九上二次函数的实际应用(最值问题)
专题05二次函数的实际应用(含解析)2023年秋人教版数学九年级上册期中专题复习
专题05 二次函数的实际应用图形问题1．某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好．小组讨论后，同学们做了以下试验：请根据以上图案回答下列问题：(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为，当为，窗框的面积是______；(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为，试探究长为多少时，窗框的面积最大，最大为多少？(3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．2．工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，6m AB 1m ABCD 2m 6m AB ABCD 6m ABCDEF AB DE ∥AB DE 3AB =1AF BC ==，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？3．某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．(1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．图形运动问题4．如图（单位：cm ），等腰直角以2cm/s 的速度沿直线l 向正方形移动，直到与重合，当运动时间为x s 时，与正方形重叠部分的面积为y cm 2，下列图象中能反映y 与x 的函数关系的是（ ）90A B ∠=∠=︒135C F ∠=∠=︒MH H G GN MH MNGH ABC V AB AC =:3:4AF BF =G H F AB AC BC BCDE BE IJ MN CD ∥∥∥BF x =BE y =y x x x EFG V EF BC EFG V ABCD． ．． ．．如图，一个边长为的菱形，过点作直线沿线段向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线部分面积为，则与直线之间的函数图象大致为（ ）A ． ． ．．的边长为，点O 为正方形的中心，出发沿运动，连接的运动速度为260︒A l AB ⊥AB l y y l 2cm BC 2cm/s．．．．销售利润问题．某公司经销一种绿茶，每千克成本为元，市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在(1)求y与x的函数关系式；(2)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？8．某公司生产的某种时令商品每件成本为投球问题水平距离竖直高度(1)根据题意，填空：________________；(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度水平距离竖直高度①根据上述数据，求抛物线解析式；增长率问题(m)x 0123(m)y 0 3.567.5=a x /mx 02461112/m y 2.38 2.62 2.7 2.62 1.721.4213．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（ ）A． B ． C ． D ． 14．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．B ．C ．D ．15．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y 与之间的函数关系式为（ ）A ．B ．C ．D ．16．目前，随着新冠病毒毒力减弱，国家对新冠疫情防控的政策更加科学化，人们对新冠病毒的认识更加理性．佩戴口罩可以阻断传播途径，在一定程度上能够有效防止感染新型冠状病毒肺炎．某药品销售店将购进一批A 、B 两种类型口罩进行销售，A 型口罩进价m 元每盒，B 型口罩进价30元每盒，若各购进m 盒，成本为1375元．(1)求A 型口罩的进价为多少元？(2)设两种口罩的售价均为x 元，当A 型口罩售价为30元时，可销售60盒，售价每提高1元，少销售5盒；B 型口罩的销量y （盒）与售价x 之间的关系为；若B 型口罩的销售量不低于A 型口罩的销售量的10倍，该药品销售店如何定价？才能使两种口罩的利润总和最高．17．重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克元，售价是每千克元，年销量为万千克多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十分畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金万元，该种蔬菜的年销量将是原年销量的倍，它们的关系如下表：GDP GDP y GDP x y x ()2.412y x =+()22.41y x =-()22.41y x =+()()2.4 2.41 2.41y x x =++++()21801461x -=()21801461x +=()24611180x -=()24611180x +=x y a x ()12y a x =-()21y a x =-()21y a x =-()21y a x =-3005y x =-2310．X m参考答案：，，米，四边形是平行四边形，又，90A B ∠=∠=︒Q AF BC ∴P 1AF BC ==Q ∴ABCF 90A B ∠=∠=︒Q重叠部分为三角形，面积如图，当时，重叠部分为梯形，面积∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为纵观各选项，只有C 选项符合．y =510x <≤12y =⨯，图象开口向上的抛物线的一部分；②当时，如图，③当时，如图，故选：．【点睛】此题考查了动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，解题的关键是不同取值范围内，图象和图形的对应关系，进而求解．6．D21332y x x x =⨯=12x <≤()1133132y x =⨯⨯+-=23x <≤()23323322y x =⨯--=-A∴，由题得，，∴，∵，由题得，∴．故选D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象的应用，求出分段函数的解析式是解题的关键．PE AD ⊥cm BQ t =cm AE PE t ==2cm QE AB ==cm BP BQ t ==212s t =（3）根据，即可作答．【详解】（1）解：设y 与x 的函数关系式为：，把，代入解析式得：，解得，∴y 与x 的函数关系式为；（2）根据题意，得；当时，，解得：，，∵这种商品的销售价不得高于90元/千克，∴，∴应将销售价定为70元/千克；（3），∵，∴当销售单价时，销售利润w 的值最大，最大值为2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、得出二次函数的关系式是解题的关键．8．(1)(2)第18天的日销售利润最大为450元(3)，1500元【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式，故可利用待定系数法可求解；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围，进而求解即可．()222340120002852450w x x x =-+-=--+()0y kx b k =+≠()50,140()80,80501408080k b k b +=⎧⎨+=⎩2240k b =-⎧⎨=⎩2240y x =-+()()()250502240234012000w x y x x x x =-⋅=--+=-+-2000w =22340120002000x x -+-=170x =2100x =70x =()222340120002852450w x x x =-+-=--+20-<85x =296m x =-+1a =②不能．当时，，该运动员第一次发球能过网，故答案为：不能；（2）判断：没有出界．第二次发球：，令，则，，解得舍，，，该运动员此次发球没有出界．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是正确求出函数解析式．13．C【分析】根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度季度总值约为元，第三季度总值为元，则函数解析式即可求得．【详解】解：根据题意得：关于的函数表达式是：，故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．14．B【分析】利用4月份该厂家口罩产量月份该厂家口罩产量从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9x =()20.0294 2.7 2.2 2.24y =--+=<∴20.02(5) 2.88y x =--+0y =20.02(4) 2.880x --+=17(x =-)217x =21718x =<Q ∴GDP x GDP ()2.41x +GDP ()22.41x +y x ()22.41y x =+2=(1⨯+2)()21801461x +=。
初三数学二次函数的应用问题例题总结
第 1 讲 二次函数应用·实际问题一、知识点梳理要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 要点诠释：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： ①首先必须了解二次函数的基本性质； ②学会从实际问题中建立二次函数的模型； ③借助二次函数的性质来解决实际问题.二、典型例题类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值例1.某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？举一反三：变式：某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大．类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题例2．如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题例3．某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体(看作一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面2103m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距离水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1)求这条抛物线的关系式；(2)在某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335m，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由．举一反三：变式：一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？类型四、利用二次函数求图形面积问题例4．在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格矩形场地，如图所示．已知砖墙在地面上占地总长度160 m，问分隔墙在地面上的长度x为多少时所围场地总面积最大?并求最大面积?本次课课后练习一、选择题1. 已知某商品的销售利润y(元)与该商品的销售单价x(元)之间满足220140020000y x x =-+-，则获利最多为( )元.A.4500B.5500C.450D.200002．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为2y ax bx c =++(a ≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )．A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒3. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1 元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（ ）.A ．5元B ．10元C ．0元D ．3600元4．设计师以y=2x 2﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（ ）.A ．17B ． 11C ． 8D ．75．某民俗旅游村为接待游客住宿的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( )．A ．14元B ．15元C ．16元D ．18元 6．（2016•衢州）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m ），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m 2．二、填空题7．出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出(6-x)个，则当x ＝_______元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．8．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是 .9．有一个抛物线形状的拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示，则此抛物线的解析式为______ ______.10．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是 m .11．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是 m . 12．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．三、解答题13．某商场将进价40元的商品按50元出售时，每月能卖500个，已知该商品每涨价2元，其月销售量就减少20个，当单价定为多少时，能够获得最大利润?14.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．15．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？。
二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案
