，他到汉诺威公爵府担任法律 顾问兼图书馆馆长.1700年被选为巴黎科学院院士，建立了柏林 科学院并任首任院长．
的平均速度是( )
A．0.41
B．2
C．0.3
D．0.2
[答案] B
[解析] Δs＝(3＋2×2.1)－(3＋2×2)＝0.2， Δt＝2.1－2＝0.1， ∴ΔΔst＝00..21＝2.
3．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改 变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) C．f(x0)·Δx [答案] D
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13
＋2×1＋1)＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
ΔΔyx＝5Δx＋3ΔΔxx2＋Δx3＝5＋3Δx＋(Δx)2，
f ′(1)＝lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0[5＋3Δx＋(Δx)2]＝5.
准确把握概念的本质含义
[解析] ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－
4Δt2，
∴ΔΔSt ＝－Δ4tΔt2＝－4Δt，
∴v＝lim Δt→0
ΔΔSt ＝Δlit→m0
(－4Δt)＝0.
∴物体在 t＝2s 时的瞬时速度为 0m/s.
利用定义求函数在某点处的导数
求函数y＝－3x2在点x＝1处的导 数．
到 r(V2)，气球的平均膨胀率是____V_2_－__V_1____.
思维导航 2．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单 位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h＝h(t)，h是否 随t的变化均匀变化？
新知导学
2．高台跳水运动员当高度从 h(t1)变化到 h(t2)时，他的平均 ht2－ht1
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
导数及其应用 第三章
莱布尼兹(Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646－1716)是17,18 世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世 罕见的科学天才．他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学 知识宝库做出了不可磨灭的贡献．
设
f(x)在
x0
处可导，求 lim Δx→0
fx0－ΔΔxx－fx0的值．
[错解] ∵Δx→0，∴－Δx→0，
又∵f(x)在 x0 处可导，
∴ lim Δx→0
fx0－ΔΔxx－fx0＝f ′(x0)．
[辨析] 错误的原因是由于对导数的定义理解不清，函数 值f(x0－Δx)－f(x0)所对应的自变量的改变量为(x0－Δx)－x0＝－ Δx.
速度为_____t2_－__t1________.
3．已知函数 y＝f(x)，令 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 当 Δx≠0 时，比值__f__xx_22_－ －__xf_1x_1_＝__ΔΔ__xy___，为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，即函数 f(x)图象上两点 A(x1，f(x1))、B(x2，f(x2)) 连线的___斜__率_____．
某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，
f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )
A．－4
B．－8
C．6
D．－6
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝－2x2＋1，则质点从 x＝1 到 x＝2 的平均 速度为
v ＝ΔΔyx＝f22－－f11 ＝[－2×22＋12]－－[1－2×12＋1]＝－6，故选 D．
当 x0＝1，Δx＝12时， 平均变化率的值为 3×12＋3×1×12＋122＝149.
[方法规律总结] 1.求函数 y＝f(x)从 x0 到 x 的平均变化率 的步骤为：
(1)求自变量的增量 Δx＝x－x0. (2)求函数的增量 Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x＋Δx)－f(x0)． (3)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0. 2．要注意 Δx，Δy 的值可正，可负，但 Δx≠0，Δy 可为零， 若函数 f(x)为常值函数，则 Δy＝0.
[分析] 问题只给出了一个孤立的点，而非变化范围，所 以要先构造点附近的一个变化范围，以便求解平均变化率，从 而利用[解定析义] 求当函x数从在1此变点到处1的＋导Δ数x 时．，函数值 y 从－3 变到－3(1 ＋Δx)2，函数值 y 关于 x 的平均变化率为：f1＋ΔΔxx－f1＝ －31＋ΔΔxx2－－3＝－6－3Δx，当 Δx 趋于 0 时，平均变化率 趋于－6，所以 f ′(1)＝－6.
函数在某点处的导数
思维导航 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？如何描述物 体在某一时刻的运动状态？
新知导学
4．函数
y＝f(x)在
x＝x0
处的瞬时变化率是 lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作
f ′(x0)或 y′|x＝x0，即 f ′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔxy＝_Δli_xm→_0__f_x_0_＋__ΔΔ_x_x－__f__x.0
莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是 莱比锡大学的道德哲学教授，母亲出生在一个教授家庭.15岁时， 他进了莱比锡大学学习，他广泛阅读了培根、开普勒、伽利略 等人的著作，并对他们的著作进行深入的思考和评价．在听了 教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学 产生了浓厚的兴趣.17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学， 并获得了哲学硕士学位.20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大 学．这一年，他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》．这 是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真 理性论证归结于一种计算的结果.
