河南省信阳市息县第一高级中学高三数学理下学期期末试题含解析

河南省信阳市息县第一高级中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 不等式﹣x2+|x|+2＜0的解集是（）
A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|x＜﹣2或x＞2} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}参考答案：
B
考点：绝对值不等式．
专题：计算题．
分析：把原不等式中的x2变为|x|2，则不等式变为关于|x|的一元二次不等式，求出解集得到关于x 的绝对值不等式，解出绝对值不等式即可得到x的解集．
解答：解：原不等式化为|x|2﹣|x|﹣2＞0
因式分解得（|x|﹣2）（|x|+1）＞0
因为|x|+1＞0，所以|x|﹣2＞0即|x|＞2
解得：x＜﹣2或x＞2．
故选B．
点评：本题考查一元二次不等式的解法，解题的突破点是把原不等式中的x2变为|x|2，是一道中档题．
2. 已知m、n是两条不同的直线，α、β、是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( ）
A．若
B．若m不垂直于理，则m不可能垂直于内的无数条直线
C．若∥，且，则∥且∥
D．若，∥，，则∥
参考答案：
C
略3. 已知非负实数x、y满足2x+3y﹣8≤0且3x+2y﹣7≤0，则x+y的最大值是( )
A．B．C．3 D．2
参考答案：
C
考点：简单线性规划．
专题：数形结合．
分析：①画可行域②z为目标函数纵截距③画直线0=x+y，平移直线过（1，2）时z有最大值
解答：解：画可行域如图，z为目标函数z=x+y，可看成是直线z=x+y的纵截距，
画直线0=x+y，平移直线过A（1，2）点时z有最大值3．
故选C．
点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
4. 若函数f（x）为偶函数，且在（0，∞）内是增函数，又f（﹣2015）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）
A．{x|x＜﹣2015或0＜x＜2015} B．{x|x＜﹣2015＜x＜0或x＞2015}
C．{x|x＜﹣2015或x＞2015} D．{x|﹣2015＜x＜0或0＜x＜2015}
参考答案：
A
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由条件可得到f=0，f（x）在（﹣∞，0）内为减函数，从而解xf（x）＜0可得，
，或，从而根据f（x）的单调性即可得出原不等式的解集．【解答】解：根据题意，f=0，f（x）在（﹣∞，0）内是减函数；
∴由xf（x）＜0得：
，或；
即，或；
∴0＜x＜2015，或x＜﹣2015；
∴原不等式的解集为{x|x＜﹣2015，或0＜x＜2015}．
故选A．
5. 已知p为直线x+y﹣2＝0上的点，过点p作圆O：x2+y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点p有（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 无数个
参考答案：
B
连接，则四边形为正方形，因为圆的半径为，，原点（圆心）到直线距离为符合条件的只有一个，故选B.
6. 函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y=e x关于y轴对称,则f(x)=( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
7. 在△ABC中，若，则△ABC是( )
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形参考答案：
D
8. 某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )种
A. 30
B.
60 C 48 D 52
参考答案：
A
9. 已知集合，，下列说法正确的是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
10. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）．
A．B．C．
D．
参考答案：
C
解：，继续，
，，继续，
，，继续，
，，停业．
故选．输出为．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，若直线：与轴相交于点，与轴相交于点，且被圆
截得的弦长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为_________________.参考答案：
3
略
12. 若等差数列满足,则当n = 时，的前n 项和最大. 参考答案：
8
由条件知道，因为数列是等差数列，故公差小于0
或者大于0，
故得到符号相反，故
，故数列中前8项大于0，从第九项开始小于
0，故得到前8项的和最大。

