人教版九年级数学下册配套学案设计：28.2.2解直角三角形的简单应用

28.2.2 应用举例
第1课时 解直角三角形的简单应用
【学习目标】
1.使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
2. 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
【学习难点】
实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、课前热身：
1.解直角三角形的类型：
已知____________；已知___________________．
2.如图解直角三角形的公式：
（1）三边关系：__________________． （2）角关系：∠A+∠B＝_____，
（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．
cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．
3.已知，如图，在△ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC 的长. (结果保留根号).
二、合作交流：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角
一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问:
c
b a A C B
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子？（可用计算器）
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
详解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．2．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（）
A．85°B．75°C．60°D．30°
【答案】B
【解析】分析：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．
详解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故选B．
由CD=CE 得出∠D=∠CED ，由三角形内角和定理求出∠D ．
3．设a ，b 是常数，不等式10x a b +>的解集为15x <，则关于x 的不等式0bx a ->的解集是（ ） A ．15x > B ．15x <- C ．15x >- D ．15
x < 【答案】C
【解析】根据不等式
10x a b +>的解集为x ＜15 即可判断a,b 的符号,则根据a,b 的符号,即可解不等式bx-a<0
【详解】解不等式
10x a b
+>, 移项得:1-x a b ＞ ∵解集为x<15
∴1-5
a b = ，且a<0 ∴b=-5a>0，15 15a b
=- 解不等式0bx a ->,
移项得:bx ＞a
两边同时除以b 得:x ＞
a b , 即x ＞-
15
故选C
【点睛】
此题考查解一元一次不等式，掌握运算法则是解题关键
4．在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 中点，连接DF ，FE ，则四边形DBEF 的周长是（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
【答案】B
【解析】试题解析：∵D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，∴DF=12BC=2，DF ∥BC ，EF=12
AB=32，EF ∥AB ，∴四边形DBEF 为平行四边形，∴四边形DBEF 的周长=2（DF+EF ）=2×（2+32）=1．故选B ． 5．如果340x y -=，那么代数式23()x y y x y
-⋅+的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而将3x=4y 代入即可得．
【详解】解：∵原式=223x y y x y
-•+ =()()3x y x y y x y +-•+ =33x y y
- ∵3x-4y=0，
∴3x=4y
原式=43y y y
-=1 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
6．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠B=75°，则∠AOC 的度数是（ ）
A ．150°
B ．140°
C ．130°
D ．120°
【答案】A 【解析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】∵A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠B=75°，
∴∠AOC=2∠B=150°．
故选A ．
7．一、单选题
如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，
故答案选D.
考点：简单几何体的三视图.
8．计算：91
15()
515
÷⨯-得（）
A．-9
5
B．-
1
125
C．-
1
5
D．
1
125
【答案】B
【解析】同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化．
【详解】91911
15
51551515
⎛⎫⎛⎫
÷⨯-=⨯⨯-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
-
1
125
故选B.
【点睛】
本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
9．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
A ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ
B ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C ．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ
D ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【答案】D 【解析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故选D ．
【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
10．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y=a x
与一次函数y=bx ﹣c 在同一坐标系内的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．
【详解】解：观察二次函数图象可知：
开口向上，a ＞1；对称轴大于1，2b a
＞1，b ＜1；二次函数图象与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞1． ∵反比例函数中k ＝﹣a ＜1，
∴反比例函数图象在第二、四象限内；
∴一次函数图象经过第二、三、四象限．
故选C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象、反比例函数的图象以及一次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，那么阴影部分的面积为_____．
【答案】13-1 【解析】设两个正方形的边长是x 、y （x ＜y ），得出方程x 2＝1，y 2＝9，求出x ＝3，y ＝1，代入阴影部分的面积是（y ﹣x ）x 求出即可．
【详解】设两个正方形的边长是x 、y （x ＜y ），则x 2＝1，y 2＝9，x 3=，y ＝1，则阴影部分的面积是（y ﹣x ）x ＝（13333-⨯=-）1．
故答案为13-1．
【点睛】
本题考查了二次根式的应用，主要考查学生的计算能力．
12．如图△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC=35
，则BC 的长为_____．
【答案】4
【解析】试题解析：∵3cos 5
BDC ∠=，
可
又∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB=5x，
又∵AC=8cm，
∴3x+5x=8，
解得，x=1，
在Rt△BDC中，CD=3cm，DB=5cm，
2222
=-=-=
BC DB CD
53 4.
