椭圆的性质

3： a2 b2 c2
（1）范围
x2 a2

y2 b2
（ 1 a b 0）
由椭圆方程可知，椭圆上的点的坐标（x,y）都适合不等式
x2 a2

1,
y2 b2
1.
Y
即 x2 a2, y2 b2.
M
F1
O
F2
X
所以 x a, y b.
说明：椭圆位于直线 x a 和 y b所围成的矩形内
解：把已知方程按x,y分别配方化成标准方程：
（4 x 2）2 9( y 1)2 27
即 （x 2）2 ( y 1)2 1
27
3
4
得
a 3 3 , b 3, c 27 3 15 .
2
4
2
所以长轴长 2a 3 3, 短轴长2b 2 3, 中心为 (2,1)，
1
9
4
得 a 3,b 2,c 9 4 5.
1
01
x
0’
x’
所以长轴长2a 6, 短轴长2b 4,离心率e
5, 3
中心为 (1,1)，焦点为 (1 5,1), (1 5,1).
如果某个形如Ax2 By2 Dx Ey F 0(A, B 0)的方程经过配方能够
（ 1 a b 0）
Y
如图椭圆和x轴,y轴有四个交点,
B2
A1, A2 , B1, B2.
x轴,y轴为椭圆的对称轴.
A1 F1
O
B1
椭圆和它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.
F2 A2 X
A1(a,0), A2 (a,0) B1(0,b), B2 (0,b)
线段 A1A2, B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.
F2
(3,0),
c 25 16 3
(1,1)
e 3 2
y A2
F2
o B1
B2
A1 F1
B1(b,0), B2 (b,0),
A1(0,a), A2(0, a). x a; y b
x By 2
o A1 F1
B1
x F2 A2
0 e 1
y a; x b
A1(-a,0)、A2(a，0)、 B1(0,-b)、B2(0,b)
B1(b,0), B2 (b,0),
A1(0,a), A2 (0, a).
（0， c） （ , 0, c）
例1 求椭圆16 x2 25 y2 400 的长轴和短轴的长、离心率、 焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形.
解：把已知方程化成标准方程：
将此方程变形x为2
52
y 4y2254
如果a=b,则c=0,两个焦点重
合，这时椭圆的标准方程就
变为圆的标准方程 x2 y2 a2
离心率越大，椭圆越扁；
F1
O
F2
X
离心率越小，椭圆越圆.
（5）
x a
2 2

y2 b2

1与
y a
2 2

x2 b2
1(a
b
0)
的比较
方程 图 形
范围
x2 a2

y2 b2
1
By 2
o A1 F1 B1
谢谢 指导
（x 1）2 ( y 1)2 1
9
4
x2 a2

y2 b2
1
x2 2y2 4x 8y 4 0
A1(5,0), A2 (5,0), B1(0,4), B2 (0,4).
2a 10,2b 8
2b 4,
(1
F (3,0), 5,1), (1 5,1) 1
写成 （x
Hale Waihona Puke ah）22

(
y
k b2
)2
（1 a b 0）或
（x h）2 ( y k)2
b2
a2
1(a b 0)
则这个方程的曲线是中心在（h, k）,长轴、短轴平行坐标轴
的椭圆。
练习：求出方程 4x2 9 y2 16 x 18 y 2 0 的长轴，短轴长， 中心和焦点.
焦点为 (2
15 ,1), (2 2
15 ,1) 2
（思考：顶点坐标）
作业 1:求过椭圆 x2 2y2 8x 4y 2 0 的一个焦点，且与
x轴垂直的弦长.
2:求椭圆x2 2 y2 4x 8y 4 0中心，焦点坐标和顶 点坐标.
3：椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2），离 心率e 3 ，求椭圆.
x F2 A2
x a; y b
y2 a2

x2 b2
1
y A2
F2
o B1
B2
A1 F1
y a; x b
对称性 关于x,y轴轴对称 关 关于x,y轴轴对称 关
于原点中心对称 于原点中心对称
顶点 焦点
A1(a,0), A2 (a,0), B1(0,b), B2 (0,b).
(c,0), (c,0)
椭 圆 的几何 性 质
知识回顾
1：椭圆的定义：平面内与两个定点 F1, F2 的距 离和等于常数(大于 F1, F2 )的点的轨迹。
MF1 MF2 2a，F1F2 2c，2a 2c
2：椭圆的标准方程：
x2
y2
a2 b2 1
y2
x2
a2 b2 1
(a b 0)
A1A2 2a, B1B2 2b.
a, b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. P37
（4）离心率
椭圆的焦距与长轴长的比 e c 叫做椭圆的离心率.
a
因为 a c 0，所以 0 e 1 .
e 越接近1，则c越接近a，从而b a2 c2 越小，因此
椭圆越扁
反之 e 越接近0，椭圆就越接近于圆 Y
离心率 e

4. 5
例2 求出椭圆 4x2 9y2 8x 18 y 23 0 的长轴，短轴的长，
离心率，中心和焦点，并画出它的近似图形.
解：把已知方程按x,y分别配方化成标准方程：
（ 4 x 1）2 9( y 1)2 36
y y’
即 （x 1）2 ( y 1)2

2
小结：
（1）学习椭圆的范围、对称性、对称轴、对 称中心、离心率与顶点等椭圆的几何性质 .
（2）研究椭圆的形状和椭圆的离心率之间的 联系.
(3) 研究椭圆的性质是通过对方程和图形的 综合讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取 不同,方程的形式也不同，但是得出的椭圆的 性质是唯一的,它与坐标系的选取无关.
（2）对称性 Y
在椭圆的标准方程
x2 a2
y2 b2
1
中，
F1
O
F2
X
把x换成-x,或者把y换成-y,或者把x,y同时换成-x,-y 方程都不改变，所以椭圆关于y轴，x轴成轴对称， 关于原点成中心对称.(从图形也可看出)
椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。（P36）
（3）顶点
x2 a2

y2 b2
Y
F1
O
Y
B2
A1 F1
O
B1
F2
X
F2 A2 X Y
F1
O
F2
X
x
-5 -3
035
y
0
-3.2
4
3.2 0
将此方程变形为 y 4 25 x（2 5 x 5）
5
xy
0
4
-5
3.2
3.2 0
y -3
0
3
1
5
1
o1
x
F2
y
1
o1
x
y y’
0 0’
x x’
251
x（2 5

x

5）
xy
得a 5,b 4, c 25 16 3. y
-5 0
因此，椭圆的长轴和短轴分别是2a 10,2b 8
-3 3.23
离心率 e ,
0 45
焦点坐标分别是 F1(3,0), F2(3,0),
1
o1
x
椭圆的3四3个.2顶点是 A1(5,0), A2(5,0), B1(0,4), B2(0,4).
50
练习: 说出下列椭圆的焦点，顶点坐标和离心率.
（1）x 2 y 2 1; 25 9
x2 (2)

y2
1
9 25
解（：1）焦点（ 4，0），（4，0），顶点（ 5，0），（5，0）（0， 3）（0，3）,
离心率 e

4. 5
（2）焦点（0， 4），（0，4），顶点（ 3，0），（3，0）（0， 5）（0，5）,