安徽黄山市2013年高考数学综合模拟试卷-2

安徽黄山市2013年高考数学
综合模拟试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟． 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么
P (A ＋B )=P (A )＋P (B )
如果事件A 、B 相互独立，那么
P (A ·B )=P (A )·P (B )
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
()C (1)k k n k n n
P k P P -=- 正棱锥、圆锥的侧面积公式S 锥体侧S 锥体侧=12cl 其中c 表示底面周长, l 表示斜高或母线长.
球的体积公式 球V 球= 343
R π 其中R 表示球的半径.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A =｛Z x x y x ∈-=,1|2｝, },1|{2
A x x y y
B ∈+==,则B A 为 （ ）
A ．∅
B .[)+∞,0
C .｛1｝
D .｛（1,0）｝ 2．若函数()1
2
-=
x x f 的定义域是()[)5,21, ∞-,则其值域为 （ ） A .()0,∞- B .(]2,∞- C .⎥⎦
⎤ ⎝⎛2
1,0 D .()
1,0,22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
3．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，λ∈［0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )
A ．外心
B ．垂心
C ．内心
D ．重心 4．在坐标平面上，不等式组⎩
⎨⎧+≤-≥11
||2x y x y 所表示的平面区域的面积为 ( )
A ．22
B ．3
8
C ．
3
2
2 D ．2
5．全国十运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ( ) A .1244
14
12
8C C C
B .
1244
14128C A A
C .
1244141283
3
C C C A
D .12443
141283C C C A
6．对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得,αβ都垂直于γ； ②存在平面γ，使得,αβ都平行于γ； ③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //；
④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l 其中，可以判定α与β平行的条件有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
7.已知首项为正数的等差数列｛a n ｝满足:a 2005+a 2006>0,a 2005·a 2006<0,则使前项S n >0成立的最大自
然数n 是 ( )
A . 4009
B .4010
C . 4011
D .4012 8. 函数()10x
y x x
-=
≠的反函数图像大致是 （ ）
A B C D
9. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 1、B 1C 1的中点，则在面BCC 1B 1内到BC 的
距离是到EF 的距离的2倍的点的轨迹是（ ）
A ．一条线段
B ．椭圆的一部分
C ．抛物线的一部分
D ．双曲线的一部分．
10.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，
若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）
A ．324+
B ．13-
C ．
2
1
3+ D ．13+
11.已知函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
-=21log )(2
x ax x f a 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡23,1上恒正，则实数a 的取值范围是 （ ） A .⎪⎭⎫
⎝⎛98,21 B .⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,23 C . ⎪⎭⎫ ⎝⎛98,21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,23 D . ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,21 12. 如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流
的没岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离 比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上 选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运 货物.经测算，从M 到B 、M 到C 修建公 路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，
x y 1o x y 1-o x y o 1x
y
o 1-
那么修建这两条公路的总费用最低是（ ） A ．(27－2)a 万元 B ．5a 万元
C ．(27+1) a 万元
D ．(23+3) a 万元
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题4个小题，每小题4分，共16分．
13．已知函数f (x )=Acos 2(ωx +ϕ)+1（A >0，ω>0）的最大值为3，f (x )的图象在y 轴上的截距为2，
其相邻两对称轴间的距离为2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (100)=____________
14. 设点P 是曲线y =x 3－3x +2上的任意一点,P 点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是______________
15. 已知5
(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4
x +的展开式中3x 的系数相等，则cos θ＝_____________．
16.若函数)(x f 满足：对于任意,0,21>x x 都有0)(1>x f ，0)(2>x f 且
)()()(2121x x f x f x f +<+成立，则称函数)(x f 具有性质M .
给出下列四个函数：①3
x y =，②),1(log 2+=x y ③12-=x
y ，④x y sin =.
其中具有性质M 的函数是 （注：把满足题意的所有．．函数的序号都．填上） 17．如图,在杨辉三角中,斜线l 上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n 项和为S n ,则S 19等于____________.
1 l
11 11 … … …
18. 已知f （x +y ）=f (x )·f (y )对任意的实数x 、y 都成立,且f (1)=2,则f (1)f (0)+f (2)f (1)+f (3)f (2)+…+f (2005)f (2004)+
f (2006)
f (2005)
= ___________________.
