高三数学考前模拟演练试题文北师大版

北师特学校 高考模拟演练
数学（文史类）
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将第Ⅱ卷上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写清楚； 2．每小题选出答案后，将答案填在第Ⅱ卷答题卡对应的表格里。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。

1．如果复数)()2(R a i ai ∈+的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
2. 命题“,x
x e x ∀∈>R ”的否定是（ ）
A ．,x
x e x ∃∈<R B ．,x
x e x ∀∈<R C ．,x
x e x ∀∈≤R D ．,x
x e x ∃∈≤R 3．“6
π
α=
”是“1
cos 22
α=
”的（ ） A ． 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 在等差数列{}n a 中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
5．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是（ ） Ａ．3
Ｂ．—3
Ｃ．3
1
-
Ｄ．
3
1 6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
A ．π32
B ．π16
C ．π12
D ．π8
俯视图
7.设x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
8．在一张纸上画一个圆，圆心O ，并在圆外设一定点F ，折叠纸圆上某点落于F 点，设该点为M ，抹平纸片，折痕AB ，连接MO （或者OM ）并延长交AB 于P ，则P 点轨迹 为（ ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．直线
第Ⅱ卷 （共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9．已知幂函数()y f x =的图象过（4，2）点，则1()2
f =
10．在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，32BC =，则AC =
11. 设22
2,2
(),((5))log (1),2x x f x f f x x -⎧≤==⎨->⎩则____________________。

12．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为
13.化简)1(1
431321211++
+⨯+⨯+⨯n n 的结果是
14. 若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22
:(5)16C x y -+=相切
于点M ，则PM 的最小值为 三、解答题: 本大题6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15．（本小题满分13分）已知函数22
()cos sin 2sin cos f x x x x x =-+．
开始
,1==S n 3n S S n =+⋅
4?
n <1+=n n
输出S
结束
是
否
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，求函数()f x 的最大值，并写出x 相应的取值. 16．（本小题满分13分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥ 底面ABCD ，且
2PA =，E 是侧棱PA 上的动点.
(Ⅰ) 求四棱锥P ABCD -的体积；
(Ⅱ) 如果E 是PA 的中点，求证PC ∥平面B DE ； (Ⅲ) 是否不论点E 在侧棱PA 的任何位置，都有BD CE ⊥？
证明你的结论．
17．（本小题满分13分）
联合国准备举办一次有关全球气候变化的会议，分组研讨时某组有6名代表参加，A 、
B 两名代表来自亚洲，
C 、
D 两名代表来自北美洲，
E 、
F 两名代表来自非洲，小组讨论
后将随机选出两名代表发言．
（Ⅰ）代表A 被选中的概率是多少？
（Ⅱ）选出的两名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的概率是多少？
18.（本题满分13分）
已知函数2
()ln 2
a f x x x =
-， （1）若1a =，证明()f x 没有零点； （2）若1
()2
f x ≥
恒成立，求a 的取值范围．
19.（本小题共14分）
已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为（3，0），右顶点为（2，0）. （1） 求椭圆C 的方程； （2） 若直线2:+
=kx y l 与椭圆C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>•(其中
O 为原点)，求k 的取值范围.
20.（本小题共14分）
已知函数)(,)(33221*∈++++=N n x a x a x a x a x f n n ，又是=)1(f 2
n .
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求)3
1(f .
数学答题纸
（文史类）
一．选择题答案：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项
二、填空题：（每小题5分，共30分。

）
9、 10、 11、
12、 13、 14、
三、解答题：（本大题满分80分。

解答题应写出文字说明、证明或演算过程）
15、（本题13分）
16、（本题13分）
17、（本题13分）
18、（本题13分）
19、（满分14分）
20、（满分14分）
数学（文史类）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。

