已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法
一、公式法
例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以1
2
n +，得
113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2
n
n
a 是以1222a 11==为首项，以23
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22
n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222
n
n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为
11
3
222
n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22
n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法
例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=
所以数列{}n a 的通项公式为2
n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+
+-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n n a n =+-
评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231n n n a a +-=⨯+，进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+，
即得数列{}n a 的通项公式。

例4 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以1
3n +，得
111
21
3333n n n n n a a +++=++， 则
111
21
3333n n n n n a a +++-=+，故 11223
211
2232
111122122()()()(
)33333
333
212121213
()()()()3333333332(1)11111()1
333333
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
因此1
1(13)
2(1)2113133133223n n n n n
a n n ---=++=+-
-⨯， 则211
33.322
n n n a n =
⨯⨯+⨯-
评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n n n a a +=+⨯+转化为111
21
3333n n n n n a a +++-=+，进而求出11223
21111223
21(
)()()(
)333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+，即得数列3n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

三、累乘法
例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故1
32
112
21
12211(1)(2)21
(1)1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53
32
5
!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
⋅⋅⋅
⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯
所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=⨯⨯⨯
评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为
1
2(1)5n n n
a n a +=+，
进而求出
1
32
112
21
n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅
⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。

例6已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，
求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥
①
所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++
+-+
②
用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥
故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥ 所以1
3
22212
2
!
[(1)43].2
n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
⋅⋅⋅
⋅=-⋅⋅⨯=
③
由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知
11a =，则21a =，代入③得!13452
n n a n =⋅⋅⋅⋅
⋅=。

所以，{}n a 的通项公式为!.2
n n a =
评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为
1
1(2)n n
a n n a +=+≥，进而求出
1
3
212
2
n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅
⋅，
从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

四、待定系数法
例7 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯
④
将1235n n n a a +=+⨯代入④式，得12355225n n n
n n a x a x ++⨯+⨯=+⨯，等式两边消去2n a ，得13552
5n n n x x +⋅+⋅=⋅，两边除以5n
，得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-
⑤
由1
156510a -=-=≠及⑤式得50n
n a -≠，则11525
n n n
n a a ++-=-，则数列{5}n
n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n n a -=+。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n
n n a a +=+⨯转化为1
15
2(5)n n n n a a ++-=-，
从而可知数列{5}n
n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列
{}n a 的通项公式。

例8 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+ ⑥
将13524n n n a a +=+⨯+代入⑥式，得
1352423(2)n n n n n a x y a x y ++⨯++⨯+=+⨯+
整理得(52)24323n n x y x y +⨯++=⨯+。

令52343x x y y +=⎧⎨
+=⎩，则5
2
x y =⎧⎨=⎩，代入⑥式得
115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+
⑦
由11522112130a +⨯+=+=≠及⑦式，
得5220n
n a +⨯+≠，则115223522
n n n
n a a +++⨯+=+⨯+， 故数列{522}n n a +⨯+是以1152211213a +⨯+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此1522133n n n a -+⨯+=⨯，则1133522n n n a -=⨯-⨯-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+⨯+转化为
115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+，从而可知数列{522}n n a +⨯+是等比数列，进而求
出数列{522}n
n a +⨯+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

例9 已知数列{}n a 满足2
1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ⑧ 将2
12345n n a a n n +=+++代入⑧式，得
2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，则 222(3)(24)(5)2222n n a x n x y n x y z a xn yn z +++++++++=+++
等式两边消去2n a ，得22(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++，
解方程组3224252x x x y y x y z z +=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，则31018x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，代入⑧式，得
2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ ⑨
由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠及⑨式，得2310180n a n n +++≠
则212
3(1)10(1)18
231018
n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=⨯，则42231018n n a n n +=---。

评注：本题解题的关键是把递推关系式212345n n a a n n +=+++转化为
2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列
2{31018}n a n n +++是等比数列，进而求出数列2{31018}n a n n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

五、对数变换法
例10 已知数列{}n a 满足5
123n
n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为5
11237n
n n a a a +=⨯⨯=，，所以100n n a a +>>，。

