师范大学附属中学2016届高三最后一模数学(文)试题 含答案

2016
年山东师大附中高考模拟试题
数学（文史类）
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分150分．
注意事项：
1．答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0。

5毫米规格的黑色中性(签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分．共50分． 1.已知集合}2|1||{≤-=x x M ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≥+=115|
x x N ，则N M 等于（ ）
A 。

[]3,1-
B 。

(]3,1-
C 。

[]4,1- D. (]4,1-
2. 已知i 为虚数单位，R a ∈，若i
a i +-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(+
+=的模
等于（ ） A ．2
B ．
3 C ．6
D ．
11
3．已知函数()1,
0,,
0.
x
x x f x a x -≤⎧=⎨
>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 4. 命题“若2
20a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是（ )
A ．若2
20a
b +≠，则0a ≠且0b ≠
B ．若2
20a
b +≠，则0a ≠或0b ≠
C ．若0a ≠且0b ≠，则2
20a
b +≠ D ．若0a ≠或0b ≠，则2
20a
b +≠
5. “牟合方盖"是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合)在一起的方形伞（方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所
作的辅助线．当其主视图和左视图完全相同时，它的俯视图可能是
（ ）
6。

下列说法中正确的个数为（ ）
①若样本数据1
2
,,
,n x x x 的平均数5x =，则样本数据1221,21,
,21
n x x x +++的平均数为10
②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后， 平均数与方差均没有变化
③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为
5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为
60
A ．0
B ．1
C ． 2
D ．3 7.函数()()sin ln 1f x x x =⋅+的图象大致为（ ） 8。

函数
()sin()3
f x x π
ω=+
的图象向右平移
3
π个单位后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是 ( ）
A ． 12
B ．1
C ．2
D ．3
9.执行如图所示的程序框图，若输入K=5，则输出的
S 是(
)
A 。

18 B.50
C.78 D 。

306
10. 设函数
[],0(),(1),0
x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩其中][x 表示不超过x 的最大整数,如[ 1.2]-=
—2,]2.1[=1，]1[=1，若直线(0)y kx k k =+>与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是 （ ）
A ．]3
1,41( B ．]4
1,0( C ．]3
1,41[ D ．)3
1,41[
第II 卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.在ABC ∆
中，若sin sin sin sin a A b B c C B
+-=．则角C 等于
12 .设x ，
y 满足约束条件110x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数2z x y
=-的取值范围
为 ．
13。

在区间[]1,2上随机取一个数r ，则使得圆2
22x y r +=与直线20x y ++=存
在公共点的概率为
14。

四边形ABCD 中，BD AC ⊥且3,2==BD AC ，则CD AB ⋅的最小值为
15。

1F 、2F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 是双曲线右支上
一点，满足()2
2
OP OF PF
+⋅=（O 为坐标原点）,且1
2
34PF
PF =，则双曲线的
离心率为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16。

（本题满分12分)已知函数()2
sin
23sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.
(I ）求()f x 的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）若()0002x x
x f x π⎛
⎫=≤≤ ⎪⎝⎭
为的一个零点，求0cos 2x 的值.
17.(本题满分12分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8。

0米（精确到0.1米）以上
的为合
格．数据分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0。

04，0.10，0.14,0.28，0。

30 。

第6小组的频数是7。

（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数;
(Ⅱ）若参加测试的学生中9人成绩优秀,现要从成绩优秀的学生中,随机选出2人参加“毕业运动会”，已知学生a 、b 的成绩均为优秀，求两人a 、b 至少有1人入选的概率.
18.（本题满分12分)如图，AB 为圆
O
的直径，点
E
、F 在圆O 上,且//AB EF ,矩形ABCD 所在的平面和
圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1
AD EF ==。

(I)求证:AF ⊥平面CBF ；
（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证://OM 平面DAF ; (III)设平面CBF 将几何体EFABCD 分成
的两个锥体
的体积分别为F ABCD
V
-，F CBE
V
-，求:F ABCD
F CBE
V
V --．19．（本题满分12分)用部分
自然数构造如图的数表:用()ij
a i j ≥表示第i 行第j 个数(,i j N +
∈），使得1.i ii a a i ==每行中的其他各数分别等于其
“肩膀"上的两个数之和。

