同济高数（第七版）--第九章

一：多元函数概念1.空间：
R n 称为n 维空间。

2.邻域：
),(000y x P 是二维空间（平面xoy ）上一个点，δ为某一正数，则与点P 0的距离小于δ的点R P y x P 2),,(∈全体，称为P 0的δ邻域。

记作),(0δP U ，即),(0δP U }|||{0δ<=P P P ，几何意义为，以点P 0为圆心，δ为半径的圆内所有点，当该领域不包括圆心P 0时，就称为为P 0的去心δ邻域，记为),(0δP U。

3.点与点集关系：
（1）内点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，则),(y x P 为点集E 的一个内点。

证：有),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，假设),(y x P 不是点集E 的内点，此时假设),(y x P 是点集E 的外点，则对于),(y x P 的任意邻域)(P U 都不可能满足E P U ⊂)(，因为该邻域中至少有一点【例如：邻域中心),(y x P 】就不属于该点集，故),(y x P 不是点集E 的外点，若),(y x P 是点集E 的边界点，则P 的δ邻域
),(δP U （无论δ多么小）
，都会使得该邻域有不属于点集E 的部分（除非0=δ），综合上述：),(y x P 既不是点集E 的外点，也不是边界点，所以),(y x P 是点集E 的内点，而此时能找到),(y x P 的某个邻域)(P U 满足题意。

（2）外点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得∅=⋂E P U )(，则),(y x P 为点集E 的一个外点。

证明从上，用反证法能得出结论。

（3）边界点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，),(y x P 的任意邻域)(P U ，使得⎩⎨⎧⊄∅≠⋂E P U E P U )()(，则),(y x P 为点集E 的一个边界点。

证：因对于),(y x P 的任意邻域)(P U ，都有∅≠⋂E P U )(，则),(y x P 不可能为点集E 的外点，而任意邻域),(y x P 都有E P U ⊄)(，则),(y x P 不可能为点集E 的内点，而当),(y x P 为边界点时，对于0>∀δ，也就是),(y x P 的任意δ邻域),(δP U 都满足上述关系。

（4）聚点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，对于0>∀δ，即),(y x P 的任意δ去心邻域),(δP U
内都有属于点集E 的点，则称),(y x P 为点集E 的聚点，也就得到一个结论：点集E 的聚点集合为点集E 的所有内点、边界点组成的集合。

即}
{}{nei bian ju +=4.点集的分类：
（1）开集：点集E 的所有点都是点集E 的“内点”；
（2）闭集：包括了所有边界的点集；【注意：包括了部分边界的点集，既非开集，也非闭集。

】；
（3）连通集：点集E 内任意的两点都可以用折线连接起来，且折线上的点都为该点集内的点，则称该点集为连通集；
（4）（开）区域：连通的开集（例如：任意邻域都是区域）；
（5）闭区域：连通的闭集；
（6）有界集：存在某一正数γ，对于此时坐标原点的γ邻域),(γO U ，若点集E 满足),(γO U E ⊂，则称点集E 为有界集；
（7）无界集：不是有界集就为无界集。

二：多元函数极限
引言--在多元函数中计算),(),(00y x P y x P →时的极限（P 是动点，P 0是定点）
，),(),(00y x P y x P →表示点P 以任意路径趋于点P 0，即00→P P ，那么总存在一个正数δ使得P 点在P 0的δ去心邻域),(0δP U 内，即此时),(0δP U
}||0|{0δ<<=P P P ，而假设该多元函数为),(y x f ，其定义域为D ，假设P 0以及P 都为该定义域内的点，其实此时的定义域就是一个点集，而此时的P 0即为点集（定义域）D 的一个聚点，则根据内点的定义，不是所有的P 0的邻域都满足为点集D 的子集，故为了使P 符合上述所有关系，则设P 点为它们公共部分的点，即D U P P ⋂∈),(0δ，此时对于0>∀ε（无论其多么小），都存在0>δ，当D U P P ⋂∈),(0δ是，有ε<-A P f )(成立，则A y x y x f y x =→),(),(00),(lim ，（其实:δ与ε成一个正相关
关系，当0→ε时，0→δ，此时00→P P ，而且A P f →)(），则称A 为点P 以任意路径趋于点P 0时，),(y x f 的极限。