三、解答题：本大题6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明．推理过程或计算步骤. 19．（本题满分12分） 已知向量=m (θθsin ,cos ) 和n =(θθcos ,sin 2-)，θ∈［π，2π］．
(Ⅰ)求||n m +的最大值；(Ⅱ)当||n m +=
528时，求cos 28θπ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值．
20．（本小题满分12分）
甲、乙两人在一场五局三胜制的象棋比赛中，规定甲或乙无论谁先赢满三局就获胜，并且比赛就此结束.现已知甲、乙两人每比赛一局甲取胜的概率是
23，乙取胜的概率为1
3
，且每局比赛的胜负是独立的，试求下列问题：
(Ⅰ)比赛以甲3胜1而结束的概率； (Ⅱ)比赛以乙3胜2而结束的概率；
(Ⅲ)设甲获胜的概率为a ，乙获胜的概率为b ，求a ：b 的值.
21．（本题满分14分）
如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，
AB
，AF =1，M 是线段EF 的中点。

(Ⅰ)求证：AM ∥平面BDE ；
(Ⅱ) 求二面角A －DF －B 的大小.
（Ⅲ）试问：在线段AC 上是否存在一点P ，使得直线PF 与AD 所成角为60°？
22.（本题满分14分）已知→OF =（c ,0）(c >0), →OG =(n ,n )(n ∈R ), |→
FG |的最小值为1,若动点P 同时满足下列三个条件:
D A
B
①|→PF | = c a
|→
PE |(a >c >0);
② →PE =λ→OF (其中→OE =(a 2
c ,t ),λ≠0,t ∈R );
③动点P 的轨迹C 经过点B (0,－1) . (Ⅰ)求c 的值;
(Ⅱ)求曲线C 的方程;
(Ⅲ)是否存在方向向量为a =(1,k )(k ≠0)的直线l ,使l 与曲线C 交于两个不同的点M 、N ,且|→
BM |=|→
BN |?若存在,求出k 的范围;若不存在,请说明理由. 23．（本题满分14分）
如图，过点P (1,0)作曲线C : ((0,),*,1)k
y x x k N k =∈+∞∈>的切线，切点为1Q ,设1Q 点在x 轴上的投影是点1P ；又过点1P 作曲线C 的切线，切点为2Q ,设2Q 在x 轴上的投影是2P ；…；依此下去,得到一系列点1Q ,2Q ,…,n Q ,…,设点n Q 的横坐标为n a . （Ⅰ）试求数列｛n a ｝的通项公式n a ；（用k 的代数式表示） （Ⅱ）求证：;1
1-+
≥k n
a n （Ⅲ）求证：k k a i n
i i -<∑=12
（注：n n
i i a a a a +++=∑= 211
）.
参考答案及评分标准 一、选择题
1．C 易知A=｛-1，0，1｝，B=｛1，2｝，故A ∩B=｛1｝. 2．D 分x<1与2≤x<5讨论.
3．D →OP =→OA +λ(→AB +→AC )=→OA +2λ→AD (其中D 为BC 的中点),于是有→AP =2λ→AD ,从而点A 、D 、P 共线，即点P 的轨迹通过三角形ABC 的重心. 4．B 作出不等式表示的平面区域即可.
5．A 先从14人中选出12人,再将12人进行分组,且每组4人. 6．B 由线面位置关系不难知道:①③正确的.
7．B [解析]由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负
数,S 4010=2005(a 1+a 4010)=2005(a 2005+a 2006)>0, S 4011=4011(a 1+a 4011)
2
=4011a 2006<0, 故n 的最大值为4010.
另解:由题意可得:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始是负数,
则所有的正项的和为S n 的最大值,即当n=2005时,取得最大值,显然S nn >0的最大自然数是4010,故选B.
本小题结论可以推广成一般结论:等差数列中,a 1>0,a k +a k+1>0,且a k a k+1<0,则使前n 项和
Sn>0的最大自然数n 是2k.. 8．B 原函数的图象是由y=1
x
图象向下移动一个单位,且在(－∞,0),(0,＋∞)上为减函数,所以其
反函数的图象是由y=1
x
的图象向左移动一个单位,且在定义域上为减函数.
9．B 易知面BCC 1B 1内的点到点F 的距离是到BC 的距离倍的1
2，由椭圆的第二定义即知.
10．D 设 M F 1双曲线的交点为P ，焦点F 1（－c,0）, F 2(c,0),由平面几何知识知：F 2P ⊥F 1M ，又
|F 1 F 2|=2c 于是 |P F 2| =2csin60°=3c |P F 1| =c
故 2a= |P F 2| －|P F 1| =3c －c =（ 3－1）c e=c
a
=3+1.