故答案为:4cm.
13．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是_____．
【答案】8﹣π
【解析】分析：
如下图，过点D作DH⊥AE于点H，由此可得∠DHE=∠AOB=90°，由旋转的性质易得DE=EF=AB，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，结合∠ABO+∠BAO=90°可得∠BAO=∠DEH，从而可证得△DEH≌△BAO，即可得到DH=BO=2，再由勾股定理求得AB的长，即可由S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF即可求得阴影部分的面积.
详解：
如下图，过点D作DH⊥AE于点H，
∴∠DHE=∠AOB=90°，
∵OA=3，OB=2，
∴22
+=
3213
由旋转的性质结合已知条件易得：13，OE=BO=2，OF=AO=3，
∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠DEH，
∴△DEH≌△BAO，
∴DH=BO=2，
∴S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF
=
22 9031190(13)
3252
36022360
ππ
⨯⨯
+⨯⨯+⨯⨯-
=8π
-.
故答案为：8π
-.
点睛：作出如图所示的辅助线，利用旋转的性质证得△DEH≌△BAO，由此得到DH=BO=2，从而将阴影部分的面积转化为：S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF来计算是解答本题的关键.
14．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA
与反比例函数y=k
x
的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，
则k的值为．
【答案】﹣1
【解析】∵OD=2AD，
∴
2
3 OD
OA
=，
∵∠ABO=90°，DC⊥OB，∴AB∥DC，
∴△DCO∽△ABO，
∴
2
3 DC OC OD
AB OB OA
===，
∴
2
24
39
ODC
OAB
S
S
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，
∵S四边形ABCD=10，
∴S△ODC=8，
∴OC×CD=8，
OC×CD=1，
∴k=﹣1，
故答案为﹣1．
15．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加_____m．
【答案】1.
【解析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半1米，抛物线顶点C坐标为（0，1），
设顶点式y=ax1+1，把A点坐标（-1，0）代入得a=-0.5，
∴抛物线解析式为y=-0.5x1+1，
当水面下降1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=-1.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出：
-1.5=-0.5x1+1，
解得：x=±3， 1×3-4=1，
所以水面下降1.5m ，水面宽度增加1米． 故答案为1． 【点睛】
本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型． 16．已知⊙O 半径为1，A 、B 在⊙O 上，且2AB =，则AB 所对的圆周角为__o . 【答案】45º或135º
【解析】试题解析：如图所示，
∵OC ⊥AB ，
∴C 为AB 的中点,即12
2AC BC AB ==
= 在Rt △AOC 中,OA=1, 2AC =
根据勾股定理得：222
2
OC OA AC =-=即OC=AC ， ∴△AOC 为等腰直角三角形， 45AOC ∴∠=， 同理45BOC ∠=，
90AOB AOC BOC ∴∠=∠+∠=， ∵∠AOB 与∠ADB 都对AB ,
1
452
ADB AOB ，∴∠=
∠= ∵大角270AOB ∠=，
135.AEB ∴∠=
则弦AB 所对的圆周角为45或135. 故答案为45或135.
17．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2019层的三角形个数为_____．
【答案】2．
【解析】设第n 层有a n 个三角形（n 为正整数），根据前几层三角形个数的变化，即可得出变化规律“a n ＝2n ﹣2”，再代入n ＝2029即可求出结论． 【详解】设第n 层有a n 个三角形（n 为正整数），
∵a 2＝2，a 2＝2+2＝3，a 3＝2×2+2＝5，a 4＝2×3+2＝7，…， ∴a n ＝2（n ﹣2）+2＝2n ﹣2．
∴当n ＝2029时，a 2029＝2×2029﹣2＝2． 故答案为2． 【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律“a n ＝2n ﹣2”是解题的关键．
18．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：
x
… -1 0 1 2 3 4 … y
…
6
1
-2
-3
-2
m
…
下面有四个论断：
①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，
； ②240b ac -=；
③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．
其中，正确的有___________________． 【答案】①③．
【解析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.
