(2021年整理)变速行程问题解题方法

变速行程问题解题方法
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变速行程问题
课程简介：
变速变道问题属于行程中的综合题,用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。

对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单,其实也有很多技巧,使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式;有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中,为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；
⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是,在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来;
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．
例题精讲：
例1.小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇。

若小红提前4分出发，且速度不变,小强每分走90米，则两人仍在A处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米？
解: 小红速度不变，则两次从出发到A点相遇时间不变
那么小强第二次就比原来少用了4分钟，就要多走4×70=280米
即同样路程,提速后每分钟多走90—70=20米
小强每分钟90米,从家到A处用时:280÷20=14分钟
小华和小强家相距:(52+70）×（14+4）=2196米
例2.A、B两地间有一座桥(桥的长度忽略不计），甲、乙二人分别从两地同时出发，3小时后在桥上相遇.如果甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍能恰在桥上相遇。

如果甲延迟0。

5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇．则A、B两地相距多少千米?
解：甲提速而乙速度不变，则乙到达桥上仍然用3小时，那么甲用3-0。

5=2。

5小时甲提速后2。

5小时多走2。

5×2=5千米才到达桥
甲原速度为5÷（3-2.5）=10千米∕小时
乙减速而甲速度不变,则甲到达桥上仍然用3小时,那么甲用3+0.5=3。

5小时
乙减速后3.5小时少走3.5×2=7千米刚好到达桥
乙原速度为7÷（3.5-3)=14千米∕小时
AB相距路程：(14+10）×3=72千米
答：
例3.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米,且两车还从A，B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米。

甲车原来每小时行多少千米？
解：甲原速度与乙提速速度比为12：(30-12）=2:3
甲提速与乙原速度比为（30—16）：16=7：8
乙提速后甲到相遇点占全程的2/5
甲提速后到相遇点占全程的7/15
两相遇点相距28千米,占全程的7/15-2/5=1/15
全程为28×15=420千米
甲乙原速度和为420/6=70千米/小时
甲原速度为（70+5)*2/5=30千米/小时
乙原速度为70—30=40千米/小时
答：
例4.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点。

如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米.
问:甲原来的速度是每小时多少千米?
解：甲原速度与乙提速速度比为10：（20—10）=1：1
甲提速与乙原速度比为（15—5）：5=2:1
乙提速后甲到相遇点占全程的1/2
甲提速后到相遇点占全程的2/3
两相遇点相距15千米,占全程的2/3-1/2=1/6
全程为15×6=90千米
甲乙原速度和为90/5=18千米/小时
甲原速度为（18+4）/2=11千米/小时
乙原速度为18-11=7千米/小时
答:
例5.甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行(不一定同时出发)，甲骑自行车，乙步行。

两人在距A 地500米处第一次相遇。

甲继续走到C地后发现忘带东西,于是将速度提高一倍，立即返回A地，并在距A地400米处追上乙。

甲到达A地后不作停留立即前往B地，在距A地300米处与乙第二次相遇，最后两人同时到达目的地。

那么BC两地相距多少米？
解: 设500米处为D点
依据题意甲提速后甲乙速度比为(100+300+300):100=7:1
全程长度为300+300*7=2400米
甲从D到C与C到D的速度比为1：2,时间比为2：1此段总时间与乙从D向A走(100—100/7）米的时间相等,
DC长度为:(100-100/7）/3＊7=200米
BC长度=2400-500—200=1700米
答:
例6.甲、乙两人同时同地同向出发,沿环形跑道匀速跑步.如果出发时乙的速度是甲的2。

5倍,当乙第一次追上甲时,甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即减少20％，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是多少米？
解: 开始甲乙速度比为2：5
他们在距离起点行驶环形跑道2/（5—2)=2/3的位置追上
后来速度比为甲：乙=5:8
第二次相遇在第一次后的5/（8-5)=5/3的位置即两次相遇点距离为全周1/3
周长为100＊3=300米
答：
例7.甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑,每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的三分之二。