1．如果复数)()2(R a i ai ∈+的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于（ D ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
2. 命题“,x
x e x ∀∈>R ”的否定是（ D ）
A ．,x
x e x ∃∈<R B ．,x
x e x ∀∈<R C ．,x
x e x ∀∈≤R D ．,x
x e x ∃∈≤R 3．“6
π
α=
”是“1
cos 22
α=
”的（ A ） A ． 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 在等差数列{}n a 中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于（ B ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
5．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是（ B ） Ａ．3
Ｂ．—3
Ｃ．3
1
-
Ｄ．
3
1 6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ C ）
A ．π32
B ．π16
C ．π12
D ．π8
7.设x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ D ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
8．在一张纸上画一个圆，圆心O ，并在圆外设一定点F ，折叠纸圆上某点落于F 点，设该点为M ，抹平纸片，折痕AB ，连接MO （或者OM ）并延长交AB 于P ，则P 点轨迹 为（ B ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．直线
第Ⅱ卷 （共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

俯视图
9．已知幂函数()y f x =的图象过（4，2）点，则1()2f =
2
2
10．在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，32BC =，则AC = 6
11. 设222,2
(),((5))log (1),2
x x f x f f x x -⎧≤==⎨->⎩则_________1___________。

22．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 102
13.化简)1(1
431321211++
+⨯+⨯+⨯n n 的结果是 1
+n n
14. 若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线2
2
:(5)16C x y -+=相切
于点M ，则PM 的最小值为 4
14.已知点P 是左、右焦点分别为1F 、2F 的双曲线上的一点，且21F PF ∆为等腰直角三角
形，则双曲线的离心率是 21+ 三、解答题: 本大题6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15．（本小题满分13分）已知函数22
()cos sin 2sin cos f x x x x x =-+．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的最大值，并写出x 相应的取值. 解：（Ⅰ） 22
()cos sin 2sin cos f x x x x x =-+cos2sin 2x x =+ ………4分
2)4
x π
=
+ ………6分
开始
,1==S n 3n S S n =+⋅
4?
n <1+=n n
输出S
结束
是
否
所以函数()f x 的最小正周期22
T π
π=
=. …………………………8分 （Ⅱ）44x ππ-≤≤， ∴32444
x πππ
-≤+≤， ………………………………9分
∴12)24
x π
-≤+≤ ∴当24
2
x π
π
+
=
，即8
x π
=
时，()f x 2. ………13分
16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥
底面ABCD ，且2PA =，E 是侧棱PA 上的动点. (Ⅰ) 求四棱锥P ABCD -的体积；
(Ⅱ) 如果E 是PA 的中点，求证PC ∥平面B DE ； (Ⅲ) 是否不论点E 在侧棱PA 的任何位置，
都有BD CE ⊥？证明你的结论．
解：（Ⅰ） ∵PA ⊥平面ABCD ，
∴1
3
P ABCD ABCD V S PA -=
⋅正方形 ……………………………2分 2121233=
⨯⨯=即四棱锥P ABCD -的体积为2
3
. …………4分
（Ⅱ） 连结AC 交BD 于O ，连结OE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴O 是AC 的中点．
又∵E 是PA 的中点，∴PC OE ∥． …………………6分
PC ⊄平面,BDE OE ⊂平面BDE ∴PC ∥平面BDE ．………9分
（Ⅲ）不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥. ……………………10分
证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥．
∵PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥． ……12分 又∵AC
PA A =，∴BD ⊥平面PAC ． ……………13分
∵不论点E 在何位置，都有CE ⊂平面PAC . ∴不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥. ……14分 17．（本小题满分13分）
联合国准备举办一次有关全球气候变化的会议， 分组研讨时某组有6名代表参加，A 、B 两名
代表来自亚洲，C 、D 两名代表来自北美洲，
E 、
F 两名代表来自非洲，小组讨论后将随机选出两名代表发言．
（Ⅰ）代表A 被选中的概率是多少？
（Ⅱ）选出的两名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的概率是多少？ 解：（Ⅰ）从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为（A ，B ），（A ，C ），
（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ）,（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ）， （C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）． …………………2分