第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值． 解：4)1(2-+=x y当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x解：4)1(2-+=x y∵30≤≤x ，对称轴为1-=x∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ．⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x •≤34或36≤x≤39．作业布置： 1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是23-． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)解：29)23(22-+-=m x y ∵0)23(22≥-x ，要使0>y ，只有029>-m ∴29>m4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 4.5米 ．解：当05.3=y 时，21 3.55y x =-+05.3= 45.052⨯=x ，5.1=x 或5.1-=x （不合题意，舍去）5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m ．解：t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时，5max =s ，所以，最高点距离地面725=+(米)．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天 在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天 行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．解：设每件价格降价x 元，利润为y 元， 则：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x 当5=x ，625max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．8．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．解：设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ，得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ，)0,268(+C ，∴5.242688≈++=OC (米)9．（20XX 年青岛市）在20XX 年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？解：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，• ∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ， ∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式； (2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？ 解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000. (3)设总利润为W 元则：W=Q －1000×30－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元． 答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．11．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解：)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x 160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．12．(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元）．，应选乙地．。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数(教案)
此外，我也注意到，在解答学生疑问时，需要更加耐心和细致。有些学生对于二次函数的理解可能还不够深入，这就需要我在课后给予他们更多的关注和指导，帮助他们真正掌握这部分内容。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
5.二次函数的实际应用：求解最值问题。
二、核心素养目标
1.理解并掌握二次函数的定义、图像与性质，培养直观想象和逻辑推理能力；
2.学会运用二次函数顶点式及其图像变换，提高问题解决能力和数学建模素养；
3.通过二次函数的实际应用，培养数据分析、数学抽象及数学应用素养，增强解决实际问题的能力；
4.在探索二次函数图像与性质的过程中，培养数学运算和数学探究素养，提高合作交流与反思评价的能力。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数：
1.二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数；
2.二次函数的图像与性质：开口方向、顶点、对称轴、最小（大）值；
3.二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k；
4.二次函数的图像变换：平移、伸缩；
二次函数的应用最值问题
二次函数的应用最值问题二次函数是一个在数学中广泛应用的函数模型。
在实际问题和生产生活中，二次函数的最值问题也经常出现。
本文将介绍二次函数的最值问题，包括实际问题中的二次函数最值、生产生活中的二次函数最值、利用配方法求二次函数的最值、利用导数求解二次函数的最值、利用作图法求解二次函数的最值、利用公式法求解二次函数的最值和利用对称轴求解二次函数的最值等方面。
一、实际问题中的二次函数最值在实际问题中，二次函数最值通常出现在诸如最大利润、最小成本、最高产量等问题中。
例如，一个工厂生产一种产品，该产品的成本包括固定成本和可变成本。
固定成本是不随产量变化的成本，而可变成本是随产量变化的成本。
因此，总成本函数是一个开口向下的二次函数。
为了使总成本最低，需要找到自变量的取值，使得总成本函数的导数为零，并判断导数是否为零，从而确定最值是否存在。
二、生产生活中的二次函数最值在生产生活中，二次函数最值也经常出现。
例如，一个公司投资一个项目，该项目的收益随投资额变化，且收益函数是一个开口向下的二次函数。
为了使收益最大，需要找到投资额的最优解。
最优解可以通过求解收益函数的导数并令其为零得到。
三、利用配方法求二次函数的最值配方法是求二次函数最值的一种常用方法。
该方法的基本思想是将二次函数转化为一个完全平方项和一个常数项之和的形式，然后利用平方的非负性求出最值。
具体步骤如下：（1）将二次函数配方为一个完全平方项和一个常数项之和的形式；（2）根据平方的非负性，求出这个完全平方项的取值；（3）将这个完全平方项的取值代入配方后的二次函数中，求出最值。
四、利用导数求解二次函数的最值利用导数求解二次函数的最值是一种比较简单的方法。
该方法的基本思想是先求出二次函数的导数，然后令导数为零，解出此时的自变量取值，最后比较所有自变量取值对应的函数值，找出最大（或最小）的一个即可。
五、利用作图法求解二次函数的最值作图法是一种直观地求解二次函数最值的方法。
二次函数的实际应用(典型例题分类)
二次函数与实际问题1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等）解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等．例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系并求出绿地面积的最大值@变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式当x为多长时，花园面积最大·例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多设销售单价为x元，(0＜x≤元，那么（1）销售量可以表示为____________________；（2）销售额可以表示为____________________；（3）@（4）所获利润可以表示为__________________；（5）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________。
~变式练习2：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有哪些变量其中自变量是_______,因变量是___________.（2）假设增种棵橙子树，那么果园里共有_________棵橙子树,这时平均每棵树结_________个橙子.（3）如果橙子的总产量为y个，请你写出x与y之间的关系式_______________.（4）果园里种_____棵橙子树橙子的总产量最多，最多是________________。
部编人教版九年级数学上册22.3.2 用二次函数求实际中的应用问题(课件)
知2－讲
由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知 道应如何定价能使利润最大了吗？ 定价为65元时，利润最大.
总结
知2－讲
用二次函数解决最值问题的一般步骤： (1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的
实际意义，确定自变量的取值范围； (2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通
过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
知2－讲
(1)设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变 化．我们先来确定y随x变化的函数解析式．涨价x元时， 每星期少卖_1_0_x__件，实际卖出(_3_0_0_－__1_0_x_)_件，销售额 为_(_6_0_＋__x_)_(_3_0_0_－__1_0_x_)元，买进商品需付_4_0_(_3_0_0_－__1_0_x_)
知识点 1 用二次函数解析式表示实际问题
知1－讲
运用二次函数的代数模型表示实际问题时，实际上 是根据实际问题中常量与变量的关系，构造出 y=ax2+bx+c,y=a(x-h)2+k或y=a(x-x1)(x-x2)等二次函 数模型，为运用二次函数的性质解决实际问题奠定 基础.
知1－讲
例1 某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日 租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增 加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各 项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y 元，(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)． (1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 (_1__4_0_0_－__5_0_x_)_(_0_≤__x_≤__2_0_)_元(用含x的代数式表示)； (2)求租赁公司日收益y(元)与每日租出汽车的辆数x之 间的函数关系式．
知1－讲
九年级上册数学二次函数求最值
九年级上册数学二次函数求最值
二次函数是初中数学中比较重要的一部分，其中求最值在应用中也十分常见。
下面我们来具体看一下二次函数求最值的方法和应用。
一、二次函数的基本概念
1.一般式：$y=ax^{2}+bx+c$
2.顶点式：$y=a(x-h)^{2}+k$
3.轴对称性：对称轴为直线$x=h$
4.单调性：当$a>0$时，图像开口向上，函数单调递增；当$a<0$时，图像开口向下，函数单调递减。
5.极值与最值：当$a>0$时，二次函数在顶点处取得最小值，叫做最小值；当$a<0$时，二次函数在顶点处取得最大值，叫做最大值。
二、二次函数求最值的方法
1.化简法：将二次函数化简成顶点式，直接读出最值。
2.公式法：应用二次函数最值的公式，即$y=\frac{-\Delta}{4a}$。
3.判别式法：应用二次函数的判别式，$\Delta=b^{2}-4ac$。
如果
$\Delta>0$，则函数有两个零点，此时最值在两个零点中较小的那一个取得；如果$\Delta=0$，则函数只有一个零点，此时最值就是该点的纵坐标；如果$\Delta<0$，则函数没有零点，最值在顶点处取得。
三、二次函数求最值的应用举例
1.确定二次函数的最大值或最小值；
2.确定二次函数含参方程的最大值或最小值；
3.求解物理问题中的极值；
4.用二次函数求解最大面积或最短路程问题；
5.用最大值或最小值求解最佳决策问题。
以上就是二次函数求最值的基本概念、方法和应用的介绍。
掌握了这些知识点，我们就能够在实际问题中运用二次函数求解最值的问题。
二次函数的实际应用----最值问题以及设计方案问题
二次函数的实际应用——最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最大值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当abx 2-=，a b ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小1.二次函数c 中，2b ac =，且0x =时4y =-，则（ ） A.4y =-最大 B.4y =-最小 C.3y =-最大 D.3y =-最小2..已知二次函数22)3()1(-+-=x x y ，当x ＝_________时，函数达到最小值。
3..若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（）A.最大值B..最大值C.最小值D.有最小值4.若二次函数2()y a x h k =-+的值恒为正值, 则 _____. A. 0,0a k <> B. 0,0a h >> C. 0,0a k >> D. 0,0a k << 5.函数92+-=x y 。
当-2<X<4时函数的最大值为6.若函数322-+=x x y ，当24-≤≤-x 函数值有最 值为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（3分） （2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（3分）（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4分）2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式；(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？类型二1.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
