高二数学抛物线的简单几何性质2

2
探究5 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，O为坐标原点， OA⊥OB，则直线AB是否过定点？ 求AB中点P的轨迹方程.
2
探究6 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )，M为该抛物线 上一定点，且MA⊥MB，则直线AB 是否过定点？
y A1 M1 A(x1,y1)
M
O F B(x2,y2) X
B p (2)x1x2= ,y1y2= - p2 4 1 1 2 ( 3) | AF | | BF | P
2
1
(4) A, O , B1三点共线, B , O , A1三点共线
y
A1 A(x1,y1)
y2=2px(p>0)
M1
M
2 (1)设点A的坐标为( ，0)，求曲 3
线上与点A距离最近的点P的坐 标及相应的|PA|的值； (2)若上题中A(2,0)，则结果如何？
例2： 斜率为1的直线经过抛物 2 线y =4x 的焦点,与抛物线相交 于两点A、B, 求线段AB的长.
6、焦点弦和通径 通径是焦点弦中最短的弦，
通径|AB|=2p
x0 2 p P(x0，y0)在x2=2py上, PF y0 2 p 2 P(x0，y0)在x =-2py上, PF －y0
2
抛物线的几何性质：
1、抛物线的范围:
y
2 y =2px
X0
x
y取全体实数
2、抛物线的对称性
Y
2 y =2px
关于x轴对称
没有对称中心，因 X 此，抛物线又叫做 无心圆锥曲线。 而椭圆和双曲线又 叫做有心圆锥曲线
问题 (2004年北京卷理) 2 ) 过抛物线 y 2 px( p 0 上一定点 P ( x0 , y0 )( y0 0，作两条直线分别 ) 交抛物线于A( x1 , y1 ), B ( x2 , y 2.) 当PA与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y y 1 2 的值，并证明直线 AB的斜
O
N
B1
F B(x2,y2)
(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切 ∠AM1B=Rt ∠, ∠A1FB1=Rt ∠
练习1：
已知抛物线方程为y2=4x，直线l 过定点P（-2，1），斜率为k. 则k为何值时，直线l与抛物线 y2=4x 只有一个公共点；有两个 公共点；没有公共点呢。
提出问题 过抛物线 y 2 px 的焦 点的一条直线和抛物线相交，两交 点的纵坐标为 y1 , y 2 ， 2 求证：y1 y 2 p .（焦点弦的其中 一条性质）
探究3 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，且满足 y1 y 2 k ( k为常数)，问AB是否恒过 某一定点？
2
探究4 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，且满足 y1 y 2 k ( k为常数)，求AB中点P的 轨迹方程.
探究8 若M为抛物线 y 2 px( p 0) 上一个定点，A、B是抛物线上的两 个动点，且直线MA与直线MB的倾 斜角互补，求证：直线AB的斜率为 定值。
2
设计意图：培养学生研究数学问题 的一般思想方法，一是考虑原命题 的逆命题是否成立；二是考虑能否 把原命题进行一般推广；三是考虑 从原命题条件中还能推出什么结论？ 四是考虑把原命题进行适当变式进 行拓展。
2
探究7 若M为抛物线 y 2 px( p 0) 上一个定点，A、B是抛物线上的两 个动点，且 kMA kMB r (r为非零常 数)，求证：直线AB过定点。
2
MA MB “直线MA 将“探究6”的 与直线MB的倾斜角之差为900”变为 “直线MA与直线MB的倾斜角之和 为900”，即 kMA kMB r ，r =1,直线 AB过定点. MA MB “直线MA 将“探究6”的 与直线MB的倾斜角之差为900”变为 “直线MA与直线MB的倾斜角之和 为1800”，直线AB不过定点，但可得
2
探究1 过焦点的直线具有上述性质， 2 反之，若直线AB与抛物线 y 2 px 的两个交点A，B的纵坐标为 y1 , y 2 ， 2 且 y1 y 2 p ，那么直线AB是否经 过焦点F 呢？
探究2 既然过抛物线焦点的直线与 其相交，交点的纵坐标的乘积是一 个定值，那么过抛物线对称轴上其 他任意一定点，是否也有这个性质 呢?
率为非零常数.
y0
变式1过抛物线 y 2 px ( p 0) 上一定 点 P ( x 0 , y0 )( y0 0) ，作两条直线分别 交抛物线于 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，若直 p 线AB的斜率为定值 ，证明直线 y0 PA与PB的倾斜角互补.
2
练习1：
如图，定长为3的线段AB的两 2 端点在抛物线y =x上移动，设 线段AB的中点为M，求点M到y 轴的最短距离。
练习2：正三角形的一个顶点位 于坐标原点，另外两个顶点在 2 抛物线y =2px(p>0)上，求这个 三角形的边长。
变式：已知在抛物线y=x2上三个 点A、B、C组成一个等腰直角三 角形，且顶点B是直角顶点，
抛物线的简单几何性质 （一）
M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若 点M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距 p 离是
x0 +
— 2
y
O F
． ．
M
x
焦半径及焦半径公式 抛物线上一点到焦点的距离
p P(x0，y0)在y2=2px上， PF x0 2 p
P(x0，y0)在y2=-2px上, PF
(1)设直线BC的斜率为k，求顶点 B的坐标； (2)求等腰直角三角形的面积的最 小值。
抛物线的对称性问题 例.已知直线过原点，抛物线的顶点 在原点，焦点在x轴的正半轴上，且 点A（-1，0）和B（0，8）关于直 线的对称点都在抛物线上，求直线 和抛物线的方程。
Hale Waihona Puke 硅藻泥加盟 硅藻泥价格 硅藻泥十大品牌 硅藻泥背景墙 硅藻泥 柑痋耶
3、抛物线的顶点 y2=2px
Y
X
定义 ：抛物线 与对称轴的交 点，叫做抛物 线的顶点 只有一个顶点
4、抛物线的离心率
Y
2 y =2px
X
所有的抛物 线的离心率 都是 1
5、抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：焦准距p（决定 抛物线开口大小）
2 例1：已知抛物线y =2x
2
变式2 设动直线AB：y=-x+b与抛物 2 y2 ) 线 y 8 x相交于两点 A( x1 , y1 ), B( x 2 , ， 问在直线 MN ： x=2 上能否找到一定 点P（坐标与b 的值无关），使得直 线PA与PB的倾斜角互补？
变式3 如图，抛物线 y 2 px ( p 0) ， 过点 P(1,0) 作斜率为 k 的直线 l 交抛物 线于 A 、 B 两点， A 关于 x 轴的对称点 为C，直线BC交x轴于Q点，当k变化 时，探究点Q是否为定点？
设AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F
的一条弦。设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的
中点M(x0,y0),过A,B,M分别向抛物线 的准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,则
y A1 M1 O B1 A(x1,y1)
M
F B(x2,y2)
y2=2px(p>0) (1)|AB|＝x1+x2+p