其中代表A 被选中的选法有（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ）共5种，
……………………………4分
则代表A 被选中的概率为
51
153
=． ……………………………6分 （Ⅱ）解法一：随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的结果
有9种，分别是（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ）,（B ，D ），（C ，E ），（C ，F ）， （D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）． ……………………………9分 “恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为
93
155
=． ……………………………13分
解法二：随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲”的结果有8种，概率为
815
； ……………………………8分
随机选出的2名代表“都来自非洲”的结果有1种，概率为
1
15
．…10分 “恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为 813
15155
+=．
……………………………13分
18.（本题满分13分）已知函数2
()ln 2
a f x x x =
-， （1）若1a =，证明()f x 没有零点； （2）若1
()2
f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（I ）)0(ln 2
1)(12>-=
=x x x x f a 时，x x x f 1
)('-=
由0)('=x f ，得1=x ，可得)(x f 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增 故)(x f 的最小值02
1
)1()(min >=
=f x f ，所以)(x f 没有零点 （II ）方法一： x
ax x ax x f 1
1)('2-=-=
（i ）若0a >时，令0)('≥x f ，
则x ≥
，故)('x f
在⎛ ⎝上单调递减，
在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增，故)(x f 在()0,+∞上的最小值为a a f ln 2
1
21)1(+=， 要使解得21)(≥
x f 恒成立，只需2
1
ln 2121≥+a ，得1≥a （ii ）若0a ≤，0)('<x f 恒成立，)(x f 在()0,+∞是单调递减，(1)02
a
f =
≤， 故不可能2
1
)(≥
x f 恒成立 综上所述，1≥a .
19.（本小题共13分）
已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为（3，0），右顶点为（2，0）. （3） 求椭圆C 的方程； （4） 若直线2:+
=kx y l 与椭圆C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>•OB OA (其中
O 为原点)，求k 的取值范围.
解：（1）由题意可得：3,2=
=c a
342
2
-=-=∴c a b =1 所求的椭圆方程为：14
22
=+y x （2）设),(),,(2211y x B y x A 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+2
142
2kx y y x 得：0122)41(2
2=+++kx x k
2212214
11
,4122k x x k k x x +=+-=
+∴（*）
0)41(4)22(22>+•-=∆k k 解得：2
1
21-<>k k 或
由2>• 可得：22121>+y y x x
2)2)(2(2121>+++kx kx x x
整理得：0)(2)1(21212
>++
+x x k x x k
把（*）代入得：04
1)
22(2411
)1(222
>+-•++•+k k k k k 即：0411242
2>+-k k
解得：3
333<<-
k 综上：3
3
212133-<<-<<k k k 或的取值范围是：
19． 在平面直角坐标系xOy 中，经过点（且斜率为k 的直线l 与椭圆2
212
x y += 有两个不同的交点P 和Q . (Ⅰ)求k 的取值范围；
(Ⅱ)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ,B ,是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与AB 共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ) 设直线l 的方程为
y kx =2
2(12
x kx +=. 整理，得
221()102k x +++=. ①………………………… 3分
因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于
222184()4202
k k k ∆=-+=->，解得k <k >
∴ 满足条件的k 的取值范围为 2
,(,)22
k ∈
-∞-+∞（ ……… 6分 (Ⅱ)设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则OP OQ +＝（x 1+x 2，y 1+y 2),
由①得12x x +=. ②
又1212()y y k x x +=++③
因为 0)A ，(0, 1)B ， 所以( 1)AB =-.………………………… 10分
所以OP OQ +与AB 共线等价于 1212)x x y y ++.
将②③代入上式，解得k = 所以不存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线. …………………… 13分 20.（本小题共14分）
已知函数)(,)(33221*∈++++=N n x a x a x a x a x f n n ，又是=)1(f 2
n 。

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求)3
1(f 。

解：（1）令n n a a a a f S ++++== 21)1(，则2
n S n =
当1=n 时， 111==S a ； 当2≥n 时，121-=-=-n S S a n n n 11=a 满足上式， 12-=∴n a n
（2）n n f 3
1
)12(315313311)3
1(32-+++⨯+⨯= ， （1） 15323
1
)12(31)32(315313311)31(31+-+-+++⨯+⨯=∴n n n n f （2
（1）)2(-15323
1
)12(312312312312311)31(32+--⨯+++⨯+⨯+⨯=∴n n n f
1121322323
11)311(3
1231231+-++-=--⨯+--=n n n n n ， 故：n n f 3
1
1)31(+-=。