【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；
∴①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；
②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；
③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；
④m＝﹣3，结论错误，
∴其中，正确的有. ①③
故答案为：①③
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC 于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．
求证：DE是⊙O的切线；若DE＝3，CE＝2. ①求BC
AE
的值；②若点G为AE上
一点，求OG+1
2
EG最小值．
【答案】（1）证明见解析（2）①2
3
②3
【解析】（1）作辅助线，连接OE．根据切线的判定定理，只需证DE⊥OE即可；
（2）①连接BE．根据BC、DE两切线的性质证明△ADE∽△BEC；又由角平分线的性质、等腰三角形
的两个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以
2
3 BC CE
AE DE
==；
②连接OF，交AD于H，由①得∠FOE=∠FOA=60°,连接EF，则△AOF、△EOF都是等边三角形，故
四边形AOEF是菱形，由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M，则GM=1
2
EG，OG+
1
2
EG=GF+GM,
根据两点之间线段最短，当F、G、M三点共线，OG+1
2
EG=GF+GM=FM最小，此时FM =3.故OG+
1
2
EG
最小值是3.
【详解】（1）连接OE
∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO
∵∠FAE=∠EAO，∴∠FAE=∠AEO ∴OE∥AF
∵DE⊥AF，∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线
（2）①解：连接BE
∵直径AB ∴∠AEB=90°
∵圆O与BC相切
∴∠ABC=90°
∵∠EAB+∠EBA=∠EBA+∠CBE=90°∴∠EAB=∠CBE
∴∠DAE=∠CBE
∵∠ADE=∠BEC=90°
∴△ADE∽△BEC
∴
2
3 BC CE
AE DE
==
②连接OF，交AE于G，由①，设BC=2x，则AE=3x
∵△BEC∽△ABC ∴BC CE AC BC
=
∴
22 322
x
x x
=
+
解得：x1=2，21 2
x=-（不合题意，舍去）
∴AE=3x=6，BC=2x=4，AC=AE+CE=8
∴AB=43BAC=30°
∴∠AEO=∠EAO=∠EAF=30°，∴∠FOE=2∠FAE=60°
∴∠FOE=∠FOA=60°,连接EF ，则△AOF 、△EOF 都是等边三角形，∴四边形AOEF 是菱形 由对称性可知GO=GF,过点G 作GM ⊥OE 于M ，则GM=12EG ，OG+1
2
EG=GF+GM,根据两点之间线段最短，当F 、G 、M 三点共线，OG+1
2
EG=GF+GM=FM 最小，此时FM=FOsin60o =3. 故OG+
1
2
EG 最小值是3. 【点睛】
本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质．比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．
20．济南国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．
（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约840m ，他需要多少时间才能到达终点？将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向下平移5个单位，求平移后的函数表达式．
【答案】（1）20s ；（2）2
511222y x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭ 【解析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出y ＝840时x 的值即可得； （2）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：（1）∵该抛物线过点（0，0）， ∴设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx ， 将（1，4）、（2，12）代入，得：
4
4212a b a b +=⎧⎨
+=⎩， 解得：22a b =⎧⎨=⎩
，
所以抛物线的解析式为y ＝2x 2+2x ， 当y ＝840时，2x 2+2x ＝840， 解得：x ＝20（负值舍去），
即他需要20s 才能到达终点；
（2）∵y ＝2x 2+2x ＝2（x+
12）2﹣12
， ∴向左平移2个单位，再向下平移5个单位后函数解析式为y ＝2（x+2+12）2﹣12﹣5＝2（x+52）2﹣11
2
．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及函数图象平移的规律． 21．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B 地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B 、C 两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）
【答案】B 、C 两地的距离大约是6千米．
【解析】过B 作BD ⊥AC 于点D ，在直角△ABD 中利用三角函数求得BD 的长，然后在直角△BCD 中利用三角函数求得BC 的长．
【详解】解：过B 作BD AC ⊥于点D ．
在Rt ABD 中，BD AB sin BAD 40.8 3.2(∠=⋅=⨯=千米)，
BCD 中，CBD 903555∠=-=， CD BD tan CBD 4.48(∠∴=⋅=千米)， BC CD sin CBD 6(∠∴=÷≈千米)．