注意：虽然),(y x f 在),(),(00y x P y x P →时的极限存在，但是跟),(y x f 在P 0点是否有定义没有任何关系（因为聚点分为两种，若P 0属于其中的内点，在满足上述关系的情况下，),(y x f 在P 0处有定义，但是若P 0属于其中的边界点，在满足上述关系的情况下，),(y x f 在P 0处无定义。

但是在这两种情况下，),(y x f 都存在),(),(00y x P y x P →的极限。

），换言之，函数在P 0处是否有定义都不能成为判断函数在P 0点是否存在极限的条件，而且即便函数在该
点处有定义，也不能得出函数在该点处的极限等于该点处的函数值，除非函数在该点处连续，否则函数在该点处的极限一定不等于函数在该点处的函数值，可以断言，该结论对于n 元函数都成立。

三：多元函数导数
如果函数),(y x f z =在点P 0),(y x 的某一邻域内有定义，对于该邻域内任意一点),(y x x p ∆+'，如果),(),(lim 0
y x f y x x f x -∆+→∆存在，则称此极限为函数),(y x f z =在),(y x 处对x 的偏导数，记作y y x x x f ==∂∂、f x
结论1：若函数在某点存在偏导数，但函数不一定在该点处存在极限，那么在该点处也就不一定连续，函数在该点处也不一定可微分；即函数⎪⎩
⎪⎨⎧≠≠>在该点可微分；在该点连续；
在该点有极限；在某点存在偏导数证明：因为求函数的极限时具有不同的趋于路径，就造成函数在某点可能极限不存在，虽然可能偏导数存在，但是因为函数在该点处的极限不存在，故必定在该点处不连续【因为：当函数在该点处的极限不存在时，假设函数在该点处连续，那么函数在该点处的函数值一定等于函数在该点处的极限，而由前知，函数在该点处的极限不存在，故假设不成立，即函数在该点处不连续，此时再假设函数在该点处可微分，那么函数在该点处一定连续，而由前知，函数在该点处不连续，所以函数在该点处不可微分】
例如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠++=0
,00,).(222222y x y x y x xy y x f ，易知)0,0(为函数的聚点，故当),(y x P 沿⎩⎨⎧≠=00x y 趋于)0,0(时，则有0)0,(lim ),()0,0(),(lim 00
==→→=x f y x f y x x y ，同理),(y x P 沿⎩⎨⎧=≠0
0x y 趋于)0,0(时，则有0),0(lim ),()0,0(),(lim 00==→→=y f y x f y x y x ，而当),(y x P 沿kx y =趋于)0,0(时，则有
k k kx x f y x f y x y x kx
y 2
)0,0(),(1),(lim ),()0,0(),(lim +==→→=，发现不同的趋于路径得到不同的极限，而这就违反了函数的极限唯一性，故函数在)0,0(处不存在极限，故函数),(y x f 也在)0,0(处不连续，而0)0,0()0,0(lim 0=∆-∆+=→∆x f x f x x f ，0)0,0()0,0(lim 0=∆-∆+=→∆y
f y f y y f ，故函数在)0,0(处的偏导数存在，已知y x ∆∆+=22)(ρ，可以证明函数在)0,0(点的全增量z ∆与
y y z x x z ∆∂∂+∆∂∂的差值不一定是比ρ更高阶的无穷小，即
0lim )0,0(),(≠∆∂∂+∆∂∂-∆→∆∆ρy y z x x z z y x 可能成立：因)0,0(),(0→∆∆⇔→y x ρ，所以)
(lim lim 22)0,0(),()0,0(),(y x y x y y z x x z z y x y x ∆∆+∆∆=∆∂∂+∆∂∂-
∆→∆∆→∆∆ρ，而由前面知道该
极限不同的路径得到的结果不等，当以路径)0(≠∆=∆k x k y 趋于点)0,0(时，得到的极限值一定不为零，所以函数在该点处不一定可以微分。