设第n (n N +∈）行的第二个数为(2)n b n ≥，
（I)写出1
n b +与n
b 的关系，并求()2n
b n ≥； （Ⅱ)设()21n
n c
b n =-+
,证明：2
4
6
211111
2
n c c c c +++
+
<
20．(本题满分13
分)已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b y a x 的离心率为2
1
，以原
点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直
线06=+
-y x 相切．
（I ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线1
l 与
椭圆交于
A B 、，过F 与1
l 垂直的直线2
l 与椭圆交于C D 、，与3
4l x =：交于P ,
(1）求证：直线PA PF PB 、、的斜率,,PA
PF
PB
k k k 成等差数列
（2）是否存在常数λ使得||||||||AB CD AB CD λ+=⋅成立，若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由. 21．（本题满分14分）已知函数a x x a x x x f +--=2
2
ln )(（a ∈R ）在其定义
域内有两个不同的极值点． （I ）求a 的取值范围；
（Ⅱ)记两个极值点分别为1
x ,2
x ,且21
x x
<．已知0>λ，若不等式112e x x λλ
+<⋅恒成立,求λ的范围．
2016年山东师大附中高考模拟试题参考答案
数学（文史类）
一、BCBDB AADAD 二、
6π
[]
-1,2
134-
5
三、16。

解：（I ）()
2
sin
cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
()()
21
sin 2sin cos sin cos 2
x x x x x x =+
+- 1cos 211
2cos 22cos 2222
x x x x x -=
-=-+ 12sin 262x π⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭ ---—-
—-—-———-——-———3分
()
f x 的
最
小
正
周
期
为
π
——---——-————---———4分
222,,2
6
2
6
3
k x k k x k k Z π
π
π
π
π
ππππ-
≤-
≤+
∴-
≤≤+
∈
函数()f x 的单调递增区间是[,],63
k k k Z ππ
ππ-+∈
-—-——--—--——--—-——6分 （II ）()0
001
12sin 20sin 26264f x x
x ππ⎛⎫⎛
⎫=-
+=∴-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
—--—-——-—-—
----———8分
00050,2202
6
6666
x x x π
π
π
ππ
π≤≤
-
≤-
≤∴-≤-<
0cos 26x π⎛⎫-==
⎪⎝⎭ --—-—
-----—-------10分
0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
15311351
42428=
+⨯=
—---—---——————--——12分
17。

解：（Ⅰ）第6小组的频率为1－(0。

04＋0.10＋0。

14＋0.28＋0。

30）＝0。

14，
∴此次测试总人数为7
500.14
=（人)。

∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28＋0.30＋0。

14）×50
＝36(人)．-—--———--———-—--—-4分
（Ⅱ）设成绩优秀的9人分别为,,,,,,,,,a b c d e f g h k 则选出的2人所有可能的情况为：
,,,,,,,;ab ac ad ae af ag ah ak ,,,,,,;bc bd be bf bg bh bk ,,,,,;cd ce cf cg ch ck ,,,,;de df dg dh dk ,,,;ef eg eh ek ,,;fg fh fk ,;gh gk hk .
共36种，其中a 、b 到少有1人入选的情况有15种，
∴a 、b 两人至少有1人入选的概率为155.3612P ==
——
—-——---——-—-—-——12分 18。

解:(1）证明: 平面⊥ABCD 平面
ABEF
，
AB CB ⊥，
平面 ABCD 平面ABEF =AB ，
⊥∴CB 平面ABEF
，
⊂AF 平面ABEF
，CB AF ⊥∴ ，
又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴，
⊥∴AF 平面CBF
.
—-———-—--—————--——4分
（2）设DF 的中点为N ，则MN //CD 21，又AO //CD 2
1
，
则MN //AO ，MNAO 为平行四边形， //OM ∴AN ，
又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ,
//OM ∴平面DAF . -—-——---————-——-—8分 （3)过点F 作AB FG ⊥于G ， 平面⊥ABCD 平面ABEF ，
⊥∴FG 平面ABCD ,FG FG S V ABCD ABCD F 3
2
31=⋅=∴-,
⊥CB 平面ABEF ，
CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅=
=∴∆--31FG CB FG EF 6
1
2131=⋅⋅⋅=，
ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ． -----—-----———----12分
19。

解（1） 由已知得1n n b b n +=+，
1(1)
2123(1)2
n n n n b b n -∴≥-=++++-=
当时，， 又
1(1)
11.2
n n n b b -=∴=+
， -——-
—------------—6分 （2)由（1）()221n
n c
b n n =-+=，
22211111144122121k c k k k k ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭
——8分
246
211111111111112323522121n c c c c n n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
++++
<-+-+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭
---—-—-—
—----————-12分
20。