故答案为：8.
13. 已知，为奇函数，，则不等式的解集为．
参考答案：
∵y=f（x）﹣1为奇函数，
∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，令g（x）=，，
则g′（x）=＞0，
故g（x）在递增，
f（x）＞cosx，
得g（x）=＞1=g（0），
故x＞0，
故不等式的解集是（0，）.
14. 数列{a n}满足，则a n= ．
参考答案：
【考点】8H：数列递推式．
【分析】由题意可知数列{}是以为首项，以5为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可求得=，即可求得a n．
【解答】解：由﹣=5， =，
则数列{}是以为首项，以5为公差的等差数列，
∴=+5（n﹣1）=，
∴a n=，
数列{a n}的通项公式为：a n=，
故答案为：．
15. 已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且b=a ，
cosB=
cosA ，c=
+1，
则△ABC 的面积为 ．
参考答案：
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由已知可求sinB=sinA ，cosB=cosA ，利用同角三角函数基本关系式可求cosA ，
cosB ，进而可求A ，B ，C 的值，由余弦定理c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，可得
a ，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：∵由b=
a
，可得：sinB=
sinA ，
由cosB=cosA ，可得：cosB=cosA ，
∴（sinA ）2+（cosA ）2=1，解得：sin 2
A+cos 2A=，
∴结合sin 2A+cos 2A=1，可得：cosA=，cosB=，
∴A=
，B=
，可得：C=π﹣A ﹣B=
，
∴由余弦定理c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，可得：（）2=a 2+（
）2﹣2α×
a×cos
，
∴解得：a=
，
∴S △ABC =acsinB=（
）×
=
．
故答案为：
．
16. 如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则=_______________.
参考答案：
0或
略
17. 定义在R 上的函数是增函数，则满足的x 取值范围
是 .
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分） 如图，已知三棱锥
的三条侧棱
、
、
两两垂直，且
，
．
（Ⅰ）求
点到平面的距离； （Ⅱ）设
、
、
依次为线段
、
、
内的点．证明：
是锐角三角形．
参考答案：
解：（Ⅰ）依题意得
，
则
中，
边上的高
．
设点到平面的距离为，则由
即．即点到平面的距离为．……6分 （Ⅱ）设，则有
依题意得
则有
为锐角，同理可得、均为锐角．
故是锐角三角形．……12分
解法二：依题意，建立如图所示坐标系．
（Ⅰ）则，
设平面的法向量为m，则有
设点到平面的距离为
．……6分
（Ⅱ）设，则有，则
，又、、三点不共线为锐角，同理可得、均为锐角．
故是锐角三角形．……12分
19. 已知公差不为零的等差数列{a n}中，，且，，成等比数列.
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）记数列的前n项和S n，求S n.
参考答案：
（1）；(2)见解析。

（1）设公差为d，则由，，成等比数列. 得整理得，
所以。

（2）利用“错位相减法”求和
20. （本小题满分12分）
已知．
（1）当为常数且在区间变化时，求的最小值；
（2）证明：对任意的，总存在，使得．
参考答案：
（1）；（2）证明见解析．
试题分析：（1）当为常数时，设，是关于的二次函数，利用二次函数图象与性质求解；（2）设，按照零点存在性定理去判断．可利用导数计算函数的极值，有关端点值，作出证明．
试题解析：（1）当为常数时，
设，
当时，由知，在上递增，其最小值
．．．4分
①当，即时，在区间内单调递减，
，
所以对任意在区间内均存在零点，即存在，使得．
②当，即时，在内单调递减，在内单调递增，
所以时，函数取最小值，
又，
若，则，，
所以在内存在零点；
若，则，所以在内存在零点，所以，对任意在区间内均存在零点，即存在，使得．
结合①②，对任意的，总存在，使得．
考点：1、利用导数求闭区间上函数的最值；2、函数的零点；3、利用导数研究函数的单调性．21. 已知等差数列{a n}满足a1=1，且a2、a7﹣3、a8成等比数列，数列{b n}的前n项和T n=a n﹣1（其中a 为正常数）．
（1）求{a n}的前项和S n；
（2）已知a2∈N*，I n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求I n．
参考答案：
【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）通过a2、a7﹣3、a8成等比数列，计算可得d=1或，进而可得结论；
（2）通过a2∈N*及a1=1可得a n=n，进而可得b n=a n﹣1（a﹣1）（n∈N*），分a=1、a≠1两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）设{a n}的公差是d，
∵a2、a7﹣3、a8成等比数列，
∴a2?a8=，
∴（1+d）（1+7d）=（1+6d﹣3）2，
∴d=1或，
当d=1时，；
当时，；
（2）∵a2∈N*，a1=1，
∴{a n}的公差是d=1，即a n=n，
当n=1时，b1=a﹣1，
当n≥2时，，
∵b1=a﹣1=a1﹣1（a﹣1）满足上式，
∴b n=a n﹣1（a﹣1）（n∈N*），
当a=1时，b n=0，∴I n=0；
当a≠1时，，
∴aI n=a（a﹣1）+2a2（a﹣1）+…+（n﹣1）a n﹣1（a﹣1）+na n（a﹣1），
∴=a n﹣1﹣na n（a﹣1），∴I n=na n﹣，
∴I n=．
【点评】本题考查求数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
22. 如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；
（2）设,求面积的最大值及此时的值。

参考答案：。