在5
123n
n n a a +=⨯⨯式两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg2n n a a n +=++ ⑩ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++
○
11
将⑩式代入○11式，得5lg lg 3lg 2(1)5(lg n n a n x n y a xn y ++++
+=
++，两边消去
5lg n a 并整理，得(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则
lg35lg 25x x x y y +=⎧⎨
++=⎩，故lg 34lg 3lg 2164x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入○11式，得1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
lg (1)5(lg )41644164
n n a n a n +++++=+++ ○12 由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
lg 1lg 71041644164a +⨯++=+⨯++≠及○12式， 得lg 3lg 3lg 2lg 04164
n a n +
++≠， 则
1lg3lg3lg 2
lg (1)41645lg3lg3lg 2lg 4164
n n a n a n ++
+++=+++
， 所以数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164n a n +
++是以lg 3lg 3lg 2
lg 74164+++为首项，以5为公比的等比数列，则1
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)541644164
n n a n -+++=+++，因此111111
1116
164
4
44
111111
16
16
4
4
4
4
11111116
16
4
4
4
4
55514
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464
(lg 7lg 3lg 3lg 2)5lg 3lg 3lg 2
[lg(7332)]5
lg(332)
lg(7332)5lg(332)lg(733
n n n n n n n n n n n n a n ---------=+
++---=+++---=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅1115116
4
541515116
4
2)
lg(73
2
)
n n n n n -------⋅=⋅⋅
则11
54151516
4
73
2
n n n n n a -----=⨯⨯。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5
123n
n n a a +=⨯⨯转化为
1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
lg (1)5(lg )41644164n n a n a n ++
+++=+++，从而可知数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164n a n +++是等比数列，进而求出数列lg 3lg 3lg 2
{lg }4164n a n +++的通项
公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

六、迭代法
例11 已知数列{}n a 满足3(1)2
115n
n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)21n n n n a a ++=，所以1
21323(1)2321
2
[]
n n n n n n n n
n a a a
---⋅-⋅⋅--==
2(2)(1)
32(2)(1)
3
(3)(2)(1)
1
12(3)(2)(1)
(1)
12
3(1)22
3(2)23(1)233(2)(1)23
323
(2)(1)213!21
[]n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a
-+---+--+-+--++
+-+-+----⋅⋅--⋅-⋅⋅---⋅-⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅=====
=
又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
3
!25n n n n n a --⋅⋅=。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

即先将等式3(1)2
1n
n n n
a a ++=两边取常用对数得1lg 3(1)2lg n n n a n a +=+⨯⨯，即
1
lg 3(1)2lg n n n
a n a +=+，再由累乘法可推知(1)12
3!21
32
112
21
lg lg lg lg lg lg lg5lg lg lg lg n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --⋅⋅---=⋅⋅
⋅⋅⋅=，从而1(1)3!2
2
5
n n n n n a --⋅⋅=。

七、数学归纳法
例12 已知数列{}n a 满足11
228(1)8
(21)(23)9
n n n a a a n n ++=+
=++，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由122
8(1)
(21)(23)
n n n a a n n ++=+
++及189a =，得
2122322243228(11)88224
(211)(213)992525
8(21)248348
(221)(223)25254949
8(31)488480
(231)(233)49498181a a a a a a +⨯=+
=+=
⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=
⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=
⨯+⨯+⨯ 由此可猜测22
(21)1
(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当1n =时，212
(211)18
(211)9
a ⨯+-==⨯+，所以等式成立。

（2）假设当n k =时等式成立，即22
(21)1
(21)
k k a k +-=+，则当1n k =+时， 122
8(1)
(21)(23)
k k k a a k k ++=+
++ 22222222
222222
2
2
22
222(21)18(1)(21)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)
(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +-+=+++++-+++=
++++-+++=
++++-+=
+++-=
+++-=
++2
由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*
n N ∈都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

八、换元法
例13 已知数列{}n a 满足111
(14124)116n n n a a a a +=
+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令124n n b a =+，则2
1(1)24
n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=
-，代入11
(14124)16
n n n a a a +=+++得 22
1111(1)[14(1)]241624
n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+
因为1240n n b a =+≥，故111240n n b a ++=+≥ 则123n n b b +=+，即113
22
n n b b +=+， 可化为11
3(3)2
n n b b +-=
-， 所以{3}n b -是以1131243124132b a -=+-=+⨯-=为首项，以2
1
为公比的等比数列，因此1
21132()
()2
2n n n b ---==，则21()32n n b -=+，即21
124()32
n n a -+=+，得 2111
()()3423
n n n a =
++。

评注：本题解题的关键是通过将124n a +的换元为n b ，使得所给递推关系式转化
113
22
n n b b +=
+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。