解(1）由题意知21
==a c e ,所以4
1
222222
=-==a b a a c e ，即2234b a =．
—--
——-——2分
又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆222b y x =+，与直线06=+
-y x 相切，所以=
b 3)
1(162
2
=-+， --——-
—--—-————-—--——-—3分
所以42
=a
，32=b ,故椭圆
C
的方程为13
42
2=+y x ．
—-——
—----——--——-——-4分
（2）由题意知直线1
l 的斜率存在且不为0，则直线1
l 的方程为
(1)y k x =-．
由22
(1),1,43
y k x x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=． ①
设点1
1
(,)A x y ，2
2
(,)B x y ,则),(1
1
y x A -．
利用根与系数的关系得2122843
k x x k +=+,=21x x 22412
43k k -+，
---———
—--——--——6分
由题意知直线2
l AE 的斜率为1k
-，则直线2
l 的方程为1(1)y x k
=--
令4x =，得P 点的坐标34,P k ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
()()121212121233
11311444444PA PB
y y k x k x k k k k x x x x k x x +
+--⎛⎫+=+=+++ ⎪------⎝⎭ =()()()12
1212121212122588
3416416
x x
x x x x k x x x x k x x x x ++++-⨯+⨯
-++-++ =2222222222222
241288258834343434128412
841641643434343
k k k k k k k k k k k k k k k k --⨯+-+++⨯+⨯---⨯+-⨯+++++ =()()
2220324242
2361361PF k k k k k k k --=⨯
+⨯=-=++ 即2PA
PB PF k
k k +=，所以PA PF PB k k k 、、成等差数列 -—-—-—--——
--———---———-—-—9分
(3)()()
22222
2
1644344121||||
34k k k k k AB a k
+-+-+∆
=
=
+
()22
12134k k +=
+ ---————----——————--——
-----—--—---—-————---————-—-—-—-—--———--—-10分
同理：
()222
21121121||43134k k CD k k ⎛⎫⎛⎫+- ⎪
⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
-—-----—-——-—---——-—-——————11分
()()22221134437
||||12
121121k k AB CD k k +++=+=++ 所以7||||||||12AB CD AB CD +=
，存在712
λ=使得等式成立 ——
—-——-—————-13分
21.解：因为
'()ln f x x ax
=-
(解法一）转化为,函数ln y x =与函数y ax =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点,如图．
可见，若令过原点且切于函数ln y x =图象的直线斜率为k ,只须0a k <<． 令切点0
A(,ln )x x ,所以00
1
|
x x k y x ='==
,又0
0ln x k x =,所以00
ln 1
x x x =
，
解
得
0e
x =, 于是
1e
k =
,
所
以
1
0e
a <<
． —-————--——--6分
（解法二）转化为函数ln ()x g x x =与函数y a =的图象在(0,)+∞上有两个不
同交点． 又21ln ()x g x x -'=,即0e x <<时，()0g x '>,e x >时,()0g x '<, 所以()g x 在(0,e)上单调增,在(e,)+∞上单调减．从而()(e)g x g =极大1e =, 又()g x 有且只有一个零点是1,且在0x →时，()g x →-∞，在x →+∞时，()0g x →，
所以()g x 的草图如下, 可见,要想函数ln ()x
g x x =与函数y a =的
图象在(0,)+∞上有两个不同交点,
只须1
0e a <<．
—--——--———-—6分
（2）因为112e
x x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+． 由（1）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根， 即11ln x ax =,22ln x ax =
所以原式等价于121ax ax
λλ+<+12()a x x λ=+,因为0>λ,120x x <<， 所
以原式等价于121a x x λ
λ+>+． --——-————--
—8分
又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，1122ln ()x a x x x =-，即1
212ln x x a x x =-． 所以原式等价于1
21212ln 1x x x x x x λλ+>-+, 因为120x
x <<,原式恒成立，即112212(1)()ln x x x x x x λλ+-<+恒成立． 令12
x t x =，(0,1)t ∈, 则不等式(1)(1)ln t t t λλ+
-<+在(0,1)t ∈上恒成立． 令(1)(1)()ln t h t t t λλ
+-=-+, 又221(1)()()h t t t λλ+'=-+22(1)()()
t t t t λλ--=+, 当21λ
≥时,可见(0,1)t ∈时，()0h t '>,所以()h t 在(0,1)t ∈上单调增，又(1)0h =, ()0h t <在(0,1)t ∈恒成立，符合题意． 当21λ<时，可见2(0,)t λ∈时，()0h t '>,2(,1)t λ∈时()0h t '<，
所以()h t 在2(0,)t λ∈时单调增，在2(,1)t λ∈时单调减,又(1)0h =，
所以()h t 在(0,1)t ∈上不能恒小于0,不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，只须21λ≥,又0λ>，所以1λ≥．-—---—-14分。