天津市河西区2020-2021学年高三下学期总复习质量调查(一)数学试卷

河西区2020-2021学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）
数学试卷
一．选择题（共9小题）
1．已知全集{1
U=−，0，1，2，3}，集合{0
A=，1，2}，{1
B=−，0，1}，则()(
U
C A B=)
A．{1}
−B．{0，1}C．{1−，2，3}D．{1−，0，1，3}
2．设x R
∈，则“
1
2
x>”是“2
210
x x
+−>”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．在同一直角坐标系中，函数
1
x
y
a
=，
1
log()(0
2
a
y x a
=+>且1)
a≠的图象可能是()
A．B．
C．D．
4．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树
木的底部周长（单位：cm），所得数据均在[80，130]上，
其频率分布直方图如图所示，若在抽测的60株树木中，树
木的底部周长小于100cm的株数为()
A．15B．24
C．6D．30
5．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A BCD
−，则四面体A BCD
−的外接球的表面积为()
A．25πB．50πC．5πD．10π
6．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则( )
A ．23
3231
(log )(2)(2)4f f f −−>>
B ．233
231(log )(2)(2)4
f f f −−>>
C ．233
231
(2)(2)(log )4
f f f −
−
>>
D ．233
2
31
(2)(2)(log )4
f f f −−>>
7．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
−=>>的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l
上，则双曲线的方程为( )
A ．22
1520x y −
= B ．22
1205
x y −
= C ．
22
33125100
x y −= D ．
22
33110025
x y −= 8．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)22
ππ
ϕ−<< 的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移6π个单
位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则函数()f x 的图象
①关于点(12π，0)对称；②关于直线512x π=对称；③在5,1212ππ⎡⎤
−⎢⎥⎣⎦
上单调递增.
其中所有正确结论的序号是( ) A ．② B ．①③ C ．②③ D ．①②③
9．设a ，b R ∈，函数32
,0,
()11(1),03
2x x f x x a x ax x <⎧⎪
=⎨−++⎪⎩若函数()y f x ax b =−−恰有3个零点，则( ) A ．1a <−，0b < B ．1a <−，0b > C ．1a >−，0b < D ．1a >−，0b >
二．填空题（共6小题） 10．i 为虚数单位，复数11712i
i
−=− ． 11
．8的展开式中22x y 的系数为 ．（用数字作答）
12．已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，若直线230x y −+=与圆C 相切于点(2,1)A −−，则圆C 的标准方程为 ．
13．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，两数中至少有一个奇数的概率为，________；以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(,)x y 在圆2215x y +=的内部的概率为 ．
14．已知0x >，0y >，且280x y xy +−=，则x y +的最小值为 ．
15．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，3BC BE =，CD DF λ=，若1AE AF =，则λ的值为 ；若G 为线段DC 上的动点，则AG AE 的最大值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5
B =． （Ⅰ）求b ； （Ⅱ）求sin A 的值 （Ⅲ）求sin(2)4A π
−的值．
17．如图，已知三棱柱111ABC A B C −，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，11A A A C AC ==，E ，F 分别是AC ，11A B 的中点．
（Ⅰ）证明：EF BC ⊥；
（Ⅱ）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角1
A AC
B −−的正弦值．
18．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是递增的等比数列，且11a =，12b =，222b a =，3331b a =−． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若12(1)(1)n
a n n n c
b b +=−−，求数列{}n
c 的前n 项和n S ．
19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>左、右焦点分别为1F ，2F
，且满足离心率e
12||F F =原点O 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设点(2,1)A ，求AMN ∆面积的最大值．
20．已知函数1
()2f x x alnx x
=−+（其中a 是实数）
． （Ⅰ）若1
2
a =
，求曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）设2()g x lnx bx cx =−−，若函数()f x 的两个极值点1x ，212()x x x <恰为函数()g x 的两个零点，且1212()(
)2
x x y x x g +'=−的范围是2
[2,)3ln −+∞，求实数a 的取值范围．
河西区2020—2021学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）
数学试题 参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分45分.
（1）A （2）A （3）D （4）B （5）A （6）C
（7）A
（8）C
（9）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.
