第四章(2)§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动(势流理论)

V d 在复平面上的沿两点 z0 及 z 间任意曲线上的复积分 dz
的实部为两点z0 及 z 间的曲线上的速度环量 ，虚部为过两点z0 及 z 间曲线 的速度通量或流量。
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论 ◆ 理想 + 不可压缩流体 + 无旋运动 — 复位势性质
y 0 y 0
i
V u x iu y V e
i
2 2 —复速度 V u x uy
uy tan ( ) ux
1
o ω - 平面

§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论 ◆ 理想 + 不可压缩流体 + 无旋运动
• 以速度势函数Φ作为求解对象。这时控制方程为拉普拉斯方程。在固壁边界C 上应满足Vn=0。在无限远满足▽Φ=V∞，即为下列定解问题：
0 n 0 C V
拉普拉斯方程 黎曼问题
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论
第四章 理想流体力学专题
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
理想不可压缩流体有势流动 ——用于实际流动的计算和模拟 —— 泵内流 场计算常用势流理论数字模拟计算 —— 除了固壁边界邻近处的附面层外 —— 运 用势流理论 —— 可以得到很好的近似和满意的精度。
§4-3-1 势流运动的基本方程 d ◆ 连续性方程 V 0 dt
M
0
M M Q M V ndl M uxdy uy dx M dy ( )dx
0
0
o r
l
V dl n
M0
l
y
x
◆
性质4
M d ( M ) ( M 0 )
0
M
在单连通域上，不可压缩流体过其上任意封闭曲线 l 的速度通量为零，相 应的流函数 ψ 在单连通域上单值；过任意两点间连线上的速度通量与这两点 间的连线的路径无关
Q llV ndl ll nVdl S Vds 0
M 0 ux dy u y dx M 0 d (M 0) (M 0)
M 0 M 0
(M 0) (M 0)
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论
ux ( )
,
x
拉普拉斯方程的 狄尼克莱问题
u y ( )
• 以复位势 ω(z)作为求解对象。这时，用复变函数的方法来确定求解区域上的解 析函数ω(z)= Φ +iΨ ，即满足柯西-黎曼条件的复函数 ω(z)，同时必须满足固定 和无限远边界条件：

第四章 理想流体力学专题2
◆ 平面不可压缩流体 - 定常 - 有势流动问题的数学提法及定解问题
• 以流函数Ψ 作为求解对象。这时控制方程为拉普拉斯方程；在固壁边界C上满 足Ψ = 常数，固壁为一流线；满足无限远速度边界条件。即为下列定解问题：