数学人教版九年级上册二次函数的应用——面积最值问题
二次函数的应用——面积最值问题教学设计一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
2、课时安排：教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。
3.学情及学法分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
二、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
专题11 二次函数的实际应用-九年级数学上册(解析版)
专题11二次函数的实际应用考点1：拱桥问题；考点2：抛球、喷泉问题；考点3：面积问题；考点4：利润问题。
1．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=−125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m解：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y＝﹣4代入y=−125x2，得x＝±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB＝20m．即水面宽度AB为20m．答案：C．2．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=−1400（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC ⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16940米B．174米C．16740米D．154米题型01拱桥问题解：∵AC⊥x轴，OA＝10米，∴点C的横坐标为﹣10，当x＝﹣10时，y=−1400（x﹣80）2+16=−1400（﹣10﹣80）2+16=−174，∴C（﹣10，−174），∴桥面离水面的高度AC为174m．答案：B．3．（易错题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．43米B．52米C．213米D．7米解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+32，∵BC＝10，∴点B（﹣5，0），∴0＝a×（﹣5）2+32，∴a=−350，∴大孔所在抛物线解析式为y=−350x2+32，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，∵EF＝14，∴点E的横坐标为﹣7，∴点E坐标为（﹣7，−3625），∴−3625b）2，∴x1=b，x2=−b，∴MN＝4，+b﹣（b）|＝4∴m=−925，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=−925（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x＝﹣10时，y=−92，∴−92925（x﹣b）2，∴x1=b，x2∴单个小孔的水面宽度＝|+b）﹣（+b）|＝52（米），答案：B．4．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒．解：如图，设从O到A花10秒，从O到B花26秒，则由对称性可知OA＝BC，故从B到C也花10秒，故从O到C一共花26+10＝36（秒），答案：36．5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±6，所以水面宽度增加到26米，答案：26米．6．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，2=1222，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点P（6，4），设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，解得：a=−19，∴y=−19（x﹣6）2+4=−19x2+43x；∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；（2）在y=−19x2+43x中，令y＝3得：3=−19x2+43x；解得x＝3或x＝9，∴BC＝9﹣3＝6（m），∴S1＝AB•BC＝3×6＝18（m2）；∵18＞122，∴S1＞S2．7．（易错题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1=−124，∴y1=−124x2，当x＝12时，y1=−124×122＝﹣6，∴桥拱顶部离水面高度为6m．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2=112，∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2=112（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3=112（x+6）2+1②设彩带的长度为Lm，则L＝y2﹣y1=112（x﹣6）2+1﹣（−124x2）=182−+4=18(−4)2+2，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2m．8．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（）A．9m B．10m C．11m D．12m解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：4+=836+=0，解得=−14=9，∴抛物线解析式为y=−14（x﹣2）2+9，所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，答案：A．9．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面403米，则水流下落点B离墙距离OB是（）题型02抛球、喷泉问题A．2米B．3米C．4米D．5米解：设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+403，把点A（0，10）代入抛物线解析式得：a=−103，∴抛物线解析式：y=−103（x﹣1）2+403．当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．∴OB＝3米．答案：B．10．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m解：由题意可得，h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，因为a＝﹣5＜0，故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，答案：C．11．（易错题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点4m．解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a=−23，b=23，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y=−23x2+23x+h，将（4，0）代入可得−23×42+23×4+h＝0，解得h＝8．答案：8．12．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝2s．解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，答案：2．13．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为53米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=−112x2+bx+c，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为10米．解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：由题意可知，点A（0，53），点B（8，53），代入y=−112x2+bx+c，得：==−112×82+8+，解得=23=53．∴y=−112x2+23x+53，当y＝0时，0=−112x2+23x+53，解得x1＝10，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．∴该学生推铅球的成绩为10m．答案：10．14．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m 时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a=−112，∴抛物线的函数表达式为y=−112（x﹣2）2+3；当x＝0时，y=−112×4+3=83＞2.44，∴球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25=−112（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．15．（易错题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=−150，b=910，求基准点K的高度h；②若a=−150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为b＞910；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，答案：66；（2）①∵a=−150，b=910，∴y=−150x2+910x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y=−150×752+910×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a=−150，∴y=−150x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即−150×752+75b+66＞21，解得b＞910，答案：b＞910；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a=−2125，∴抛物线解析式为y=−2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y=−2125×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．16．（易错题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；（2）求出y2与x之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则+=35=30，解得：=5=30，∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，∵y2的图象是过原点的抛物线，设y2＝ax2+bx，∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，∴+=3536+6=60，解得：=−5=40，∴y2＝﹣5x2+40x，答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，①1＜x≤6时，y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x−72）2+1254∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，又∵1＜x≤6，∴当x=72时，y的最大值为1254；②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x−72）2−1254，∵a＝5＞0，∴抛物线开口向上，又∵对称轴是直线x=72，∴当x＞72时，y随x的增大而增大，∵6＜x≤8，∴当x＝8时，y的最大值为70，∵1254＜70，∴高度差的最大值为70米．题型03面积问题17．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方）案是（A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，=12•AC•BH，∵S△ABC；∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为12×4×4＝8方案3：半圆的半径=8米，∴此时菜园最大面积=H(8)22=32米2＞8米2；答案：C．18．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（）A．193B．194C．195D．196解：∵AB＝m米，∴BC＝（28﹣m）米．则S＝AB•BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m．即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）．由题意可知，≥628−≥15，解得6≤m≤13．∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，∴当m＝13时，S＝195，最大值即花园面积的最大值为195m2．答案：C．19．（易错题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．183m2C．243m2D．4532m2解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，设CD＝AE＝xm，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE=12BC＝（6−12x）m，∴AD＝CE=3BE＝（63−32x）m，AB＝AE+BE＝x+6−12x＝（12x+6）m，∴梯形ABCD面积S=12（CD+AB）•CE=12（x+12x+6）•（63−32x）338x2+33x+183=−338（x﹣4）2+243，＝243．∴当x＝4时，S最大即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；答案：C．20．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为75m2．