专题7：角平分线模型造全等 教师版

专题07 角平分线模型构造全等三角形
模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直
当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.
【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直
当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等，利用相关结论解决问题.
【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等
当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.
【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线
当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线，点P 角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P 作PM //OB 或PM //OA 即可.即有OMP ∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.
【模型例题讲解】
1、如图，D 是≌ABC 的BC 边的中点，AE 平分≌BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________
解：如图，延长CE ，AB 交于点F .
AE 平分≌BAC ，AE ⊥EC ∴≌F AE =≌CAE ，≌AEF =≌AEC =90°
在≌AFE 和≌ACE 中
EAF EAC
AE AE
AEF AEC =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠∠∠∴≌AFE ≌ACE （ASA ）∴AF =AC =16，EF =EC ，∴BF =6 又D 是BC 的中点，∴BD =CD ∴DE 是≌CBF 的中位线∴DE =1
2
BF =3
2、在四边形ABCD 中，≌ABC 是钝角，≌ABC +≌ADC =180°，对角线AC 平分≌BAD .
（1）求证：BC =CD ；（2）若AB +AD =AC ，求≌BCD 的度数；
解:(1)如图，过点C 作CM ≌AB ，交AB 的延长线于点M ;作CN ≌AD ，垂足为N ，
AC 平分≌DAB ，∴CM ＝CN
又 ≌ABC +≌ADC ＝180°，≌MBC +≌ADC ＝180° ∴≌NDC ＝≌MBC ，在≌NDC 与≌MBC 中 ⎪⎩
⎪
⎨⎧CM =CN MBC ＝∠NDC ∠，BMC ＝∠DNC ∠∴BC =DC (2)如图，延长AB 到B ，使BB ＝AD AB +AD ＝AC ，≌AB ＝AC 由(1)知≌ADC ＝≌BBC ;在≌ADC 与≌BBC 中 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=BE AD EBC ＝∠ADC ∠BC =DC ≌≌ADC ≌≌EBC ，故AD ＝EC 又 AE ＝AC ，≌AE ＝AC ＝EC 故≌ABC 为等边三角形，≌≌CAB ＝60°; ≌≌BAD ＝120°，≌BCD ＝360°-180°-120°＝60°即≌BCD ＝60°
3、 如图, ABN CBN ∠=∠, P 为BN 上的一点，并且PD BC ⊥于点D ,2AB BC BD +=,求证：180BAP BCP ∠+∠=︒.
证明 过点P 作PE AB ⊥于点E .
,,PE AB PD BC ⊥⊥且ABP CBP ∠=∠,
PE PD ∴=.在Rt PBE ∆和Rt PBC ∆中， BP BP =,
PE PD =
Rt PBE ∴∆≌Rt PBC ∆,BE BD ∴=.
2,,,AB BC BD BC CD BD AB BE AE +==+=-
AE CD ∴=.,,PE AB PD BC ⊥⊥ 90PEB PDB ∴∠=∠=︒.
在PAE ∆和Rt PCD ∆中, PE PD =
PEB PDC ∠=∠ AE DC =
∴Rt PAE ∆≌Rt PCD ∆,PCB EAP ∴∠=∠.
180BAP EAP ∠+∠=︒,180BAP BCP ∴∠+∠=︒.
练习： 1.如图，，M 是BC 的中点，DM 平分
，
则
）A. 30°
B. 35°
C. 45°
D. 60°
【解析】过点M N ，如图所示：
DM平分，
M是BC的中点，，，
又AM为.
2.如图，在≌ABC中，≌ABC＝2≌C，BQ和AP分别为≌BAC和≌ABC的角平分线，若≌ABQ
的周长为18，BP＝4，则AB的长为7．
解：≌BQ平分≌ABC，≌≌CBQ＝≌ABC，≌≌ABC＝2≌C，≌≌CBQ＝≌C，
≌BQ＝CQ，≌BQ+AQ＝CQ+AQ＝AC≌，过点P作PD≌BQ交CQ于点D，如图，
则≌CPD＝≌CBQ，≌ADP＝≌AQB，
≌≌AQB＝≌C+≌CBQ＝2≌C，≌≌ABC＝≌ADP，≌AP平分≌BAC，
≌≌BAP＝≌CAP，≌AP＝AP，≌≌ABP≌≌ADP（AAS），
≌AB＝AD，BP＝PD，≌AB+BP＝AD+PD＝AD+CD＝AC≌，
由≌≌得BQ+AQ＝AB+BP，≌≌ABQ的周长为18，BP＝4，
≌AB+BQ+AQ＝AB+BP+AB＝2AB+4＝18，≌AB＝7．
3如图，在≌AB C中，AB=AC，≌A=30°，E为BC延长线上一点，≌ABC与≌AC E的平分线相交于点D，则≌D的度数为（）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
【解答】A
【解析】≌≌ABC与≌AC E的平分线相交于点D，≌≌DCE=≌DCA，≌CBD=≌ABD，
即
.
4
CP
BP交于点P
，若
，则.
【解析】
平分
平分
E
又，
过点P的延长线，垂足分别为点E、F、G，如图所示：
由角平分线的性质可得，AP是
.