（10） 53i +
（11）70
（12） 22(2)5x y ++=6
（13）
32;49
（14） 18 （15）2；
83
三．解答题（共5小题）
16．【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，a b >， 故由3
sin 5B =
，可得4cos 5
B =． 由已知及余弦定理，有2224
2cos 2536256135
b a
c ac B =+−=+−⨯⨯⨯=， 13
b ∴=．
由正弦定理
sin sin a b
A B
=
，得sin 313sin 13a B A b ==． 13b ∴=313
sin A =
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a c <，得213cos A =，12
sin 22sin cos 13
A A A ∴==， 25cos 212sin 13
A A =−=−
． 故12252112
sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213213
A A A πππ−=−=⨯+⨯=
． 17．【解答】方法一： 证明：（Ⅰ）连接1A E ，11A A A C =，E 是AC 的中点，
1A E AC ∴⊥，
又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ， 平面11A ACC ⋂平面ABC AC =， 1A E ∴⊥平面ABC ，1A E BC ∴⊥，
1//A F AB ，90ABC ∠=︒，1BC A F ∴⊥，
111A F A E A =，BC ∴⊥平面1A EF ，
EF BC ∴⊥．
解：（Ⅱ）取BC 中点G ，连接EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形， 由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥， ∴平行四边形1EGFA 是矩形，
由（Ⅰ）得BC ⊥平面1EGFA ， 则平面1A BC ⊥平面1EGFA ，
EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上，
连接1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角（或其补角），
不妨设4AC =，则在Rt △1A EG 中，1A E =，EG =，
O 是1A G 的中点，故12A G EO OG ==
=
2223
cos 25
EO OG EG EOG EO OG +−∴∠==⨯⨯，
∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为3
5
．
方法二：
证明：（Ⅰ）连接1A E ，11A A A C =，E 是AC 的中点，
1A E AC ∴⊥，
又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ， 平面11A ACC ⋂平面ABC AC =， 1A E ∴⊥平面ABC ，
如图，以E 为原点，在平面ABC 中，过E 作AC 的垂线为x 轴， EC ，1EA 所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系，
设4AC =，则1(0A ，0，，B ，1B ，3
2
F ，(0C ，2，0)， 33
(
22
EF =，(BC =−，
由0EF BC =，得EF BC ⊥．
解：（Ⅱ）设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ， 由（Ⅰ）得(3,1,0)BC =−，1(0AC =，2，23)−， 设平面1A BC 的法向量(n x =，y ，)z ，
则13030
BC n x y A C n y z ⎧=−+=⎪⎨=−=⎪⎩，取1x =，得(1,3,1)n =， ||4
sin 5
||||EF n EF n θ∴=
=，
∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为243
1()55
−=．
18．【解答】解：（1）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列， 由11a =，12b =，222b a =，3331b a =−． 可得22(1)q d =+，223(12)1q d =+−， 解得0d =，1q =（舍去）或1d =，2q =， 则11n a n n =+−=，1222n n n b −=⋅=；
（2）1112211
?(1)(1)(21)(21)2121n a n n n n n n n n c b b +++===−
−−−−−−， 则2
23341
1111111
121212*********
n n n S +=−+−+−+⋯+−−−−−−−− 11121
n +=−
−．
19．【解答】解：（1）由题意可知，3c =， 根据3
c e a =
=
4a =，2b =，
椭圆C 的方程为22
1164
x y +=．
（2）设直线l 的方程为(0)y kx k =≠，
由221164
y kx x y =⎧⎪
⎨+=⎪
⎩，
得1x =
2x =
，12|||MN x x ==−=
．
点A 到直线l
的距离d =，
所以12AMN
S ∆=== 当0k >时，4AMN S ∆<； 当0k <
时，
41)2
AMN S
∆=+
=，当且仅当1
2
k =−时，等号成立，
所以AMN S ∆的最大值为 20．【解答】解：()I 由12a =得：1
()f x x lnx x
=−+， 则211
()1f x x x
'=−
−+
，所以f '（1）1=−，又f （1）0=． 所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为1y x =−+．
（Ⅱ）因为1
()2f x x alnx x
=−+，所以()f x 定义域为(0，2221221)()1a x ax f x x x x −+'+∞=−−+=−，
若1a ，则()0f x '，当且仅当1a
=，1x =
时，()0f x '=， 若1a >，()0f x '=得12x a x a ==， 当(0x ∈，12)(x x ⋃，)+∞时，()0f x '<， 当1(x x ∈，2)x 时，()0f x '
>，
所以，当1
a 时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间；
1a >时，()f x
的单调递减区间为(0,)a a ++∞；
单调递增区间为(a a +． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若()f x 有两个极值点，则1a >，且122x x a +=，121x x =． 所以1201x x <<<，21
()()2g x lnx bx cx g x b cx x
'=−−⇒=
−−，1212122()()2x x g b c x x x x +'=−−++，
由12()()0g x g x ==得，221
12122
()()x ln
b x x
c x x x =−+−． 1
22121212121121212112122
2
2
2(
1)2()2()()(
)()()21x x x x x x x x
x x
y x x g b x x c x x ln ln x x x x x x x x −+−−'=−=−−−−=−=−+++， 令12
(0,1)x t x =∈，222(1)(1)()()01(1)t t h t lnth t t t t −−−'=−=<++，所以()h t 在(0,1)上单调递减．
由1212()(
)2x x y x x g +'=−的范围是2[2,)3ln −+∞，得10,2t ⎛⎤ ⎥⎝⎦
的取值范围．
又122x x a +=，121x x =，∴2222121212(2)()2a x x x x x x =+=++，∴2122119
422[,)2
x x a t x x t =++=++∈+∞，又
1a >，
故实数a
的取值范围[
)4
+∞．。