解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，故饲养室的最大面积为75平方米，答案：75．21．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝150m时，矩形土地ABCD的面积最大．解：设AB＝xm，则BC=12（900﹣3x），由题意可得，S＝AB×BC＝x×12（900﹣3x）=−32（x2﹣300x）=−32（x﹣150）2+33750∴当x＝150时，S取得最大值，此时，S＝33750，∴AB＝150m，答案：150．22．（易错题）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是300m2．解：如图，∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a=−14x+10，3a=−34x+30，∴矩形区域ABCD的面积S＝（−34x+30）x=−34x2+30x，∵a=−14x+10＞0，∴x＜40，则S=−34x2+30x（0＜x＜40）；∵S=−34x2+30x=−34（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为−34＜0，∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．答案：300．23．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的长为8m、DG的长为4m；（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x−72）2+1474，∵﹣3＜0，∴当x =72时，总种植面积有最大值为1474m 2，即BC 应设计为72m 总种植面积最大，此时最大面积为1474m 2．24．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（）A ．5元B ．10元C ．0元D ．36元解：设每件需降价的钱数为x 元，每天获利y 元，则y ＝（135﹣x ﹣100）（100+4x ）即：y ＝﹣4（x ﹣5）2+3600∵﹣4＜0∴当x ＝5元时，每天获得的利润最大．答案：A ．25．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y =14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间解：设每天的利润为W 元，根据题意，得：W ＝（x ﹣28）（80﹣y ）﹣5000＝（x ﹣28）[80﹣（14x ﹣42）]﹣5000=−14x 2+129x ﹣8416=−14（x ﹣258）2+8225，∵当x ＝258时，y =14×258﹣42＝22.5，不是整数，∴x ＝258舍去，∴当x ＝256或x ＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，题型04利润问题又∵想让客人得到实惠，∴x＝260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．答案：B．26．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，9+3+=0.816+4+=0.925+5+=0.6，解得=−0.2=1.5=−1.9，所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t=−2=−1.52×(−0.2)=3.75，则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．答案：C．27．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是1264元．解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，解得a＝b，∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）＝﹣4a2+48a+1120＝﹣4（a﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴当a＝6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总利润最多为1264元．答案：1264．28．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元（利润＝总销售额﹣总成本）．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：10+=2020+=10，解得=−1=30，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，答案：121．29．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为0＜a＜6．解：设未来30天每天获得的利润为y，y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a化简，得y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，∴−260−42×(−4)＞29.5，解得，a＜6，又∵a＞0，即a的取值范围是：0＜a＜6．30．（易错题）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：时间：第x（天）1≤x≤3031≤x≤60日销售价（元/件）0.5x+3550日销售量（件）124﹣2x（1≤x≤60，x为整数）设该商品的日销售利润为w元．（1）直接写出w与x的函数关系式w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？解：（1）当1≤x≤30时，w＝（0.5x+35﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620，当31≤x≤60时，w＝（50﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，∴w与x的函数关系式w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)，答案：w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)；（2）当1≤x≤30时，w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296，∵﹣1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；当31≤x≤60时，w＝﹣40x+2480，∵﹣40＜0，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240，∵1296＞1240，∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．31．（易错题）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m 为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y ＝80+0.01x2．（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】解：（1）根据题意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．（2）∵8﹣m＞0，∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500，∴当x＝500时，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）．∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400．∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大，∴当x＝300时，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．（3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润：当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A 产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大．。
中考数学重难点专题16 二次函数的实际问题中最值问题(学生版)
中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题16二次函数的实际问题中最值问题【典型例题】1．（2022·浙江东阳·九年级期末）工厂加工某花茶的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．(1)求工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？(3)若工厂每天的利润要达到9750元，并尽可能让利于民，则定价应为多少元？【专题训练】一、解答题1．（2021·广东南雄·九年级期中）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出60件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多？最大盈利为多少元？2．（2021·山东·济宁学院附属中学一模）为了迎接六一儿童节的到来，某玩具店拟用8000元进购A种玩具，用5000元进购B种玩具．已知一个B种玩具进价比一个A种玩具进价多5元，又知进购A玩具的数量是B玩具数量的2倍．(1)A，B两种玩具的进价各是多少元？(2)玩具店将A种玩具定价为40元，并进行了市场调查，发现若按定价销售，每天能售出30件，每降价2元，每天能多售出10件，要使玩具店销售A种玩具的单日利润最高，A玩具应该降价多少元销售？单日最高利润是多少元？3．（2022·山东招远·九年级期末）新年前夕，金百超市在销售中发现：某服装平均每天可售出30套，每件盈利45元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．(1)要想平均每天在销售服装上盈利1750元，那么每套应降价多少元？(2)商场要想每天获取最大利润，每套应降价多少元？4．（2022·黑龙江龙凤·九年级期末）某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，每天的销售利润最大？最大利润是多少？5．（2022·山东莱芜·九年级期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．(1)求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？6．（2021·山东城阳·一模）高尔夫球场各球洞因地形变化而出现不等的距离，因此每次击球受地形的变化影响很大．如图，OA表示坡度为1：5山坡，山坡上点A距O点的水平距离OE为40米，在A处安装4米高的隔离网AB．在一次击球训练时，击出的球运行的路线呈抛物线，小球距离击球点30米时达到最大高度10米，现将击球点置于山坡底部O处，建立如图所示的平面直角坐标系（O、A、B及球运行的路线在同一平面内）．(1)求本次击球，小球运行路线的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）(2)通过计算说明本次击球小球能否越过隔离网AB？(3)小球运行时与坡面OA之间的最大高度是多少？7．（2021·山东青岛·一模）如图，一座温室实验室的横截面由抛物线和矩形'OAA B组成，矩形的长是16m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-116x2+bx+c表示，CD为一排平行于地面的加湿管．(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．(2)若加湿管的长度至少是12m，加湿管与拱顶的距离至少是多少米？(3)若在加湿管上方还要再安装一排恒温管(两排管道互相平行)，且恒温管与加湿管相距1.25m，恒温管的长度至少是多少米？。
《实际问题与二次函数》第一课时最值问题教案 教案
人教版数学九年级上22.3.1第一课时教学设计坐标是 .当x= 时，函数有最_______ 值，是 .讲授新课二、探究新知问题1: 体育课上，同学们都在准备体育测试。
小明从地面竖直向上抛出一个小球，铅球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系是2305h t t =-（06t ≤≤）。
小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动1：教师提出问题，学生尝试回答。
（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？ （3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？教师追问：如何求出球的最大高度呢？小组内探究分析：画出2305h t t =-（06t ≤≤）的图象，借助函数图象解决实际问题：学生通过思考，循序渐进找到解答问题的突破口，从而学会运用二次函数解决实际问题。
学生分组分析讨论，并回答问题。
结合学生生活创设情境，引导学生思考实际问题。
通过追问为学生提供解决此类问题的思路，让学生在问题解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系。
()230506h t t t=-≤≤从函数的图象看是一条抛物线的一部分可以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象的点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最值。
解：当= = 时，h有最大值244ac ba-= .∴小球运动的时间是时，小球运动到最大高度是.活动2：探究归纳如何求出二次函数y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？一般地，当a＞0（a____）时，抛物线_____(a≠0)的顶点是最低____( )点，也就是说，当x=（）时，y有最____（）值是_____。
巩固练习：教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m）与水平距离x（m）之间的关系为y=﹣x2+x，由此可知铅球推出的距离是（）A．10m B．3m C．4m D．2m或10m 让学生自主探究归纳，得出求二次函数的最小（大）值的结论。
九年级数学-二次函数与实际问题