结论2：若函数在某点处可微分，则函数在该点处一定连续，函数在该点处也一定存在偏导数，但函数的偏导数不一定在该点处连续（即偏导函数不一定在该点的某邻域内有定义）；
即函数⎪⎩⎪⎨⎧≠≠>⎩⎨⎧⇒⇒偏导数在该点连续；
在该点存在偏导数；
在该点有极限；在该点连续在某点可微分证明：首先，假设函数),(y x f z =在),(y x P 点的某邻域内有定义，若函数在点P 处的全增量
),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆①可表示为)(ρο+∆+∆=∆y B x A z ②，
其中B A ,与y x ∆∆,均无关，y x ∆∆+=
22)(ρ，则函数),(y x f z =在),(y x P 点可微分，因为)0,0(),(0→∆∆⇔→y x ρ，故0)(lim )lim(lim 0)0,0(),(0=+∆+∆=∆→→∆∆→ρορρy x y B x A z ，此时将①移项并求极限得
)0,0(),()0,0(),(]),(lim[),(lim →∆∆→∆∆∆+=∆+∆+y x y x z y x f y y x x f ),(lim ),(lim 0
)0,0(),(y x f z y x f y x =∆+=→→∆∆ρ③,此时变下形，将P 的坐
标改设为),(00y x P ，则②中x x ∆+改写为x x ∆+0，设x x x =∆+0，同理，y y ∆+改写为y y ∆+0，设y y y =∆+0，而)0,0(),(→∆∆y x 则变为),(),(00y x y x →，此时的③就变为),(),(lim 00),(),(0
0y x f y x y x f y x =→，可以看到),(y x f z =在点P 处连续；当函数在P 点可微分时，必定在),(y x P 的某邻域内任意一点),(y y x x P ∆+∆+'使得①②恒成立，那么当0=∆x 时也应成立，即此时的全增量等于分增量，故此时)(),(),(y y B y x f y y x f z ∆+∆=-∆+=∆ο，等式两端同时除以y ∆，这时再对等式两边同时进行求极限就可得到
y y B y y B y y x f y y x f y z y y y y ∆∆+=∆∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆→∆)(lim )((lim ),(),(lim lim
0000οο，根据偏导数的定义得y
y x f y y x f y x y f y ∆-∆+=∂∂→∆),(),(lim ),(|0，故y y B y x y f y ∆∆+=∂∂→∆)(lim ),(|0ο④，设βο=∆)(y ，由于β表示比y ∆更高阶的无穷小，故0lim
0=∆→∆y y β，当0>∆y 时，0lim lim 00=∆=∆→∆→∆y y y y ββ，此时④就为B y B y x y
f y =∆+=∂∂→∆β0lim ),(|；当0<∆y 时，0lim 0lim lim 000=∆⇒=∆-=∆→∆-→∆-→∆y y y y y y βββ，而00→∆⇔→∆-y y ，故0lim 0lim 00=∆⇒=∆→∆→∆-y y y y ββ，故此时④就变形为
B y B y x y f y =∆+=∂∂→∆β0lim ),(|，结合上述，B y x y