答：B 、C 两地的距离大约是6千米．
【点睛】
此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
22．铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x ＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：求y 与x 之间的函数关系式；商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？
【答案】 (1)y ＝10x+100；(2)这种干果每千克应降价9元；(3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元．
【解析】（1）由待定系数法即可得到函数的解析式； （2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出方程求解即可； （3）根据销售量×每千克利润＝总利润列出函数解析式求解即可． 【详解】(1)设y 与x 之间的函数关系式为：y ＝kx+b ，
把(2，120)和(4，140)代入得，21204140k b k b +=⎧⎨+=⎩
，
解得：10
100k b =⎧⎨
=⎩
，
∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝10x+100； (2)根据题意得，(60﹣40﹣x)(10x+100)＝2090， 解得：x ＝1或x ＝9，
∵为了让顾客得到更大的实惠， ∴x ＝9，
答：这种干果每千克应降价9元；
(3)该干果每千克降价x 元，商贸公司获得利润是w 元， 根据题意得，w ＝(60﹣40﹣x)(10x+100)＝﹣10x 2+100x+2000， ∴w ＝﹣10(x ﹣5)2+2250，
∵a=-100<，∴当x ＝5时，w 2250=最大
故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 【点睛】
本题考查的是二次函数的应用，此类题目主要考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好地考查学生“用数学”的意识．
23．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 【答案】（1）y=﹣20x+1600；
（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元； （3）超市每天至少销售粽子440盒．
【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式； （2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P 与x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式即可求解．
试题解析：（1）由题意得，y =70020(45)x --=201600x -+；
（2）P=(40)(201600)x x --+=220240064000x x -+-=220(60)8000x --+，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得220(60)8000x --+=6000，解得150x =，270x =，∵抛物线P=220(60)8000x --+的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，又∵x≤58，∴50≤x≤58，∵在
201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x=58时，y 最小值=﹣20×58+1600=440，
即超市每天至少销售粽子440盒． 考点：二次函数的应用．
24．在平面直角坐标系中，一次函数3
4y x b =-
+的图象与反比例函数k y x
=（k≠0）图象交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，其中A 点坐标为（﹣2，3）．
求一次函数和反比例函数解析式．若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点
F，连接AF、BF，求△ABF的面积．根据图象，直接写出不等式
3
4
k
x b
x
-+>的解集．
【答案】（1）y＝﹣3
4
x+
3
2
，y＝
-6
x
;(2)12;(3) x＜﹣2或0＜x＜4.
【解析】（1）将点A坐标代入解析式，可求解析式；（2）一次函数和反比例函数解析式组成方程组，求出点B坐标，即可求△ABF的面积；（3）直接根据图象可得．
【详解】（1）∵一次函数y＝﹣3
4
x+b的图象与反比例函数y＝
k
x
（k≠0）图象交于A（﹣3，2）、B两点，
∴3＝﹣3
4
×（﹣2）+b，k＝﹣2×3＝﹣6
∴b＝3
2
，k＝﹣6
∴一次函数解析式y＝﹣33
42
x+，反比例函数解析式y＝
6
x
-
.
（2）根据题意得：
33
42
6
y x
y
x
⎧
+
⎪⎪
⎨
-
⎪
⎪⎩
＝﹣
＝
，
解得：
2
1
12
4
2
,3
3
2
x
x
y y
⎧=
⎧
=-
⎪⎪
⎨⎨
==-
⎪⎪⎩
⎩
，
∴S△ABF＝1
2
×4×（4+2）＝12
（3）由图象可得：x＜﹣2或0＜x＜4
【点睛】
本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求解析式，熟练运用函数图象解决问题是本题的关键．
25．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同．现在平均每天生产多少台机器；生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成．【答案】(1) 现在平均每天生产1台机器．(2) 现在比原计划提前5天完成．
【解析】（1）因为现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间，由此列出方程解答即可；
（2）由（1）中解得的数据，原来用的时间-现在用的时间即可求得提前时间.