第8讲 二次函数与实际问题知识导航1．建立数学模型，确定二次函数的解析式；2．利用二次函数的性质，解决实际生活中的最值问题； 3．分段函数关系式的确定.【板块一】球类运动问题方法技巧由几个特征点，确定函数关系式；求字母系数的取值问题，可构造不等式求解.【例】如图，排球运动员站在点O 处练习发球,将球从点O 正上方2m 的A 处发出,把球看成点，其运行的高度y (m ）与运行的水平距离x (m ）満足关系式y ＝a （x －6）2＋h ，已知球网与点O 的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距点O 的水平距离为18m ．（1）当h ＝2.6时,求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变x 的取值范围）； （2）当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网又不出边界，则h 的取值范围是多少?【解析】（1）当h ＝2.6时,y=(a －6）2＋2.6过点（0，2），36a =-0．6,a =160- ， 此时y ＝160-（x －6）2＋2.6； （2）当x =9时，y =160-⨯9＋2.6＝2.45＞2.43,所以球能过网；当y ＝0时 160-（x -6）2＋2.6＝0,x 1=6+18，x 2=6-舍去)，故球会出界； （3）y =a (x -6)2+h 过（0,2）,得2=36a ＋h 时,当x =9时,y=9a +h ＞2.43,解得h ＞19375．又当x =18时，y ≤0,得h ≥83．∴h 的取值范围是h ≥83.针对练习11．小明为了检测自己实心球的训练情况，在一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点A 的坐标为（0，169），球在最高点B 的坐标为（3,25)9. (1)求抛物线的解析式;(2)已知某市男子实心球的得分标准如表;求小明在实球训练中的得分;（3）在小明练习实心球的正前方离投掷点7米处有一个身高1.2米的小友在玩耍，问该小朋友是有危险如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全，否则视为危险），请说明理由？解：（1）抛物线的解析式是y ＝2125(3)99x --+；（2）将y ＝0代入y ＝2125(3)99x --+；求得x 1=-2(舍去)，x 2=8，小朋友掷出的距离是8米，得分是14分； （3）小朋友有危险，理由如下，将x ＝7代入y ＝2125(3)99x --+=1<1.2, ∴身高1.2米的小朋友有危险.【板块二】桥梁、隧道问题方法技巧建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，并结合函数图象进行分析.题型一 水位变化问题【例1】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ．DB组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16米，AE =8米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米，以FD 所在的直线为x 轴抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系. （1）求抛物线的解析式;（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h （单位：米）随时间t （单位：小时）的变化满足函数关系式：h ＝21(19)8(040)128t t --+≤≤．且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？【解析】（1）题意可得，顶点C 为（0，11），设抛物线解析式y ＝a x 2＋11， 由抛线对称性得B （8，8），∴8＝64a ＋11，a =364- ，抛物线解析式为231164y x =-+；（2）画出h ＝21(19)8(040)128t t --+≤≤的图象如右图. 当水面到顶点C 的距离不大于5米时，h ≥6，当h ＝6时，t 2＝35，t 1=3， 结合图象变化趋势，禁止通行时间为35－3＝32（小时）答：禁止船只通行时间为32小时.题型二 限宽限高问题【例2】如图，东湖隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA 为12m ，宽OB 为4m 隧道顶端D 到路面的距离为10m ，建立如图所示的直角坐标系. （1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m ，宽为4m ，隧道内设双向车道，问这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型供壁上需要安装两排禁示灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度不超过8.5m ,那么，两排灯的水平距离最小是多少米？【解析】（1）依题意D (6，10），C (12，4)，设抛物线解析式为y ＝a （x-6）2+10， 过（12，4），得36a ＋10=4,a ＝16- ∴该抛物线解析式为21(6)10;6y x =--+ （2）当x ＝4＋6＝10时，2122(106)106,63y =--+=故这辆货车能安全通过；（3）当y ＝8.5时, 21(6)108.5,6x --+=x 1＝3．x 2＝9，x 2－x 1＝6,又y ≤8,∴两排灯的水平距离最小是6米.针对练习21．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB 的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD 的宽为10米.（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现在有一辆载有救援物资从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥280千米（桥长忽略不计），货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处），当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行．试问：汽车按原来速度行驶，能否安全过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？解：（1）y ＝21;25x -(2)(280－40⨯1)÷40=6(小时)，当x =-5时,y =-1,1÷0.25=4,6＞4∴汽车按原来速度行驶，不能安通过此桥；（280-40⨯1）÷4＝60，∴要使货车安全通过此桥，速度应超过60千米/小时.【板块三】 市场销售问题方法技巧通过“利润＝售价-进价”“=100%⨯利润利润率进价”等公式建立函数模型，把利润问题转化成函数问题来解决.【例】武汉市某商业公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m （件）与时间t （天）的关系如下表：未来40天内，该商品每天的价格y （元／件）与时间t （天）的函数关系式为： 125(120,4140(2140,2t t y t t ⎧+≤≤⎪=⎨⎪+≤≤⎩（t 为整数）,根据以上提供的条件解决下列问题： （1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数的知识分别确定1≤t ≤20，21≤t ≤40时，满足这些数据的m （件）与t （天）之间的关系式;（2）请预测未来20天中哪一天的日销售利最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a ＜40给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐后的日销利润随时间t （天）的增大而增大，求a 的取值范围. 【解析】(1)当1≤t ≤20（t 为整数）时,m ＝一2t ＋100,当21≤t ≤40（t 为整数）时，m ＝t ＋40；{-2100(1204(2140t t m t t +≤≤=+≤≤））.（2）设前20天日销售利润为P 1元，后20天的日销售利调为P 2元， 当1≤t ≤20（t 为整数）时，P 1＝（－2t ＋100）211(2520)(15)612.542t t +-=--+，所以t ＝15，P 1有最大值612．5元当21≤t ≤40（t 为整数）时，P 2=（t+40）211(4020)800,22t t -+-=-+所以t ＝21时，P 2有最大值579.5元,综上可得：当t ＝15时，得最大利润为612.5元； (3)当1≤t ≤20（t 为整数）时P 1＝（－2t ＋100）211(2520)(152)500100,42t a t a t a +--=-+++- 对称轴为：t =15+2a,∵前20天中，每天扣除捐后的目利随时间t(天)的增大而増大，且t 为整数， ∴15＋2a ≥20，解得a ≥25，∴2.5≤a＜4．针对练习31.杰明公司生产的某种时令商品每件成本为20元，据市场调分析，五月份的日销售量m (件)与时间t （天）符合一次函数关系m ＝at ＋b 且t ＝2时，m ＝92;t =10时，m ＝76．而且前15人每天的价格y 1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为y 1＝0．25t ＋25（1≤t ≤15且为整数），第16天月底每天的价格y 2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为y=－0．5t ＋40（16≤t ≤31且t 为整数） （1）求m 与t 之间的函数关系式;(2）请预测五月份中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前15天中，该公司决定每销售一件商品就捐贈a 元利润（a ＜3）给希望工程，公司通过销售记录发现，前15天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t(天）的增大而增大，求a 的取值范围.解：（1）m ＝－2t ＋96；（2）设日销售利润为w ，根据题意，得：①当1≤t ≤15时,w =m (y 1-20)＝（-2t ＋96）（0.25t ＋25-20）=21(14)578,2t --+当t =14时，w 取值最大值，w 最大＝578②当16≤t ≤31时，w ＝m （y 2－20）＝t 2－88t ＋1920＝（t －44）2－16，∵抛物线开口向上，且对称轴t ＝44，∴当15≤t ≤3l 时，w 随t 的增大而减小，∴当t ＝16时，w 取得最大值，w 的最大值为768，∵768＞578，∴第16天销售利润最大，最大值为768元③∵w=2211(14)578(296)(142)48096,22t t a t a t a --+--+=-+++-∴102-<,抛物线开口向下，且前15天中，日销售得润随时间t （天）的增大而增大, 又t 为整数，∴对称轴x ＝2a ＋14≥15，∴a 12≥，又∵a ＜4 ，∴2≤a ＜3． 2．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？解：（1）设商家一次购买该种产品x 件时，销售单价恰好为2600元 3000－10（x －10）＝2600，解得x ＝50答：商家一次购买诚种产品50件时，销售单价恰好为2600元. （2）当0≤x ≤10时，y ＝（3000－2400）x ＝600x,当10＜x ≤50时，y ＝x [3000－10（x －10）－2400]＝－10x 2＋700x 当x ＞50时，y =(2600-2400)x =200x∴2600(01010700(1050200(50,x x x y x x x x x x x ≤≤⎧⎪=-+<≤⎨>⎪⎩，且整）且整）且整）（3）因为要满足一次购买的数量越多，所获的利润越大，所以y 应随x 的增大而增大,而y ＝600x 及y ＝200x 均是y 随x 的增大而增大；二次函数y ＝－10x 2＋700x ＝－10（x －35）2＋12250，当10＜x≤35，y 随x 的増大而增大， 当35＜x≤50封，y 随x 的增大而减小，因此x 的取值范围只能为10＜x ≤35， 即一次购买的数量为35件的销售单价恰好为最低销售单价. ∴当x ＝35时，最低销售单价为3000－10（35－10）＝2750（元）【板块四】 图形面积问题方法技巧正确建模，求出函数解析式，利用二次函数图象的性质結合自变量的取值范同，求出最值.【例】如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）要使长方体盒子的底面积为18cm ，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）如果把矩形硬纸板的四周分別剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状，同样大小的矩形，然后折合成一个有盖两长方体盒子，是否有侧面积最大的情況？若有，请求出最大值和此时剪去的正方形的边长；请说明理由.【解析】（1）正方形的边长为1cm（2）设正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2．①当在长边上剪去两个形状，大小相同的矩形时，y ＝2x （8－2x ）＋2x ·210-2131696(),266x x =--+当x =136时，y 最大1696=②当在短边上剪去两个形状，大小相同的矩形时，y=2x ·(10-2x)+2x ·28-27986(),233x x =--+当x =73时，y 最大98.3=比较①②知：当剪去的正方形的边长为73cm 时，盒子的面积最大，最大面积为298cm .3针对练习41．在一块□ABCD 的空地上划一块□MNPQ 进行绿化，如图□MNPQ 的顶点在 ABCD 的边上，已知∠A ＝60°，∠AMN ＝90°，且AM ＝PC ＝x m ,已知平行四边形ABCD 的边BC ＝20m ，AB ＝a m ，a 为大于20 m 的常数，设四边形MNHQ 的面积为S m（1）求S 关于x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围; （2）若a ＝40m ，求S 的最大值并求出此时x 的值; （3）若a ＝200,请直接写出S 的最大值.解：（1）S ＝S □ABCD －2S △AMN －2S △BNP 223(2)(20))(020);2a x x xx =---=-+<≤ （2）a ＝40时，S ＝2max ,10,S 2bx a-+=-== （3）a ＝200时，S max ＝ABCDM NPQ。
上册第二十二章 二次函数的应用(一)—最值问题人教版九级数学全一册课件
三级检测练
一级基础巩固练
6. 已知 x 人结伴去旅游共需支出 y 元，若 x，y 满足关系 式 y=2x2-20x+950，则当总支出最少时，人数为 5 .
7. 某单位商品的利润 y 与变化的单价数 x 之间的关系为 y=-5x2+10x，当 0.5≤x≤2 时，最大利润是 5 .