f =∂∂),(|，同理，当0=∆y 时A y x x f =∂∂),(|也必定成立，综合上述，函数在P 点处的偏导数存在，但是函数的偏导数在),(y x P 点不一定连续，因为不能确定函数在),(y x P 点的某个邻域都可微分，也就不能确定函数在P 点的某个邻域内是否都存在偏导数，自然就不能确定函数的偏导数在P 点的某个邻域内都有定义，故就有可能出现未定义（间断）的情况；
注意3：若函数的偏导数在某点处连续，则函数在该点一定可微分，函数也就一定在该点处
连续；即函数在该点有极限
在该点连续函数在该点可微在某点偏导数连续⇒⇒⇒证明：设函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂以及y
z ∂∂在点),(y x P 处连续，那么函数),(y x f z =也一定在),(y x P 点的某邻域内连续，取该邻域内的任意一点),(y y x x P ∆+∆+'，故函数的全增量)
,([)],(),([),(),(y x x f y x x f y y x x f y x f y y x x f z ∆+-∆+-∆+∆+=-∆+∆+=∆)],(y x f -，对前部分考虑时因x x ∆+不变，故可看作是y 的一元函数),(y x x f ∆+的增量，因函数),(y x f z =在),(y x P 点的某邻域内连续，因为其偏导数也存在，故函数),(y x f z =在),(y x P 点的某邻域内连续可导，符合拉格朗日中值定理的条件，则)10(),(),(),(<<∆∆+∆+=∆+-∆+∆+θθy y y x x y x x f y y x x f f y ，故等式的两边同时除以y ∆后再
积分得=∆∆+-∆+∆+→∆∆y y x x f y y x x f y x ),(),(lim )0,0(),(),(),(lim )0,0(),(y x y y x x f f y y y x =∆+∆+→∆∆θ，故
ε1),(),(),(+=∆∆+-∆+∆+y x y
y x x f y y x x f f y （ε1为一个比y x ∆∆+=22)(ρ更高阶的无穷小）⇒y y y x y x x f y y x x f f y ∆+∆=∆+-∆+∆+ε1),(),(),(；同理对后部分考虑可得
x x y x y x f y x x f f x ∆+∆=-∆+ε2),(),(),(（ε1为一个比x ∆=ρ更高阶的无穷小）
，则函数的全增量x y y y x x y x z f f y x ∆+∆+∆+∆=∆εε21),(),(，现在证x
y ∆+∆=εεε21)(ρο=，故由y x x y x y ∆∆≥+⇒≥∆∆∆-∆εεεεεε21222212012)()()
(，由于两边同时加减不变号，故y x x y y x ∆∆≥+++∆∆∆∆εεεεεε21222221212)
()()()()()(1222y x ∆∆++εε)(212x y ∆+∆=εε，)()()()()()()
(1212)(2212222222122x y y x y x ∆∆∆∆∆∆++++++=⇒εεεεεεεερ≥+++≥∆∆∆∆)()()()(12122222x y y x εεεε≤∆+∆⇒∆+∆ρεεεεx
y x y 212)(21εε21+，此时运用夹逼准则就能得出0lim 21)0,0(),(=∆+∆→∆∆ρεεx y y x ，故)(),(),(ρο+∆+∆=∆y y x x y x z f f y x ，故此时函数在点),(y x P 可微分，那个函数必定在该点处可连续；
注意4：若函数在某点处连续，但函数不一定在该点处存在偏导数,自然也不一定在该点处可微分。