[正解] ∵f(x)在 x0 可导，
∴ lim Δx→0
fx0－Δx－fx0 Δx
＝－ lim －Δx→0
fx0－Δx－fx0 －Δx
＝－f ′(x0)．
课时作业
（点此链接）
重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的 概念．
难点：导数的概念的理解．
变化率问题
思维导航 1．我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发 现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越 慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？
新知导学
1．当空气容量从 V1 增加到 V2 时，气球的半径从 r(V1)增加 rV2－rV1
C．f ′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)
D．f ′(x0)＝fx0＋ΔΔxx－fx0
[答案] A
[解析] B 中Δlixm→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]表示函数值的变化量的 极 限 ； C 中 f(x0 ＋ Δx) － f(x0) 表 示 函 数 值 的 变 化 量 ； D 中 fx0＋ΔΔxx－fx0表示函数的平均变化率．
B．f(x0)＋Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
[解析] 根据定义，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
4．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数可表示为( )
A．f ′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
B．f ′(x0)＝Δlixm→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]
牛刀小试
1．若函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋
Δx,1＋Δy)，则ΔΔxy等于( A．4 C．4＋2Δx
)
B．4x D．4＋2(Δx)2
[答案] C
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝4Δx＋
2Δx2，∴ΔΔyx＝4＋2Δx.
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
第三章
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 课时作业
自主预习学案
1.理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率． 2．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬 时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率 就是导数，体会导数的思想及其内涵．
典例探究学案
平均变化率
求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率， 并计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再 直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化 率为fx0＋ΔΔxx－fx0＝x0＋ΔΔxx3－x30＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.
瞬时变化率
以初速度 v0(v0＞0)垂直上抛的物体，ts 时的高 度为 s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的瞬时速度．
[分析] 欲求瞬时变化率，先求平均变化率，然后正确求 解其趋向值即可．
[解析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt20)＝(v0－ gt0)Δt－12g(Δt)2，
[方法规律总结] 用导数定义求函数在某一点处的导数的
步骤为：一差、二比、三极限．
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)取极限，得导数 f ′(x0)＝Δlixm→0
Δy Δx.
求y＝f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数．
时平均速度的极限，即 v＝lim Δt→0
ΔΔst为 t 时刻的瞬时速度．
2．求瞬时速度的步骤：
第一步，求平均速度．
第二步，求极限．
已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单
位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为( )
A．3m/s
B．2m/s
C．1m/s
D．0m/s
[答案] D
[方法规律总结] 1.物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
一般地，如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体在时刻
t 的瞬时速度 v，就是物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内，当 Δt→0
1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员．此时，他 的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法 的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂 双辉共同奠定了微积分学.1676年，他到汉诺威公爵府担任法律 顾问兼图书馆馆长.1700年被选为巴黎科学院院士，建立了柏林 科学院并任首任院长．
的平均速度是( )
A．0.41
B．2
C．0.3
D．0.2
[答案] B
[解析] Δs＝(3＋2×2.1)－(3＋2×2)＝0.2， Δt＝2.1－2＝0.1， ∴ΔΔst＝00..21＝2.
3．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改 变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) C．f(x0)·Δx [答案] D
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13
＋2×1＋1)＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
ΔΔyx＝5Δx＋3ΔΔxx2＋Δx3＝5＋3Δx＋(Δx)2，
f ′(1)＝lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0[5＋3Δx＋(Δx)2]＝5.
准确把握概念的本质含义
[解析] ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－
4Δt2，
∴ΔΔSt ＝－Δ4tΔt2＝－4Δt，
∴v＝lim Δt→0
ΔΔSt ＝Δlit→m0
(－4Δt)＝0.
∴物体在 t＝2s 时的瞬时速度为 0m/s.
利用定义求函数在某点处的导数
求函数y＝－3x2在点x＝1处的导 数．
到 r(V2)，气球的平均膨胀率是____V_2_－__V_1____.
思维导航 2．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单 位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h＝h(t)，h是否 随t的变化均匀变化？
新知导学
2．高台跳水运动员当高度从 h(t1)变化到 h(t2)时，他的平均 ht2－ht1
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
导数及其应用 第三章
莱布尼兹(Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646－1716)是17,18 世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世 罕见的科学天才．他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学 知识宝库做出了不可磨灭的贡献．
设
f(x)在
x0
处可导，求 lim Δx→0
fx0－ΔΔxx－fx0的值．
[错解] ∵Δx→0，∴－Δx→0，
又∵f(x)在 x0 处可导，
∴ lim Δx→0
fx0－ΔΔxx－fx0＝f ′(x0)．
[辨析] 错误的原因是由于对导数的定义理解不清，函数 值f(x0－Δx)－f(x0)所对应的自变量的改变量为(x0－Δx)－x0＝－ Δx.
速度为_____t2_－__t1________.