上册第二十二章 二次函数的应用（一）—最值问题 人教版 九级数 学全一 册课件
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4. 某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售 价不低于成本，且不高于 60 元，经市场调查，每天的销售量
y（单位：千克）与每千克售价 x（单位：元）满足一次函数
3. （例 2）商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 40 件，每件盈利 40 元. 为了扩大销售，增加盈利，尽 快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查 发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多 售出 4 件.
（1）若商场平均每天要盈利 2 400 元，每件衬衫应降 价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少 元？盈利最大是多少元？
上册第二十二章 二次函数的应用（一）—最值问题 人教版 九级数 学全一 册课件
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（3）若该公司按每销售一千克提取 1 元用于捐资助学，且保 证每天的销售利润不低于 3 600 元，问该羊肚菌销售价 格该如何确定. 解：①当12≤x≤20时， W=（x-12-1）y=（x-13）（-200x+4 400） =-200（x-17.5）2+4 050. ∴-200（x-17.5）2+4 050=3 600. 解得x1=16，x2=19. 定价为16≤x≤19. ②当20＜x≤24时，W=400（x-12-1）=400x-5 200≥3 600.解得22≤x≤24. 综上，销售价格确定为16≤x≤19或22≤x≤24.
初中数学几何模型与最值问题11专题-二次函数在实际应用中的最值问题(含答案)
初中数学几何模型与最值问题专题11 二次函数在实际应用中的最值问题1、某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：（1）请你根据表中数据，用所学过一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）3、怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少．4、“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）．（1）试求w与x之间的函数关系式；（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？5、把函数21:23(0)C y ax ax a a =--≠的图象绕点(,0)P m 旋转180，得到新函数2C 的图象，我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数．2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(,0)t ．（1）填空：t 的值为 （用含m 的代数式表示） （2）若1a =-，当12x t ≤≤时，函数1C 的最大值为1y ，最小值为2y ，且121y y -=，求2C 的解析式； （3）当0m =时，2C 的图象与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的右侧）．与y 轴相交于点D ．把线段AD原点O 逆时针旋转90，得到它的对应线段''A D ，若线''A D 与2C 的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．6、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；（2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．①分别求出当和时，与的函数关系式；①设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为．（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：（1）求p与x的函数关系式；（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．9、2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．①求每天B种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？①求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？10、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？11、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？12、某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.13、我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？专题11 二次函数在实际应用中的最值问题 答案1、某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？ 【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率是x ，10（1﹣x ）2=8.1，x =10%或x =190%（舍去）． 答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x ＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，①y =（9﹣4.1）（80﹣3x ）﹣（40+3x ）=﹣17.7x +352，①﹣17.7＜0，①y 随x 的增大而减小，①当x =1时，y 有最大值，y 大=﹣17.7×1+352=334.3（元）； 当9≤x ＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，①y =（8.1﹣4.1）（120﹣x ）﹣（3x 2﹣64x +400）=﹣3x 2+60x +80=﹣3（x ﹣10）2+380，①﹣3＜0，①当9≤x ≤10时，y 随x 的增大而增大，当10＜x ＜15时，y 随x 的增大而减小，①当x =10时，y 有最大值，y 大=380（元）．综上所述，y 与x （1≤x ＜15）之间的函数关系式为： 217.7352(19){ 36080(915)x x y x x x -+≤<=-++≤<，第10天时销售利润最大；（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a 元，由题意得：380﹣127.5≤（4﹣a ）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），252．5≤105（4﹣a ）﹣115，a ≤0.5． 答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p （千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：（1）请你根据表中数据，用所学过一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x 之间的函数表达式 （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元（a ＞0）的相关费用，当40≤x ≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a 的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用） 【解析】（1）假设P 与x 的一次函数关系,设函数关系式p kx b =+,则3060040300k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得301500k b =-⎧⎨=⎩,①301500p x =-+,检验:当35,450x P ==,当45,150,x P ==当50,0x P ==,均符合一次函数解析式 ①所求的函数关系式301500p x =-+,（2）设日销售利润()()()3030150030w P x x x =-=-+-,即()223024004500030403000w x x x =-+-=--+,当40x =时,w 有最大值为3000元, 故这批农产口的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大, （3）日获利()()()3030150030w p x a x x a =--=-+--, 即()()230240030150045000w x a x a =-++-+,对称轴这()2400301402302a x a +=-=+⨯-,若10a >,则当45x =时,w 有最大值,即22501502430w a =-<（不合题意）, 若10a <,则当1402x a =+时,w 有最大值, 把1402x a =+代入,可得2130101004w a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 当2430w =时,21243030101004a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,解得12a =,238a =（舍去）, 综上所述,a 的值为2.3、怡然美食店的A 、B 两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；（2）该店为了增加利润，准备降低A 种菜品的售价，同时提高B 种菜品的售价，售卖时发现，A 种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B 种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少． 【解析】(1)、设该店每天卖出A 、B 两种菜品分别为x 、y 份，根据题意得：()()2018112020141814280x y x y +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：2040x y =⎧⎨=⎩，答：该店每天卖出这两种菜品共60份；(2)、设A 种菜品售价降0.5a 元，即每天卖（20+a ）份，总利润为w 元，因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B 种菜品卖（40﹣a ）份，每份售价提高0.5a 元． 则w=（20﹣14﹣0.5a ）（20+a ）+（18﹣14+0.5a ）（40﹣a ）=（6﹣0.5a ）（20+a ）+（4+0.5a ）（40﹣a ）=（﹣0.5a 2﹣4a +120）+（﹣0.5a 2+16a +160） =﹣a 2+12a +280=﹣（a ﹣6）2+316， 当a =6，w 最大，w=316答：这两种菜品每天的总利润最多是316元．4、“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y （张）与电影票售价x （元/张）之间满足一次函数：y =﹣4x +220（10≤x ≤50，且x 是整数），设影城每天的利润为w （元）（利润=票房收入﹣运营成本）． （1）试求w 与x 之间的函数关系式；（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【解析】（1）根据题意，得：w =（﹣4x +220）x ﹣1000=﹣4x 2+220x ﹣1000；（2）①w =﹣4x 2+220x ﹣1000=﹣4（x ﹣27.5）2+2025，①当x =27或28时，w 取得最大值，最大值为2024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．5、把函数21:23(0)C y ax ax a a =--≠的图象绕点(,0)P m 旋转180，得到新函数2C 的图象，我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数．2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(,0)t ．（1）填空：t 的值为 （用含m 的代数式表示） （2）若1a =-，当12x t ≤≤时，函数1C 的最大值为1y ，最小值为2y ，且121y y -=，求2C 的解析式； （3）当0m =时，2C 的图象与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的右侧）．与y 轴相交于点D ．把线段AD原点O 逆时针旋转90，得到它的对应线段''A D ，若线''A D 与2C 的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【解析】（1）221:23(1)4C y ax ax a a x a =--=--顶点(1,4)a -围绕点(,0)P m 旋转180180°的对称点为(21,4)m a -，2:(21)24C y a x m a =--++，函数的对称轴为：21x m =-，21t m =-，（2）1a =-时，21:(1)4C y x =--，①当112t ≤<时，12x =时，有最小值2154y =，x t =时，有最大值21(1)4y t =--+， 则21215(1)414y y t -=--+-=，无解； ①312t ≤≤时，1x =时，有最大值14y =，12x =时，有最小值22(1)4y t =--+，12114y y -=≠（舍去）；①当32t >时，1x =时，有最大值14y =，x t =时，有最小值22(1)4y t =--+，212(1)1y y t -=-=，解得：0t =或2（舍去0），故222:(2)44C y x x x =--=-；（3）0m =，22:(1)4C y a x a =-++，点'',,,,A B D A D 的坐标分别为(1,0),(3,0),(0,3),(0,1),(3,0)a a --，当0a >时，a 越大，则OD 越大，则点'D 越靠左，当2C 过点'A 时，2(01)41y a a =-++=，解得：13a =， 当2C 过点'D 时，同理可得：1a =， 故：103a <≤或1a ≥； 当0a <时，当2C 过点'D 时，31a -=，解得：13a =-， 故：13a ≤-； 综上，故：103a <≤或1a ≥或13a ≤-．6、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值； （2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示． ①分别求出当和时，与的函数关系式；①设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）【解析】（1）由题意得，解得答：a的值为0.04，b的值为30.（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数关系式为y=k1t+n1把点（0，15）和（50，25）的坐标分别代入y=k1t+n1，得解得①y与t的函数关系式为y=t+15当50＜t≤100时，设y与t的函数关系式为y=k2t+n2把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入y=k2t+n2，得解得①y与t的函数关系式为y=t+30①由题意得，当0≤t≤50时，W=20000×（t+15）-（400t+300000）=3600t①3600＞0，①当t=50时，W最大值=180000（元）当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（t+30）-（400t+300000）=-10t2+1100t+150000=-10（t-55）2+180250①-10＜0，①当t=55时，W最大值=180250综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元.7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为．（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．【解析】（1）①=，①当x=25时，占地面积y最大；（2）=，①当x=26时，占地面积y最大．即当饲养室长为26m时，占地面积最大．①26-25=1≠2，①小敏的说法不正确．