5如图，在≌ABC中，≌BAC＝60°，≌C＝40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是≌BAC，≌ABC的角平分线．求证：BQ+AQ＝AB+BP．
【解答】证明：延长AB到D，使BD＝BP，连接PD，则≌D＝≌5．
≌AP，BQ分别是≌BAC，≌ABC的平分线，≌BAC＝60°，≌ACB＝40°，
≌≌1＝≌2＝30°，≌ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，≌3＝≌4＝40°＝≌C，
≌QB＝QC，又≌D+≌5＝≌3+≌4＝80°，≌≌D＝40°．
在≌APD与≌APC中，
≌≌APD≌≌APC（AAS），≌AD＝AC．即AB+BD＝AQ+QC，≌AB+BP＝BQ+AQ．
6如图，≌ABC的≌B和≌C的平分线BD，CE相交于点F，≌A＝60°，（1）求≌BFC的度数．（2）求证：BC＝BE+CD．
【解答】解：（1）在≌ABC中，≌ABC+≌ACB＝180°﹣≌A＝180°﹣60°＝120°，≌≌ABC，≌ACB的平分线BE，CD相交于点F，
≌≌FBC＝≌ABC，≌FCB＝≌ACB，
≌≌FBC+≌FCB＝（≌ABC+≌ACB）＝×120°＝60°，
在≌BCF中，≌BFC＝180°﹣（≌FBC+≌FCB）＝180°﹣60°＝120°．
（2）证明：在BC上取一点O，使得BO＝BE，
≌≌A＝60°，BD、CE是≌ABC的角平分线，
≌≌BFC＝120°，≌≌BFE＝≌CFD＝60°，在≌BFE和≌BFO中，
，≌≌BFE≌≌BFO，（SAS）≌≌BFO＝≌BFE＝60°，
≌≌CFO ＝≌BFC ﹣≌BFO ＝60°，在≌OCF 和≌OCD 中，
，
≌≌OCF ≌≌DCF （ASA ），≌CO ＝CD ，≌BC ＝BO +CO ，≌BC ＝BE +CD ．
7如图，已知120AOB ︒∠=，OP 平分AOB ∠．D ，E 分别在射线OA ，OB 上．
（1）在图1中，当90ODP OEP ︒∠=∠=时，求证：OD OE OP +=；
（2）若把图1中的条件“90ODP OEP ︒∠=∠=”改为180ODP OEP ︒∠+∠=，其他条件不变，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
解：（1）≌120AOB ︒∠=，OP 平分AOB ∠， ≌≌POD=≌POE=
62
01
AOB ∠=︒≌90ODP OEP ︒∠=∠=， ≌≌OPD=≌OPE=906030︒-︒=︒,≌OD=12OP ，OE=1
2
OP≌OD OE OP +=； （2）OD OE OP +=仍成立，
证明：过点P 作PN≌OA 于N ，PM≌OB 于M ，则≌PNO=≌PMO=90︒， ≌OP 平分AOB ∠，PN≌OA ，PM≌OB ，≌PN=PM ， ≌180ODP OEP ︒∠+∠=，180ODP NDP ∠+∠=︒， ≌≌NDP=≌OEP ，在≌PND 和≌PME 中，
PND PME
PDN PEM PN PM
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，≌≌PND≌≌PME ，≌ND=ME ，由（1）可得ON=OM=1
2OP ，
≌OD+OE=ON -ND+OM+ME=ON+OM=OP ．
8如图，在四边形ABCD中，≌D＝≌B＝90°，点O为BD的中点，且OA平分≌BAC．（1）求证：OC平分≌ACD；（2）求证：OA≌OC；（3）求证：AB+CD＝AC．
证明：（1）过点O作OE≌AC于E，≌≌ABD＝90゜，OA平分≌BAC，≌OB＝OE，≌点O为BD的中点，≌OB＝OD，≌OE＝OD，≌OC平分≌ACD；
（2）在Rt≌ABO和Rt≌AEO中，
，≌Rt≌ABO≌Rt≌AEO（HL），≌≌AOB＝≌AOE，
同理求出≌COD＝≌COE，≌≌AOC＝≌AOE+≌COE＝×180°＝90°，≌OA≌OC；
（3）≌Rt≌ABO≌Rt≌AEO，≌AB＝AE，
同理可得CD＝CE，≌AC＝AE+CE，≌AB+CD＝AC．
9如图，在≌ABC中，AB＝7，BC＝14，M为AC的中点，OM≌AC交≌ABC的平分线于O，OE≌AB交BA的延长线于E，OF≌BC．垂足为F．
（1）求证：AE＝CF．（2）求线段BE的长．
【解答】（1）证明：连接OA,≌OB平分≌ABC，又≌OE≌AB，OF≌BC，
≌OE＝OF．≌OM≌AC，M为AC中点，≌OM垂直平分AC，≌OA＝OC，
在Rt≌AEO与Rt≌CFO中，
,≌Rt≌AEO≌Rt≌CFO（HL），≌AE＝CF；
（2）解：在Rt≌BEO与Rt≌BFO中，
，≌≌BEO≌≌BFO（HL），≌BE＝BF，≌AB＝7，BC＝14，
设AE＝CF＝x，≌x+7＝14﹣x，≌，≌．
10如图，在≌ABC中，AB＝7，BC＝14，M为AC的中点，OM≌AC交≌ABC的平分线于O，OE≌AB交BA的延长线于E，OF≌BC．垂足为F．
（1）求证：AE＝CF．（2）求线段BE的长．
【解答】（1）证明：连接OA,≌OB平分≌ABC，又≌OE≌AB，OF≌BC，≌OE＝OF．≌OM≌AC，M为AC中点，
≌OM垂直平分AC，≌OA＝OC，
在Rt≌AEO与Rt≌CFO中，
,≌Rt≌AEO≌Rt≌CFO（HL），≌AE＝CF；
（2）解：在Rt≌BEO与Rt≌BFO中，
，≌≌BEO≌≌BFO（HL），≌BE＝BF，≌AB＝7，BC＝14，
设AE＝CF＝x，≌x+7＝14﹣x，≌，≌．。