即函数函数在该点可微
函数在该点存在偏导数在某点连续≠>≠>证：例如函数y x y x f z 22),(+==，函数在)0,0(处连续，但x
x x f x f x ∆∆=∆-∆+→∆)0,0()0,0(lim 0，当0>∆x 时，此极限等于1，当0<∆x 时，此极限等于-1，故函数在)0,0(处的极限并不存在，即偏导数并不存在，若函数在该点处可微，那么函数在该点必定存在偏导数，这与前面矛盾，故函数在该点也不一定可微。

注意5：若函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及x y z ∂∂∂2在区域D 内连续，则这两个二阶混合偏函数在区域D 内相等，但反之则未必成立。

证：例如函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠==0,00,1sin ),(xy xy xy xy y x f z ，},|),{(R y R x y x D ∈∈=可以求得⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1cos 11sin ),(xy xy xy x xy y y x f
x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1cos 11sin ),(xy xy xy y xy x y x f y ，此时再进行求解可得二阶混合偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,00,1sin 11cos 11sin ),()(2xy xy xy xy xy xy y x xy f xy ，
⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0
,00,1sin 11cos 11sin ),()(2xy xy xy xy xy xy y x xy f yx ，故有y x z ∂∂∂2x y z ∂∂=∂2，但是该二阶混合偏导数在)0,0(处并不连续，根据多元初等函数的连续性得，若假设函数),(y x u f xy =在)0,0(连续，必有0)0,0(),(lim
)0,0(),(==→f f xy xy y x y x ，设函数沿路径)0(1≠=k kx y 趋于聚点)0,0(0P ，故k k k kx
x y x k f f xy x xy y x kx y cos )(sin )1,(lim ),(lim
120)0,0(),(1
-==-→→=，是关于k 的表达式，故该极限并不存在，故),(lim )0,0(),(y x f xy y x →不存在，故假设不成立，即二阶混合偏导数在区域D 内不连续（因
为在其中的)0,0(处间断）。

四：多元（复合）函数求导法则多元函数性质：多元函数一旦确定隐函数以后，则必定构成一个复合函数。

注意：例如函数),,(u y x f z =，而),(y x u ϕ=，则
x z ∂∂表示的是复合函数)),(,,(y x y x f z ϕ=中当y 不变时，z 对x 的偏导数，而x
f ∂∂表示的是函数),,(u y x f 中当u y ,均不变时，f 对x 的偏导数【即f 对x 求偏导数时，u 中的x 不会改变，即相对复合函数)),(,,(y x y x f z ϕ=对x 的求导来看，x
f ∂∂只求了部分x 的偏导数，而x z ∂∂则对整个函数中的x 都求了偏导数，所以它可以表示整个函数对x 的全导数，故它们并不相同，并且注意：n 元函数对某一自变量的偏导数等于n 项之和（但是因为某些自变量之间各不相关，故可能出现某些项为零，但不省略的条件下，一定为n 项之和。

）例如：),,,(t z y x f z =，则偏导数)4(项相加=∂∂x
z 。

定理2：已知),(),,(y x v y x u ψϕ==在点),(y x 处存在偏导数，),(v u f z =在点),(v u 处具有连续
注释：通过定理1.可以知道
x z ∂∂是函数)),(),,((y x y x f z ψϕ=在y 不变的情况下，对整个定义域内的x 求的偏导数，u f ∂∂、v
f ∂∂分别表示的是),(v u f 在u 、v 不变的情况下对u 、v 的偏导数，注意由于),(y x u ϕ=，所以它对x 的偏导数必定是两项之和，但是由于
0=∂∂x y ，所以只有一项，其实前面都有这个规律，但是因为各自变量之间不相关，所以对其的导数为零，从而舍去，但是若函数形式变化一下，即),(z x u ϕ=，)(x z ρ=，则成复合函数))(,(x x u ρϕ=时，由于),(z x u ϕ=是二元函数所以它对x 的偏导数必定是两项之和，故
dx
dz z x dx du ⋅∂∂+∂∂=ϕϕ，因为0≠dx dz ，所以这里右端为完整的两项之和。

五：隐函数的求导法则
隐函数存在定理1：设函数),(y x F 在点),(00y x 的某一邻域内具有连续偏导数，且0),(00=y x F ，0),(00≠y x F y 则方程0),(=y x F 在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个具有连续导数
推导：F F y
x dx dy -=，由0),(=y x F ①，由题知函数确定的隐函数为)(x f y =，故),())(,(y x F x f x F Z ==，可以看到该函数其实是一个复合函数，所以函数一旦确定隐函数以后，则必定构成一个复合函数，则求导时必须按照复合函数的求导法则，故对①两端同时求全导数得0=⋅∂∂+∂∂=dx dy y F x F dx dZ F F y
x dx dy -=⇒。