8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x 天（1≤x ≤15且x 为整数）时每盒成本为p 元，已知p 与x 之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y 盒，y 与x 之间的关系如下表所示：（1）求p 与x 的函数关系式；（2）若每天的销售利润为w 元，求w 与x 的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果． 【解析】（1）设p =kx +b （k ≠0），①第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，①321725k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：118k b =⎧⎨=⎩，所以p =x +18；（2）1≤x ≤6时，w =10[50﹣（x +18）]=﹣10x +320，6＜x ≤15时，w =[50﹣（x +18）]（x +6）=﹣x 2+26x +192，所以，w 与x 的函数关系式为210320(16)26192(615)x x w x x x -+≤≤⎧=⎨-++<≤⎩， 当1≤x ≤6时，①﹣10＜0，①w 随x 的增大而减小，①当x =1时，w 最大为﹣10+320=310，6＜x ≤15时，w =﹣x 2+26x +192=﹣（x ﹣13）2+361，①当x =13时，w 最大为361， 综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；（3）w =325时，﹣x 2+26x +192=325，x 2﹣26x +133=0，解得x 1=7，x 2=19，所以，7≤x ≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．9、2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．①求每天B种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？①求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？【解析】（1）根据题意得：2120{32205a ba b+=+=，解得：a=35，b=50；（2）①由题意得：y=（x﹣40）[100﹣5（x﹣50）]①y=﹣5x2+550x﹣14000；①①y=﹣5x2+550x﹣14000=﹣5（x﹣55）2+1125，①当x=55时，y最大=1125，①销售单价为55元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．10、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【解析】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，①-10＜0且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．11、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【解析】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，①-10＜0且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．12、某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y 与x 的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.【解析】(1)当6≤x ≤10时，由题意设y ＝kx ＋b (k ＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)， ①1000620010k b k b =+⎧⎨=+⎩ ，解得2002200k b =-⎧⎨=⎩， ①当6≤x ≤10时， y ＝-200x +2200，当10＜x ≤12时，y ＝200，综上，y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩ (2)设利润为w 元，当6≤x ≤10时，y ＝－200x ＋2200，w ＝(x －6)y ＝(x －6)(－200x ＋200)＝－2002172x -（）＋1250， ①－200＜0，6①x ≤10，当x ＝172时，w 有最大值，此时w=1250； 当10＜x ≤12时，y ＝200，w ＝(x －6)y ＝200(x －6)＝200x －1200，①200＞0，①w ＝200x －1200随x 增大而增大，又①10＜x ≤12，①当x ＝12时，w 最大，此时w=1200，1250＞1200，①w 的最大值为1250，答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.13、我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【解析】（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =①1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得k 2b 200=-⎧⎨=⎩ ①y 与x 之间的关系式为2200(3060)y x x =-+≤≤．（2）设该公司日获利为W 元，由题意得2(30)(2200)4502(65)2000W x x x =--+-=--+①20a =-<；①抛物线开口向下；①对称轴65x =；①当65x <时，W 随着x 的增大而增大；①3060x ≤≤，①60x =时，W 有最大值；22(6065)200015=90W -⨯-+=最大值．即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．。
二次函数的实际应用(面积最值问题含答案)
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。
求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？ （2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S tt t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -= x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米)答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积． 解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ， 则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4） 易知CN=4-x ，EM=4-y ． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PHBHBF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大， 对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点 按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的， 故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形． (2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元 那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10])24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2008浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米 ．2．(2008庆阳市)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为 元/平方米．5 m 12m ABCD提示：利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．424m B ．6 m C ．15 m D ．25m 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN ∴MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(512x b -=)5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==, 当5.2=x 时，y 有最大值．4．(2008湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．45．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10m解：令0=y ，则：02082=--x x 0)10)(2(=-+x xxyO AB M O（图5） （图6） （图7）6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( B )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m解：顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=3 7．(2007乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ B ）8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x ∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小， ∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？ (2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x-米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x∴当25=x 时，3625max =S (平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米． 即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．ABCD PQ解：∵∠APQ=90°, ∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90° .∴△ABP ∽△PCQ.,86,yxx CQ BP PC AB =-= ∴x x y 34612+-=．11．(2006年南京市)如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，•分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？ 解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD ∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x ∴S=x （10-2x ）=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵1020<<x ，∴50<<x当x=2.5时，S 有最大值12.5易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米． 答案：如图所示建立直角坐标系则：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，⎩⎨⎧+=+-⨯=ca c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13．(2008黑龙江哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？ 解：（1）根据题意，得x x x xS 3022602+-=⋅-=自变量的取值范围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．14．(2008年南宁市)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 解：（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过（2，2），所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =； （2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x -8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得 ==+21y y +== ∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润．因为，所以在对称轴2=x 的右侧， z 随x 的增大而增大所以，当8=x 时，z 的最大值为32．15．(08山东聊城)如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．解：（1）设正方形的边长为cm，则．即．解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：．即．改写为．当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．若按图1所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2．16．(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式； （2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解：（1）根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，将的坐标代入，得解得．所以抛物线的表达式是．（2）可设，于是从而支柱的长度是米．（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是．过点作垂直交抛物线于，则．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．11。
沪科版九年级数学上册21.4.2利用二次函数的最值解决实际问题教案