3．已知函数 y＝f(x)，令 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 当 Δx≠0 时，比值__f__xx_22_－ －__xf_1x_1_＝__ΔΔ__xy___，为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，即函数 f(x)图象上两点 A(x1，f(x1))、B(x2，f(x2)) 连线的___斜__率_____．
某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，
f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )
A．－4
B．－8
C．6
D．－6
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝－2x2＋1，则质点从 x＝1 到 x＝2 的平均 速度为
v ＝ΔΔyx＝f22－－f11 ＝[－2×22＋12]－－[1－2×12＋1]＝－6，故选 D．
当 x0＝1，Δx＝12时， 平均变化率的值为 3×12＋3×1×12＋122＝149.
[方法规律总结] 1.求函数 y＝f(x)从 x0 到 x 的平均变化率 的步骤为：
(1)求自变量的增量 Δx＝x－x0. (2)求函数的增量 Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x＋Δx)－f(x0)． (3)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0. 2．要注意 Δx，Δy 的值可正，可负，但 Δx≠0，Δy 可为零， 若函数 f(x)为常值函数，则 Δy＝0.
[分析] 问题只给出了一个孤立的点，而非变化范围，所 以要先构造点附近的一个变化范围，以便求解平均变化率，从 而利用[解定析义] 求当函x数从在1此变点到处1的＋导Δ数x 时．，函数值 y 从－3 变到－3(1 ＋Δx)2，函数值 y 关于 x 的平均变化率为：f1＋ΔΔxx－f1＝ －31＋ΔΔxx2－－3＝－6－3Δx，当 Δx 趋于 0 时，平均变化率 趋于－6，所以 f ′(1)＝－6.
函数在某点处的导数
思维导航 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？如何描述物 体在某一时刻的运动状态？
新知导学
4．函数
y＝f(x)在
x＝x0
处的瞬时变化率是 lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作
f ′(x0)或 y′|x＝x0，即 f ′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔxy＝_Δli_xm→_0__f_x_0_＋__ΔΔ_x_x－__f__x.0
莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是 莱比锡大学的道德哲学教授，母亲出生在一个教授家庭.15岁时， 他进了莱比锡大学学习，他广泛阅读了培根、开普勒、伽利略 等人的著作，并对他们的著作进行深入的思考和评价．在听了 教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学 产生了浓厚的兴趣.17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学， 并获得了哲学硕士学位.20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大 学．这一年，他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》．这 是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真 理性论证归结于一种计算的结果.
[正解] ∵f(x)在 x0 可导，
∴ lim Δx→0
fx0－Δx－fx0 Δx
＝－ lim －Δx→0
fx0－Δx－fx0 －Δx
＝－f ′(x0)．
课时作业
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重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的 概念．
难点：导数的概念的理解．
变化率问题
思维导航 1．我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发 现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越 慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？
新知导学
1．当空气容量从 V1 增加到 V2 时，气球的半径从 r(V1)增加 rV2－rV1
C．f ′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)
D．f ′(x0)＝fx0＋ΔΔxx－fx0
[答案] A
[解析] B 中Δlixm→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]表示函数值的变化量的 极 限 ； C 中 f(x0 ＋ Δx) － f(x0) 表 示 函 数 值 的 变 化 量 ； D 中 fx0＋ΔΔxx－fx0表示函数的平均变化率．
B．f(x0)＋Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
[解析] 根据定义，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
4．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数可表示为( )
A．f ′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
B．f ′(x0)＝Δlixm→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]
牛刀小试
1．若函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋
Δx,1＋Δy)，则ΔΔxy等于( A．4 C．4＋2Δx
)
B．4x D．4＋2(Δx)2
[答案] C
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝4Δx＋
2Δx2，∴ΔΔyx＝4＋2Δx.
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
第三章
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 课时作业
自主预习学案
1.理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率． 2．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬 时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率 就是导数，体会导数的思想及其内涵．
典例探究学案
平均变化率
求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率， 并计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再 直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化 率为fx0＋ΔΔxx－fx0＝x0＋ΔΔxx3－x30＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.
瞬时变化率
以初速度 v0(v0＞0)垂直上抛的物体，ts 时的高 度为 s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的瞬时速度．
[分析] 欲求瞬时变化率，先求平均变化率，然后正确求 解其趋向值即可．
[解析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt20)＝(v0－ gt0)Δt－12g(Δt)2，
[方法规律总结] 用导数定义求函数在某一点处的导数的
步骤为：一差、二比、三极限．
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)取极限，得导数 f ′(x0)＝Δlixm→0
Δy Δx.
求y＝f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数．
时平均速度的极限，即 v＝lim Δt→0
ΔΔst为 t 时刻的瞬时速度．
2．求瞬时速度的步骤：
第一步，求平均速度．
第二步，求极限．
已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单
位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为( )
A．3m/s
B．2m/s
C．1m/s
D．0m/s
[答案] D