高中数学 第一章 集合章末复习学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案

第一章集合
章末复习
学习目标 1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．
1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．
2．元素与集合有且只有两种关系：∈，∉.
3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，Venn图，常用数集字母代号．
4．集合间的关系与集合的运算
符号定义Venn图子集A⊆B x∈A⇒x∈B
真子集A B A⊆B且存在x0∈B但x0∉A
并集A∪B {x|x∈A或x∈B}
交集A∩B {x|x∈A且x∈B}
补集∁U A(A⊆U) {x|x∈U且x∉A}
5.常用结论
(1)∅⊆A；
(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔A⊇B.
(3)A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(4)A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.
1．若A ＝{}x ，|x |，则x <0.( √ ) 2．任何集合至少有两个子集．( × )
3．若{}x |ax 2
＋x ＋1＝0有且只有一个元素，则必有Δ＝12
－4a ＝0.( × )
4．设A ，B 为全集的子集，则A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .( √ )
类型一 集合的概念及表示法 例1 下列表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2}
C ．M ＝{y |y ＝x 2
＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2
＋1，x ∈N } D ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2
－1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2
－1，x ∈R } 考点 集合相等的概念 题点 判断集合的相等关系 答案 B
解析 A 选项中M ，N 两集合的元素个数不同，故不可能相同；
B 选项中M ，N 均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M ＝N ；
C 选项中M ，N 均为数集，显然有M N ；
D 选项中M 为点集，即抛物线y ＝x 2
－1上所有点的集合，而N 为数集，即抛物线y ＝x 2
－1上点的纵坐标，故选B.
反思与感悟 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．
跟踪训练1 设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －3y ＋4＝0}，则A ∩B ＝________. 考点 交集的概念及运算 题点 无限集合的交集运算 答案 {(4,4)}
解析 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝0，2x －3y ＋4＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝4.∴A ∩B ＝{(4,4)}．
类型二 集合间的基本关系
例2 若集合P ＝{x |x 2
＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可能取值组成的集合．
考点 子集及其运算
题点 根据子集关系求参数的范围 解 由题意得，P ＝{－3,2}． 当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；
当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1
a
，
为满足S ⊆P ，可使－1a ＝－3或－1
a
＝2，
即a ＝13或a ＝－12
.
故所求集合为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
0，13，－12.
反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
(2)对于两集合A ，B ，当A ⊆B 时，不要忽略A ＝∅的情况． 跟踪训练2 下列说法中不正确的是________．(只需填写序号) ①若集合A ＝∅，则∅⊆A ；
②若集合A ＝{x |x 2
－1＝0}，B ＝{－1,1}，则A ＝B ； ③已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则a >2. 考点 集合的包含关系 题点 集合包含关系的判定 答案 ③
解析 ∅是任何集合的子集，故①正确； ∵x 2
－1＝0，∴x ＝±1，∴A ＝{－1,1}， ∴A ＝B ，故②正确；
若A ⊆B ，则a ≥2，故③错误．
类型三 集合的交、并、补运算 命题角度1 用符号语言表示的集合运算
例3 设全集为R ，A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，求∁R (A ∪B )及(∁R A )∩B . 考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算
解把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，
∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}．
∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．
反思与感悟求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．
跟踪训练3 已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩(∁U B)等于( )
A．{1} B．{3,6}
C．{4,5} D．{1,3,4,5,6}
考点交并补集的综合问题
题点有限集合的交并补运算
答案 B
解析∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，
∴∁U B＝{0,2,3,6}，
又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(∁U B)＝{3,6}，故选B.
命题角度2 用图形语言表示的集合运算
例4 设全集U＝R，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}．则图中阴影部分表示的集合为________．
考点Venn图表达的集合关系及运用
题点Venn图表达的集合关系
答案{x|1≤x<2}
解析图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)，因为∁U B＝{x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}．
反思与感悟解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．
跟踪训练4 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？
考点交并补集的综合问题
题点用并交补运算表示Venn图指定区域
解设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出Venn图(如图)，
则没有参加过比赛的同学有45－(12＋20－6)＝19(名)．
答这个班共有19名同学没有参加过比赛．
类型四关于集合的新定义题
例5 设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A 为封闭集．
①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；
②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；
③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；
④若A为封闭集，则一定有0∈A.