隐函数存在定理2：设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x 的某一邻域内具有连续偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠z y x F z 则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯
一确定一个具有连续导数的连续函数),(y x f z =，它满足的条件为),(000y x z f =，且
推导：F F z x x z -=∂∂，F F z
y y z -=∂∂，由0),,(==z y x F λ①，由题知函数确定的隐函数为),(y x f z =，故)),(,,(),,(y x f y x F z y x F ==λ，可以看到该函数也是一个复合函数，也符合多元函数一旦确定隐函数以后，则必定构成一个复合函数的性质，则求导时必须按照复合函数的求导法则，
对①两端同时求全导数得0=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂x z z F x y y F x F x λ，满足三元函数对某一自变量的偏导数等于三项和，但是由于0=∂∂x
y ，所以可以化简为两项之和，即0=∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂x z z F x F x λF F z x x z -=∂∂⇒，同理可得F F z
y y z -=∂∂。

例题：设),(v u F 具有连续的偏导数，证明由方程0),(=--bz cy az cx F 所确定的函数),(y x f z =满足c y z b x z a =∂∂+∂∂解：不妨令⎩⎨
⎧=-=-v bz cy u az cx ，再令出如下表达式),(z x u ϕ=，),(z y v ψ=故由题知0))),(,()),,(,(()),(),,((),(====Φy x f x y x f x F z y z x F v u F ψϕψϕ，故对恒等式两端同时对x 求全导数得0=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂Φ∂x
v v F x u u F x ①，满足二元函数对某一自变量的偏导数等于二项和，但是注意到),(z x u ϕ=，),(y x f z =，则成复合函数)),(,(y x f x u ϕ=时，由于),(z x u ϕ=是二元函
为完整的两项之和，联立①②得F F F v u u b a x z +=∂∂，同理可得F F F v
u v b a y z +=∂∂，故
c x
z a y z b =∂∂+∂∂六：多元函数微分学的几何应用1.一元向量值函数及其导数：
由多元自变量的曲线的参数方程],[,)()()
(βαωψϕ∈⎪⎩
⎪⎨⎧===t t z t y t x 可化为一元向量值函数即
],[,)()()()(βαωψϕ∈++=t k t j t i t t f ；
其坐标形式))(),(),(()(t t t t f ωψϕ=
;
其极限))(lim ),(lim ),((lim )(lim t t t t f ωψϕ= ;其导数))(),(,)(()(t t t t f ωψϕ'''='
，且都符合数量函数的求导法则；
其在t 点的导数为曲线在t 点处的一个切向量，其指向与t 的增长方向相同。

证：如图，设)(t f r =，则)()(t f t t f r -∆+=∆，可以看到当0<∆t 时，t t t <∆+，则r ∆与t 的增长方向相反（下图中左边的r ∆）；而当0>∆t 时，t t t >∆+，则r
∆与t 的增长方向相同，因当0>∆t 时，r ∆与t 的增长方向相同，不妨设t r k ∆∆= ，此时k 的方向即为t 的增长方向；而当当0<∆t 时，此时的r ∆的方向与0>∆t 时的r ∆的方向相反，但添加一个负号后就相同了，同时，此时的0>∆-t ，令t r t r m ∆-∆-=∆∆= ，故依照前述得m 与k 同向，故无论t ∆是正是负，t r ∆∆ 的方向都与t 的增长方向相同，而)(lim )()(lim 00t f t r t t f t t f t t '=∆∆=∆-∆+→∆→∆ ，故其导数为曲线在t 点处的一个切向量。