甲跑第二圈的速度比第一圈提高了三分之一，乙跑第二圈的速度提高了五分之一，已知沿跑道看,从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米,问这条跑道长多少米？
解: 第一次相遇点距离甲起跑点占全程的3/5
甲到头时乙跑了全程的1÷3×2=2/3
甲转头而乙未转头的速度比为2:1
乙到转头点时甲距离乙全程1/3
都转头后的甲乙速度比为5:3
相遇点距离甲起跑点1/3×3/8=1/8
两相遇点距离占全程的3/5—1/8=19/40
跑道长190÷19/40=400米
答:
例8.甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛,两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑400米,乙每分钟跑360米,当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速,乙的速度比原来快四分之一,甲每分钟比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点.问：甲、乙两人谁先到达终点?
解：甲领先1圈,需要:
400÷(400—360）=10分钟
此时,
甲剩余10000-400×10=6000米
乙剩余6000+400=6400米
甲还需：6000÷(400+18）=14又74/209分钟
乙还需:6400÷［360×（1+1/4）]=14又2/9分钟＜14又74/209分钟
所以乙先到达终点
答：
9某学校学生计划乘坐旅行社的大巴前往郊外游玩,按照计划，旅行社的大巴准时从车站出发后能在约定时间到达学校,搭载满学生在预定时间到达目的地，已知学校的位置在车站和目的地之间，大巴车空载的时候的速度为60千米/小时，满载的时候速度为40千米/小时，由于某种原因大巴车晚出发了56分钟，学生在约定时间没有等到大巴车的情况下，步行前往目的地，在途中搭载上赶上
来的大巴车,最后比预定时间晚了54分钟到达目的地，求学生们的步行速度．解：大巴车空载速度为1千米/分，满载为2/3千米/分
因为大巴车晚到学校56分钟，假设学生没走,到达目的地也应该晚56分钟，实际提前2分钟，却大巴到达学校时学生已经走了56分钟.
大巴车提前2分钟的路程2/3×2=4/3千米实际是由大巴车的速度差完成的.
即大巴车追上学生用的时间为4/3÷（1-2/3）=4分钟
学生走的路与大巴车追的路程相同：4×1=4千米
学生走的总时间为56+4=60分钟=1小时
学生的速度为4÷1=4千米/小时
答：
10两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。

第一班的学生做车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处,让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫。

学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车是50公里/小时，要使两个班的学生同时到达少年宫，第一班的学生步行了全程的几分之几？(学生上下车时间不计）
解：学生与汽车的速度比分别为1:10及2:25；
设一班步行点为A点，学校到A点的距离为1；
一班到达A点时二班走了1/10；
二班与汽车相遇走的路程为（1—1/10) ×2/27=1/15;
汽车此时距离A点路程为9/10-1/15=5/6;
一班从A点向前走的路程与二班的路程相同也为1/15
汽车追击路程差为5/6+1/15=9/10
一班又走了路程为9/10÷(10—1) ×1=1/10
一班走的总路程为1/15+1/10=1/6
全程为1+1/6=7/6
一班步行走了全程的1/6÷7/6=1/7
答：
巩固练习：
11小张开车从甲地到乙地送货，从乙地返回甲地时的速度是去时速度的3倍，所用时间减少了40分钟.小张送货时，从甲地到乙地用了多少分钟？
12上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后
甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地。

那么，乙从B地出发时是8点多少分？
13甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行.他们相遇时，甲比乙多跑90米。

相遇后，乙的速度减少50％，甲到B后立即调头，追上乙时离A地还有90米,那么AB两地的之间的距离是多少？
14甲、乙两人同时从环形跑道的同一点出发，同向而行，甲以相同的速度跑了3圈，乙第一圈的速度是甲速度的二分之一，第二圈速度是甲的1。

5倍.第三圈跑完后,与甲同时到达终点,乙第三圈的平均速度是甲的多少倍?
15甲车以每小时160千米的速度,乙车每小时20千米的速度,在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发.每当甲车追上乙车一次,甲车减速三分之一而乙车则加速三分之一.问在两车的速度刚好相等的时刻，他们分别行使了多少千米？
16丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫比原来速度的10%倒退1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此类推，按第N次,使丁丁的玩具以原来的速度的N×10％倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按多少次遥控器？。