其中正确结论的序号是________．
考点集合各类问题的综合
题点新定义题
答案②④
解析①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封闭集；②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy ＝4k1k2∈A，故②正确；③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集，故③不正确；④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④.
反思与感悟 新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．
跟踪训练 5 设数集M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
m ≤x ≤m ＋
3
4，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
n －1
3≤x ≤n
，且M ，N 都是集合
{x |0≤x ≤1}的子集，如果b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }(b >a )的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112 D.5
12 考点 集合各类问题的综合 题点 新定义题 答案 C
解析 方法一 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧
m ≥0，m ＋3
4
≤1，⎩⎪⎨⎪⎧
n －13≥0，n ≤1，
解得0≤m ≤14，1
3
≤n ≤1.
取字母m 的最小值0，字母n 的最大值1，
可得M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
0≤x ≤
3
4，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
2
3
≤x ≤1， 所以M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
0≤x ≤
3
4∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
2
3
≤x ≤1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
23
≤x ≤
34， 此时得集合M ∩N 的“长度”为34－23＝1
12
.
方法二 集合M 的“长度”为34，集合N 的“长度”为1
3.
由于M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，
而{x |0≤x ≤1}的“长度”为1，由此可得集合M ∩N 的“长度”的最小值是⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋13－1＝112.
1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个
考点 子集个数
题点 求集合的子集个数 答案 B
2．下列关系中正确的个数为( ) ①
2
2
∈R ；②0∈N ＋；③{－5}⊆Z . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 常用的数集及表示 题点 常用的数集及表示 答案 C
解析 ①③正确．
3．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，则集合(∁U A )∩B 等于( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |0<x ≤2} C ．{x |0≤x <2} D ．{x |0≤x ≤2}
考点 并交补集综合问题 题点 无限集合的并交补运算 答案 C
解析 先求出∁U A ＝{x |x <2}，再利用交集的定义求得(∁U A )∩B ＝{x |0≤x <2}．
4．设全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{b ，d ，e }，那么(∁I M )∩(∁I N )等于( ) A ．∅ B ．{d } C ．{b ，e }
D ．{a ，c } 考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 A
5．已知集合U ＝R ，集合A ＝{}x |x <－2或x >4，B ＝{}x |－3≤x ≤3，则(∁U A )∩B ＝________. 考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 答案
{}x |－2≤x ≤3
解析 由图知(∁U A )∩B ＝{}x |－2≤x ≤3.
1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一.
一、选择题
1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}，则M∩N等于( ) A．{1,4} B．{－1，－4}
C．{0} D．∅
考点交集的概念及运算
题点有限集合的交集运算
答案 D
解析因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，所以M∩N＝∅，故选D.
2．已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．A＝B B．A∩B＝∅
C．A⊆B D．B⊆A
考点集合的包含关系
题点集合包含关系的判定
答案 D
解析A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴(图略)可得：B⊆A.
3．已知全集U＝R，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，则集合A∩(∁U B)等于( ) A．{1} B．{1,2}
C．{1,2,3} D．{0,1,2}
考点交并补集的综合问题
题点无限集合的交并补运算
答案 B
解析∵∁U B＝{x∈R|x<3}，
∴A∩(∁U B)＝{1,2}．
4．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B等于( )
A ．{1,3}
B ．{3,5}
C ．{1,5}
D ．{1,3,5}
考点 Venn 图表达的集合关系及运用 题点 Venn 图的应用 答案 D
解析 画出满足题意的Venn 图，由图可知B ＝{1,3,5}．
5．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2
}，若M ∩N ＝N ，则a 的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．1或－1 考点 集合的交集、并集性质及应用 题点 利用集合的交集、并集性质求参数的值 答案 A
解析 由M ∩N ＝N 得N ⊆M .