0

y
C const
第四章 理想流体力学专题2
— 复速度及共轭复速度
由复速度定义：
对称地
d d ( i ) i u iu V x y x x dz dz d d ( i ) i u iu V x y dz dz x x
复速度和共轭复速度沿复平面上 z0 、 z 两点间曲线的复积分：
◆
第四章 理想流体力学专题9
性质4 在单连通域上复位势复位势 ω(z) 是单值的，在复连通域上则可能是多值 的。
◆
性质5 对于不可压缩流体的平面无旋运动，其势函数 Φ 和流函数ψ 都满足 Laplace 方程：
0
0 0
事实上：
u y u x ( ) ( )0 x y x x y y u x u y
u x ux ,u y , z x y
u y
z 0
V ( x, y; t )
—— 势函数性质
◆
无旋即有势 平面无旋运动 —— 平面有势流动 —— 平面势流
ux x
uy y
速度势函数 —— 势函数
性质1 速度势函数Φ加减某一常数C ，所描述的流动完全相同 性质2 速度势函数Φ 的等值面（线）Φ=C 的法线方向与速度方向一致，速度 方向指向势函数增加的方向
◆ Lagrange 积分
V 0 0势流运动本方程组 0p V G f (t ) t 2
2
V 2 p gz f (t ) t 2
0
重力势 g z 作用下 势流运动基本方程组
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
◆
c d 0 d x dx y dy u x dx u y dy V dr 0 V dr V //n
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论
第四章 理想流体力学专题2
—— 势函数性质
◆
性质3 无旋流动的速度沿任意两点M0 和M 之间的任一连线的速度环
M
量，只与势函数在这两点上取值的差有关
M
◆
性质4
M M Γ M V dr M ux dxuy dy M0 dx dy x y 0 0 M M d (M ) (M0 )
线为流线。
V // dr
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论
第四章 理想流体力学专题2
◆ 理想 + 不可压缩流体 —— 流函数性质
◆
M
性质3 不可压缩流体的速度在任意两点M0 和M 间的任一连线上的通 量，只与流函数在这两点上取值的差有关
有势流动在流体内部压力不能达到极小值 。
◆ 性质4
◆ 性质5
有势流动流体内部动能由其边界上势函数及速度的值所确定。
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
第四章 理想流体力学专题3
§4-3-3 理想流体平面流动基本理论
平面流动有三个运动参量：
◆ 理想 + 无旋运动 —— 速度势函数 — 势函数
第四章 理想流体力学专题2
◆ 线性函数 - 平行来流 —— 复位势是线性函数
Im(y)
a=α+iβ a’=β+iα
( a i ) ( z ) az ( z ) ( i )( x iy ) ( x y ) i ( x y ) i
( z ) i
Im ( z ) C const d V dz
复变函数方法求解平面流动问题比数理 方程方法灵活、有效，能解决比较复杂 的边界问题。因此，对于平面理想不可 压缩流体定常有势流动，一般都主要采 用复变函数方法来求解平面势流问题。
第四章 理想流体力学专题2
M 0
(M 0) (M 0)
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论
第四章 理想流体力学专题2
◆ 理想 + 不可压缩流体 —— 流函数
不可压缩
V 0
( x , y ; t )
—— 流函数性质
◆
u x u y 0 x y
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
§4-3-4 平面理想不可压缩流体定常无旋运动的基本形式 — 理想、定常 — 不可压缩流体 — 无旋（有势）运动 —— 基本运动形式 —— 基本流动 —— 几种初等函数形式的复位势 —— 描述的基本流动
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-4 平面理想不可压缩流体定常无旋运动的基本形式
0
o r
l
l
dr V
M0
在单连通域上，无旋流动沿任一封闭曲线 l 的速度环量为零，其势函数
Φ 在单连通域上是单值的
Γ llV dr sVds 0
M 0 uxdxuy dy d (M 0) (M 0) M 0
M 0
d dz (z) (z ) Vdz 0 z0 z0 dz z z d z0Vdz z0 dz dz(z)(z0 )
z z
( z) z Vdz ( z0 )
0
z
( z) z V dz ( z0 )
0
z
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论 ◆ 理想 + 不可压缩流体 + 无旋运动 — 复位势性质
第四章 理想流体力学专题7
◆ 理想 + 不可压缩流体 + 无旋运动 ——复位势及复速度
理想+无旋运动 — 存在势函数Φ — u x x 理想+不可压缩 — 存在流函数ψ — u x x y x y
—复位势
uy y
uy
第四章 理想流体力学专题2
§4-3-2 势流运动的性质
◆ 性质0
势流运动 = 无旋运动，有势即无旋，无旋速度场 = 势函数梯度场。
◆ 性质1 ◆ 性质2 ◆ 性质3
势流的速度势函数 在单连通区域内是单值的。 势流的速度势函数 在流体内部不能有极大值与极小值 。
有势流动的速度 V 的值在流体内部不能达到极大值 。
y
x
iy
x 0 y 0
x 0 y 0
柯西-黎曼条件
考察复变函数：
z x iy
( z ) i
z x iy
o Z - 平面
i
x
i d i lim lim dz lim x x x z0 z x 0 z x 0 y 0 y 0 i lim lim i y i y y x0 z x 0
V x y x x ( ) y y (
)0
0
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论
第四章 理想流体力学专题2
◆ 平面不可压缩流体 - 定常 - 有势流动问题的数学提法及定解问题 — 求解对象 — 势函数Φ —— 流函数 Ψ —— 复位势ω (z) —
— 等势线族： x y C 斜率等于
φ=C
Re(x)
的平行直线族 相 ψ=C 互 — 流线族： x y C 垂 等流函数线 V=α-iβ 直 的平行直线族 斜率等于 — 复速度： V d a i u u x y 速度矢量为 V ex ey dz 平面无限边界平行来流 — 共轭复速度： V d a i u x u y dz 线性函数的复位势 ( z ) az 所描述的是复速度 V i 的无限边界的平行来流
ux y
uy x
流函数
性质1 流函数ψ加减某一常数C ，所描述的流动完全相同 性质2 流函数 ψ 的等值线 ψ =C 的切线方向与速度方向一致，即是说其等值
◆
u y ux c d 0 d dx dy uy dxux dy 0 x y dy dx
◆
第四章 理想流体力学专题9
性质1 复位势ω加减某一常数C ，所描述的流动完全相同 性质2 复位势ω(z) 的等值线族 ω (z)=C 为等势线族Φ =C 和流线族ψ =C 。它 们在复平面上组成相互正交的曲线网。
◆
◆
性质3 共轭复速度
z
z z z d z0V dz z0 dz dz z0 d z0 d i z0 d Γ iQ z