11．C 特值法：令a=2与23可知⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=21log )(2
x ax x f a 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1上恒正，显然选项D 不正确.
12．B 依题意知PMQ 曲线是以A 、B 为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B 为焦点），此双
曲线的离心率为2，以直线AB 为轴、AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线
的方程为
x 2－
y 2
3
＝1，点C 的坐标为（3，3）.则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[1
2|MB|+|MC|],设点M 、C 在右准线上射影分别为点M 1 、C 1 ，根据双曲
线的定义有|M M 1|=12|MB|，所以=2a[|M M 1|+|MC|]≥2a|C C 1|=2a ×（3-1
2）=5a.当且仅当点M
在线段C C 1上时取等号，故ω的最小值是5a.
二、填空题
13.200 易知A=2 ,ω=
π2,ϕ=±π4,y=2－cos(πx+π
2
)=2±sin πx,从而 f (1)+f (2)+f (3)+…+f (100)=2×100=200.
14.),3
2[)2,0[πππ [解析]∵y ’=3x 2
－3≥－3, ∴tan α≥－3
又∵ 0≤α≤∏ ∴0≤α<
παπ
π
<≤3
22
或
15. 22±
由二项式定理知: 5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数为 C 35·θ2cos ,45()4
x +的展开式中3x 的系数为C 14·54,于是有C 35·θ2cos = C 1
4
·54,解得 θ2cos =12
. 16.①、③ 可通过作差比较得到结论.
17. 283 [解析] 由条件知道:该数列的奇数项分别为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…,偶数项分别为
3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,把奇数项的前10项与偶数项的前9项相加即得S 19=283.
18. 4012 [解析]∵f(1+0)=f(1)·f(0),2=2f(0),∴f(0)=1 ∵f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22
, f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=23, 依此类推:f(2005)=2
2005
,f(2006)=2
2006
,
∴原式=
个
200622222+++++=4012.
三、解答题
19．解：(Ⅰ) ()
cos sin sin m n θθθθ+=-+ 1分
(cos m n +=
=
分
∵θ∈［π，2π］，∴
49445ππθπ≤+≤，∴)4
cos(π
θ+≤1 ||n m +max =22． 5分
(Ⅱ) 由已知825m n +=
,得7cos 425πθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
7分 又2cos 2cos ()1428πθπθ⎛
⎫
+
=+- ⎪
⎝
⎭ ∴216cos ()2825
θπ+= 10分 ∵θ∈［π，2π］∴
898285π
πθπ≤
+≤，∴4cos 285θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
． 12分
20．解: (Ⅰ) 比赛以甲3胜1而结束,则第四局一定甲胜，前三局中甲胜两局, 1分
∴所求概率为:2
232
128
()3
3327
P C =⨯⨯⨯
=
. 3分 答：比赛以甲3胜1而结束的概率为8
27
. 4分
(Ⅱ) 比赛以乙3胜2而结束，则第五局一定乙胜，前四局中乙胜两局， 5分
∴所求概率为: 2
2241
218
()()33381
P C =⨯⨯⨯
= 7分 答：比赛以乙3胜2而结束的概率为
8
81
. 8分 (Ⅲ)甲先胜3局的情况有3种:3胜无败,3胜1败,3胜2败.，则其概率分别为 9分
333
28327C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2
23212333C ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=827，2
2
242121633381
C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
于是甲获胜的概率881664
27278181a =
++=
11分 ∴乙获胜的概率17
181
b a =-= ∴:64:17a b =. 12分
21．方法一
解: (Ⅰ)记AC 与BD 的交点为O ,连接OE , 1分 ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形，
∴四边形AOEM 是平行四边形， 2分 ∴AM ∥OE . 3分 ∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，
∴AM ∥平面BDE . 4分 (Ⅱ)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ， ∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD =
∴AB ⊥平面ADF ， 5分 ∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影， 由三垂线定理得BS ⊥DF .
∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角。

7分
在Rt ΔASB 中，,2,3
6
==AB AS ∴,60,3tan ︒=∠=
∠ASB ASB 8分
∴二面角A —DF —B 的大小为60º. 9分 （Ⅲ）设CP =t （0≤t ≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AF AB = ，
∴PQ ⊥平面ABF ，QF ⊂平面ABF ，
∴PQ ⊥QF . 11分 在Rt ΔPQF 中，∠FPQ =60º，PF =2PQ . ∵ΔP AQ 为等腰直角三角形，
∴).2(2
2
t PQ -=
12分 又∵ΔP AF 为直角三角形， ∴1)2(2+-=
t PF ，
∴).2(2
2
21)2(2
t t -⋅
=+- 所以t =1或t =3(舍去)
即点P 是AC 的中点. 14分 方法二（ 仿上给分）
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。

设N BD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（
)0,2
2,22、（0,0,1）, ∴NE =()1,2
2,22--
, 又点A 、M 的坐标分别是
（022，，）、（
)1,2
2
,22 ∴ AM =（)1,2
2,22--
∴NE =AM 且NE 与AM 不共线，
∴NE ∥AM .
又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDF .
（Ⅱ）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD = ∴AB ⊥平面ADF .
∴ )0,0,2(-=AB 为平面DAF 的法向量。

∵NE ·DB =（)1,22,22--
·)0,2,2(-=0， ∴NE ·NF =（)1,2
2,22--
·)0,2,2(=0得 NE ⊥DB ，NE ⊥NF ，
∴NE 为平面BDF 的法向量。

∴cos <AB ,NE >=
2
1
即所求二面角A —DF —B 的大小是60º.
（Ⅲ）设P (t ,t ,0)(0≤t ≤2)得
),1,2,2(t t PF --=
∴DA =（0，2，0，）， 又∵PF 和AD 所成的角是60º. ∴2
1)2()2(2)2(60cos 2
2
⋅+-+-⋅-=
︒t t t
解得22=
t 或2
2
3=t （舍去）， 即点P 是AC 的中点.
22．解:(Ⅰ)法一: |→
FG |=(n －c )2+n 2=
2(n －c 2)2+c 2
2
,
当n = c
2
时, |→FG |min =
c 2
2
=1,所以c =2. 3分 法二:设G (x ,y ),则G 在直线y =x 上,所以|→
FG |的最小值为点F 到直线y =x 的距离,即 |c －0|
2
=1,得c =2. (Ⅱ)∵→PE =λ →OF (λ≠0),∴PE ⊥直线x = a 2c , 又 |→PF | = c a |→
PE | (a >c >0).
∴点P 在以F 为焦点,x = a 2
c 为准线的椭圆上. 5分
设P (x ,y ), 则有(x －
2)2+y 2 =
2a |a 2
2
－x |, 点B (0－1)代入, 解得a =3. ∴曲线C 的方程为 x 23+y 2
=1 7分
(Ⅲ)假设存在方向向量为a 0=(1,k )(k ≠0)的直线l 满足条件,则可设l :y =kx +m (k ≠0), 与椭圆x 23+y 2
=1联立,消去y 得(1+3k 2)x 2+6kmx +3m 2－3=0. 10分
由判别式△>0,可得m 2<3k 2+1. ①
设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), MN 的中点P (x 0,y 0),由|BM |=|BN |, 则有BP ⊥MN . 由韦达定理代入k BP =－1k ,可得到m = 1+3k 2
2
②
联立①②,可得到 k 2－1<0, 12分
∵k ≠0, ∴ －1<k <0或0<k 1.
即存在k ∈(－1,0)∪(0,1),使l 与曲线C 交于两个不同的点M 、N ,且|→BM |=|→
BN |. 14分 23．解: (Ⅰ)
k y x =∴1'k y kx -=,若切点是(,)k n n n Q a a ,则
WORD 完整版----可编辑----教育资料分享
----完整版学习资料分享---- 切线方程为1()k k n n n y a ka x a --=-. 1分
当n =1时,切线过点(1,0),即11110(1)k k a ka a --=-,得11
k a k =- 当n >1时,切线过点11(,0)n n P a --,即110()k k n n n n a ka a a ---=-,解得
11n n a k a k -=-. ∴数列{}n a 是首项为
1k k -，公比为1k k -的等比数列， 故所求通项(),*1
n n k a n N k =∈- . 4分 (Ⅱ) 由（1）知(),*1n
n k a n N k =∈- ∴01221
111()(1)()()11111n
n n n
n n n n n k a C C C C k k k k k ==+=++++----- 011111n n n
C C k k ≥+=+-- 9分 (Ⅲ)设1211
21n n n n n S a a a a --=++++,则231
1
12
1
n n n k n n S k a a a a +--=++++, 两式相减得12112111
1
111
(1)n n n n
k n S k a a a a a a a +--=+++-<+++，
∴11[1()]
1111n
n k k k k S k k k k
---<<---. 故2n S k k <-
. 14
分。