注意：，因为直线不像射线只有一个方向，可以两个指向，所以任何曲线在切点处都有两个方向的切向量，其导向量只是其中一个切向量，另一个切向量与导向量方向相反
七：方向导数与梯度1.方向导数：
公式：β
αcos ),(cos ),(),(|y x y x y x l f f f y x +=∂∂因为直线的方向有两个，所以选择射线来研究，设l 是xoy 平面上以)(,000y x P 为起点的射线，)cos ,(cos βαe l 是与l 同向的单位向量，则根据点向式方程得t y y x x =-=-βαcos cos 00，
设0≥t ，而)(,000y x P 又为起点，故此时⎩⎨⎧>>0cos 0cos βα：①若需要求方向导数时，若已知)(,000y x P 、),(y x P 两点，则可以根据P
P P P e l 00= 求得方向；②若已知直线l 的斜率时，此时因为直线l 有两个方向，（故需要求得l 的同向单位向量以后，根据题意确定其正负号，最终确定方向导数的正负），设斜率为k ，故有
k y x x y =--00，将t y y x x =-=-βαcos cos 0
0变形得k y x x y =-=-00cos cos αβ，又根据)cos ,(cos βαe l 为单位向量得
1cos cos 22=+βα，以及⎩⎨⎧>>0cos 0cos βα联立解得)1,11(22k k e k
l ++ ；2.梯度：
=),(y x f grad j y x i y x y x f f f y x ),(),(),(+=∇
①当),(y x f grad 与e l 方向相同时，函数沿直线l 的方向导数最大，即函数增长最快；②当),(y x f grad 与e l 方向相反时，函数沿直线l 的方向导数最小，即函数减少最快；③当),(y x f grad 与e l 正交时，函数沿直线l 的方向导数为零，即函数变化率为零；注意：①②都是函数“变化最快”的情况；且]
2,0[πα∈**对于曲面),(y x f z =的沿某点)(,000y x P 的“法向”直线的方向导数
因为是二元函数，故其梯度为j y x i y x y x f f f y x
),(),(),(+=∇类型，故为了利用函数在某点处的偏导数与在该点处的法向量之间关系来得到函数梯度与法向量之间的关系，且梯度中未出现Z 的偏导数，故为了消除Z 的影响，对于三元函数来说就需要引入一个等值面，对于二元函数（一般曲面）来说就需要引入一个等值线，即令c y x f z ==),(，此时曲线⎩
⎨⎧==c z y x f z ),(就称为函数),(y x f z =的等值线，再令0),(),(=-=c y x f y x F ，此时该等值线在)(,000y x P 处的法线向量)),(),,((0000y x f y x f y x n ，则),()
,(0000y x y x e f f n ∇∇= ，而)(,000y x P 是任
意选取的，而对于任意一点),(y x P ，函数沿该点处的法向直线的方向导数有e e f f n n y x y x f y x f grad y x y x y x n f ⋅∇=⋅=+=∂∂),(),(cos ),(cos ),(),(|βα，代入)
,()
,(0000y x y x e f f n ∇∇= 得),(),(|y x f y x n
f ∇=∂∂②（由于法线也是直线，所以求得法线的单位向量以后，也必须根据题意来确定其正负，即确定方向导数的正负）。

注意：从上面得出看出这里选择的等值线（面）是该函数所对应的等值线（面），那么求得的单位向量e n 才能推导出②，但是若选择的等值线（面）是其它函数所对应的等值线（面），即对比上面，若选择是函数c y x g =),(，则根据上面有),(),(0000y x y x e g g n ∇∇=
，此时的方向导数则为
=∂∂),(|y x n f ),(),(),(0000y x y x g g y x f ∇∇⋅∇。

*****第九章解题写法规范*****
1.多元函数定义域的书写：“并且关系”用逗号隔开并且用一个集合概括；“或
者关系”则用两个集合概括，集合之间用并集表示；
2.证明极限不存在的思路：选择不同的路径，确保得到一个与自变量无关的表达式；
3.分段函数的偏导数：分段求解偏导数，最后用大括号分开表达；
4.二阶偏导数的求解：一定注意二阶混合偏导数也属于二阶偏导数，所以在求二阶偏导数时需要求出y x z ∂∂∂
2、x z ∂∂22、x y z ∂∂∂2、y z ∂∂22（当函数的二阶偏导数连续时，则x y z ∂∂∂2与y x z ∂∂∂2相等，所以任求一个），但是至少需要求解三个二阶偏导数；
5.求解多元函数的极限（一般都求解极限为零）：一般使用较特殊的夹逼准则，即),(),(),(),(),(y x g y x f y x g y x g y x f ≤≤-⇒≤，这样两边的极限都为零时，即能求得),(y x f 极限为零了；
6.复合函数的偏导数：求解时一定要注意“n 元函数对应n 项之和”；。