沪科版九年级数学上册21.4.2利用二次函数的最值解决实际问题教案第21章二次函数与反比例函数21．4二次函数的应用第2课时建立二次函数模型解决抛物线形问题课题第2课时建立二次函数模型解决抛物线形问题授课人教学目标知识技能1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．2．学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力．数学思考1.通过对实际问题的研究，体会建模的数学思想．2．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会转化和数形结合的思想．问题解决通过问题的设计、解答，使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法，获得解决问题的经验．回顾1.二次函数常见的形式有哪几种？并说明其特征．在已有知识的基础2．对二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象进行平移时：向上平移k(k>0)个单位得到的函数表达式是什么？向下平移k(k>0)个单位得到的函数表达式是什么？向左平移h(h>0)个单位得到的函数表达式是什么？向右平移h(h>0)个单位得到的函数表达式是什么？师生活动：教师引导学生回忆知识，学生进行解答，教师做好点评．上提出新的问题，能为学生营造一个主动思考、探索的氛围，激发学生的学习兴趣.(续表)活动一：创设情【课堂引入】问题：如图21－4－18是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？通过日常生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究意识和解决实际境导入新课图21－4－18师生活动：教师进行引导，提出问题：对于本题你认为应该运用什么知识进行解答？根据问题中的图形为抛物线，由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答．学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.问题的能力.活动二：实践探究交1.探究新知活动一：针对[课堂引入]的问题，教师进行提示：(1)要解答二次函数的问题，必须把抛物线放在平面直角坐标系中，所以必须建立适当的平面直角坐标系；(2)求水面宽度增加的长度，实际上就是求水面与抛物线的1.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数表达式，但结果是相同的，选择合适的平面直角坐标系可以流新知交点的坐标；(3)求出函数表达式，进而求点的坐标；(4)求函数表达式应该用待定系数法．师生活动：学生先独立进行解答，然后小组内交流讨论，教师适时点拨，指导学生写出解题过程．图21－4－解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图21－4－19.根据图象的特殊性，设抛物线所对应的函数表达式为y＝ax2，由抛物线经过点A(－2，－2)，可得a＝－12，所以抛物线所对应的函数表达式为y＝－12x2.把y＝－3代入函数表达式，使得解答简便，明确易懂．得x＝±6，所以CD－AB＝(2 6－4)米，所以水面宽度将增加(2 6－4)米．活动二：教师指导学生建立不同的平面直角坐标系进行解答．学生独立完成解题思路，小组内交流比较：平面直角坐标系的建立是否相同，计算结果是否一致．图21－4－20如解法：如图21－4－20，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB的中点O，则通过画图可知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB的长为AB 长的一半，为2米，抛物线顶点E的坐标为(0，2)，通过以上条件可设顶点式y＝ax2＋2.将点A的坐标(－2，0)代入表达式，得a＝－12，所以抛物线所对应的函数表达式为y＝－12x2＋2.把y＝－1代入上式，得x＝±6，所以CD－AB＝⎝⎛⎭⎫2 6－4米，所以水面宽度将增加(2 6－4)米(续表)活动二：实践探究交流新知2.归纳总结教师引导学生进行归纳总结：①建立适当的平面直角坐标系；②根据题意找出题目中的点的坐标；③求出抛物线所对应的函数表达式；④直接利用图象解决实际问题．2.通过总结抛物线类型的实际问题的解题步骤，使学生明确问题的解答方法，思路清晰，明确了方向.活动三：开放训练体【应用举例】例1自动喷灌设备的喷流情况如图21－4－21所示，设水管AB在高出地面 3.5米的B处有一自动旋转的喷水头，水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C连线与地面成45°角，水流最高点C比喷头高2米，求水流落激发学生的学习欲望和兴趣，让学生切实感受到数学就在身边的亲切感．让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移，并让学生现应用点D到点A的距离．图21－4－21师生活动：学生按要求进行解答，教师做好指导、点拨．教师关注：(1)学生能否熟练地运用二次函数的有关知识解决实际问题；(2)学生是否具有探索精神．体验数学的建模思想，增强应用意识.【拓展提升】例2 如图21－4－22，一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面209米，与篮筐中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时达到最大高度4米．设篮球运动的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面 3.05米．问此球能否投中篮筐？图21－4－22师生活动：学生独立解答，再合作交流，然后展示成果．教师巡视，观察学生解决问题的过程与方法，并给予学习有困难的学生及时的引导和帮助．通过抛物线与常见生活情景相联系的题目的展示，拓宽学生的视野，提高学生灵活运用知识的能力. 活【达标测评】动四：课堂总结反思1.如图21－4－23，有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的图形放在平面直角坐标系中，若在离跨度中心M 5 m处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长度为__15_m__.图21－4－232.如图21－4－24是一学生推铅球时铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象，观察图象，铅球推出的水平距离是__10__m.图21－4－24(续表)活动四：课堂总结反思3.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一盏壁灯，图21－4－25两盏壁灯之间的水平距离为 6m，如图21－4－25所示，则工厂大门的高(水泥建筑物厚度不计，精确到0.1 m)约为__6.9_m__．4．城市花园广场喷泉的喷嘴安装在平地上，有一喷嘴喷出的水流呈抛物线形，喷出水流的高度y(m)与喷出水流距喷嘴的水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝－12x2＋2x.(1)喷嘴能喷出的水流的最大高度是多少？通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.(2)喷嘴喷出的水流的最远距离是多少？学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．【课堂总结】1．课堂总结：(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获，有哪些进步．(2)学完本节课后，你还存在哪些困惑？2．布置作业：教材P42的习题21.4.小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.【知识网络】框架图式总结，更容易形成知识网络【教学反思】反思教学①[授课流程反思]在探究新知环节中，充分利用多媒体手段提高课堂效率，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，有效地解决了教学的重难点；课堂训练环节，教师给予学生充分的自由时间，学生能够体会建立平面直角坐标系的作用，明确解答问题的步骤，树立建模思想.②[讲授效果反思]教师强调重点：（1）明确解决抛物线形问题的步骤；（2）设抛物线所对应的函数表达式时要根据函数图象的特殊位置.③[师生互动反思]在开放、多样的教学活动中，培养学生主动合作的意识及对数学的兴趣和爱好.④[习题反思]好题题号错题题号过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.。
数学人教版九年级上册实际问题中的二次函数的最值问题
数学人教版九年级上册实际问题中的二次函数的最值问题教学目标1、知识目标让学生重拾二次函数的一些基本性质，能够利用性质画出草图找到二次函数的最值。
将二次函数最值问题运用到实际问题中。
掌握基本的实际的最值问题解决步骤和方法。
2、情感态度目标在实际问题的解决中形成解题思路和方法，能够巧妙利用学的二次函数性质解决实际问题，从中提高学生分析问题解决问题的能力。
教学重难点1、重点二次函数的基本性质，把二次函数最值思想运用到实际问题中2、难点在解决实际二次函数最值问题时建立二次函数关系课前准备1、将需要的一些知识清单和解题思路列出来发给学生。
2、把要画二次函数需要的直角坐标系提前画到黑板上。
教学设计过程一、复习引入1.复习填写下列空格回忆有关二次函数的基本性质二次函数y=a某2+b某+c(a≠0)①开口方向:当a>0时,______,当a<0时,_____;②顶点坐标是(___,___)③对称轴是直线_____;④函数的最大值或最小值:当a>0,某=___时,y有最___值,为y=____;当a<0,某=____时,y有最__值,为y=____。
发课前准备的知识清单，让学生快速填写，点学生回答，对照ppt所给的答更改自己的错误。
让学生在填写知识清单时形成二次函数性质的知识框架。
2.画出草图，找到最值点，说出最值:①y=某-2某+32②y=－2某+4某-92根据回忆的知识画出给出的两个二次函数的图，并利用图说出最值点。
分别请学生上台画出草图。
3.加入给定某的取值范围找出二次函数的最值，同样是利用图形引导找到最值。
请学生上台画出较准确的图。
比较ppt所给的解答过程重点强调某取值范围最最值上起到的作用。
已知二次函数y=2某2-4某-3，若-1≤某≤5，求y的最大值和最小值。
二、知识结合探究1、在实际问题中有很多和二次函数有关，而且都会解决最大值和最小值问题。
给出实际问题和二次函数有关的图片。
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第4课时 二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。
求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？ （2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S tt t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -= x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米)答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积． 解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ， 则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4） 易知CN=4-x ，EM=4-y ． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PHBHBF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大， 对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF =CG．∴△CEF是等腰直角三角形因此四边形EFGH是正方形．(2)设CE=x, 则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y元那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)×10]-=xx102+().0242.0-=x)4.0102+3.2)1.0(<x0(<当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2008浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米 ．2．(2008庆阳市)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为 元/平方米．5 m 12m ABCD提示：利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．424m B ．6 m C ．15 m D ．25m 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN ∴MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(512x b -= )5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==, 当5.2=x 时，y 有最大值．4．(2008湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．45．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10m解：令0=y ，则：02082=--x x 0)10)(2(=-+x xxyOAM （图5） （图7）6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( B )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m解：顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=37．(2007乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ B ） A ．4.6m B ．4.5m C ．4m D ．3.5m8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x ∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小， ∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？ (2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x-米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米． 即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．A BCD P Q解：∵∠APQ=90°, ∴∠APB+∠QPC=90°.∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90° .∴△ABP ∽△PCQ.,86,yxx CQ BP PC AB =-= ∴x x y 34612+-=．11．(2006年南京市)如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，•分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？ 解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD ∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x ∴S=x （10-2x ）=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵1020<<x ，∴50<<x当x=2.5时，S 有最大值12.512．(2008四川内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米． 答案：如图所示建立直角坐标系则：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，⎩⎨⎧+=+-⨯=ca c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13．(2008黑龙江哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解：（1）根据题意，得x x x xS 3022602+-=⋅-=自变量的取值范围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．14．(2008年南宁市)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解：（1）设= ,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；y=，由图因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y=的图像过（2，2），所以12-②所示，函数2，y关于投资量故利润2的函数关系式是2221x y； （2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x 8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得==+21y y +==∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润．因为，所以在对称轴2=x 的右侧，z 随x 的增大而增大所以，当8=x 时，z 的最大值为32．15．(08山东聊城)如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．解：（1）设正方形的边长为cm，则．即．解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：．即．改写为．当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．（3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2．若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．16．(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解：（1）根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，。