【详解】解：（1）设现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x-50）台．
依题意得：600450
50
x x
=
-
，
解得：x=1．
检验x=1是原分式方程的解.
（2）由题意得
30003000
20050200
-
-
=20-15=5(天)
∴现在比原计划提前5天完成.
【点睛】
此题考查分式方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.
26．某校对六至九年级学生围绕“每天30分钟的大课间，你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行随机抽样调查，从而得到一组数据．如图是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：该校对多少学生进行了抽样调查？本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少？占被调查人数的百分比是多少？若该校九年级共有200名学生，如图是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请估计全校六至九年级学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
【答案】（1）50（2）36％（3）160
【解析】（1）根据条形图的意义，将各组人数依次相加即可得到答案；（2）根据条形图可直接得到最喜欢篮球活动的人数，除以（1）中的调查总人数即可得出其所占的百分比；（3）用样本估计总体，先求出九年级占全校总人数的百分比，然后求出全校的总人数；再根据最喜欢跳绳活动的学生所占的百分比，继而可估计出全校学生中最喜欢跳绳活动的人数．
【详解】（1）该校对50名学生进行了抽样调查．
18100%36%50
⨯=， ∴最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%．
（3）()130%26%24%20%-++=，
20020%1000÷=人，
8100%100016050
⨯⨯=人． 答：估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E.若60B ∠=︒，AC=3，则CD 的长为
A ．6
B ．23
C ．3
D ．3
【答案】D 【解析】解：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB=90°
,又⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，60B ∠=︒，所以在Rt △AEC 中，∠A=30°
,又AC=3，所以CE=12AB=32
,所以CD=2CE=3， 故选D.
【点睛】
本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大.
2．将一副三角板（∠A ＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB ∥EF ，则∠1等于（ ）
A ．75°
B ．90°
C ．105°
D ．115°
【答案】C 【解析】分析：依据AB ∥EF ，即可得∠BDE=∠E=45°，再根据∠A=30°，可得∠B=60°，利用三角形外角性质，即可得到∠1=∠BDE+∠B=105°．
详解：∵AB ∥EF ，
∴∠BDE=∠E=45°，
又∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴∠1=∠BDE+∠B=45°+60°=105°，
故选C ．
点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
3．据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（）
A．3.9×1010B．3.9×109C．0.39×1011D．39×109
【答案】A
【解析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【详解】39000000000=3.9×1．
故选A．
【点睛】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
4．如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
详解：从左边看竖直叠放2个正方形．
故选：C．
点睛：此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc＜0；② 2a＋b＝0; ③ b2－4ac ＜0；④ 9a+3b+c＞0; ⑤ c+8a＜0.正确的结论有（）.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下，得：a ＜0；抛物线的对称轴为x=-
2b a =1，则b=-2a ，2a+b=0，b=-2a ，故b ＞0；抛物线交y 轴于正半轴，得：c ＞0.
∴abc ＜0, ①正确；
2a+b=0，②正确；
由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△=b 2-4ac ＞0，故③错误；
由对称性可知，抛物线与x 轴的正半轴的交点横坐标是x=3，所以当x=3时，y= 9a+3b+c=0,故④错误； 观察图象得当x=-2时，y ＜0，
即4a-2b+c ＜0
∵b=-2a ，
∴4a+4a+c ＜0
即8a+c ＜0，故⑤正确.
正确的结论有①②⑤，
故选:C
【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
6．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A ．6折
B ．7折
C ．8折
D ．9折 【答案】B
【解析】设可打x 折，则有1200×
10
x -800≥800×5%， 解得x≥1．
即最多打1折．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．
7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
【答案】C
【解析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.
【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.
8．一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到关于边数的方程，从而求出边数,再求从一点引对角线的条数.
【详解】设这个正多边形的边数是n，则
（n-2）•180°=900°，
解得：n=1．
则这个正多边形是正七边形．
所以，从一点引对角线的条数是：1-3=4.
故选B
【点睛】。