当a ＝0时，与集合中元素的互异性矛盾； 当a ＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾； 当a ＝－1时，N ＝{－1,1}，符合题意．
6．设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x |x <3或x ≥7}，B ＝{x |x <a }．若(∁U A )∩B ≠∅，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ≥7
D ．a ＞7
考点 交并补集的综合问题
题点 与交并补集运算有关的参数问题 答案 A
解析 因为A ＝{x |x <3或x ≥7}，所以∁U A ＝{x |3≤x <7}，又(∁U A )∩B ≠∅，则a ＞3. 7．设集合I ＝{}1，2，3，A ⊆I ，若把满足M ∪A ＝I 的集合M 叫做集合A 的配集，则A ＝{}1，2的配集有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 考点 并集的概念及运算 题点 有限集合的并集运算
答案 D
解析 M 可以是{}3，{}1，3，{}2，3，{}1，2，3，共4个．
8．若集合A ＝{}x |0<x <7，x ∈N ＋，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫y ⎪⎪⎪
6
y
∈N ＋，y ∈A
，则B 中元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点 元素与集合的关系 题点 集合中元素的个数 答案 D
解析 A ＝{}1，2，3，4，5，6，B 中元素为A 中能整除6的数，∴B ＝{}1，2，3，6. 二、填空题
9．设全集U ＝R ，若集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |2≤x ≤3}，则A ∩(∁U B )＝________. 考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 {1,4}
解析 ∵∁U B ＝{x |x <2或x >3}， ∴A ∩(∁U B )＝{1,4}．
10．设集合A ＝{1，－1，a }，B ＝{1，a }，A ∩B ＝B ，则a ＝________. 考点 集合的交集、并集性质及应用 题点 利用集合的交集、并集性质求参数的值 答案 0
解析 ∵A ∩B ＝B ，即B ⊆A ，∴a ∈A . 要使a 有意义，a ≥0. ∴a ＝a ，∴a ＝0或a ＝1， 由元素互异，舍去a ＝1.∴a ＝0.
11．已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围是________．
考点 交集的概念及运算
题点 由交集运算结果求参数的取值范围
答案 ⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪⎪⎪
－1
2≤a ≤2或a >3
解析 ①若A ＝∅，则A ∩B ＝∅，
此时2a >a ＋3，即a >3.
②若A ≠∅，如图，由A ∩B ＝∅可得，
⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≥－1，a ＋3≤5，
2a ≤a ＋3，解得－12
≤a ≤2.
综上所述，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ －12≤a ≤2或a >3. 三、解答题
12．已知集合A ＝{x |x <－1或x ＞2}，集合B ＝{x |4x ＋p <0}．当B ⊆A 时，求实数p 的取值范围．
考点 子集及其运算
题点 根据子集关系求参数的取值范围
解 ∵B ＝{x |4x ＋p <0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－p 4， 将集合A 在数轴上表示出来，如图所示．
∵B ⊆A ，∴－p
4
≤－1，即p ≥4. 故实数p 的取值范围是{p |p ≥4}．
13．已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}．
(1)求A ∩B ，(∁R B )∪A ；
(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值集合．
考点 交并补集的综合问题
题点 与交并补集运算有关的参数问题
解 (1)显然A ∩B ＝{x |3≤x <6}．
又B ＝{x |2<x <9}，∴∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥9}，
∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6或x ≥9}．
(2)∵C ⊆B ，如图所示，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2，a ＋1≤9，
解得2≤a≤8，∴a的取值集合为{a|2≤a≤8}．
四、探究与拓展
14．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为( )
考点集合各类问题的综合
题点新定义题
答案 A
解析如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.
15．对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有：A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．
据此，试回答下列问题：
1，2，3，求C×D；
(1)已知C＝{}a，D＝{}
(1，2)，(2，2)，求集合A，B；
(2)已知A×B＝{}
(3)若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，试确定A×B中有多少个元素．
考点集合各类问题的综合
题点集合各类问题的综合
(a，1)，(a，2)，(a，3).
解(1)C×D＝{}
(1，2)，(2，2)，
(2)因为A×B＝{}
1，2，B＝{}2.
所以A＝{}
(3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．
若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中应有m×n个元素．于是，若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则A×B中有12个元素．。