2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版课件：9.2 不等式选讲(选修4—5)

∴a的取值范围是[-6,12].
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考向一 考向二 考向三
例3设函数f(x)=|x+2|+|x-a|,x∈R. (1)若a=1,试求f(x)≥4的解集; (2)若a>0,且关于x的不等式f(x)<32 x有解,求实数a的取值范围.
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4.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法等. (1)比较法:求差比较法,求商比较法.
①求差比较法:由于a>b⇔a-b>0,a<b⇔a-b<0,因此要证明a>b,只
要证明a-b>0即可.
②求商比较法:由 a>b>0⇔������������>1 且 a>0,b>0,因此当 a>0,b>0 时要
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年份卷 设问特点 别
画函数的图
全
国1
象;求不等式 的解集
求不等式解
全 2016国 2
集;证明不等 式
求不等式解
全 国3
集;求参数的 取值范围
涉及知识点
题目类型
解题思
想方法
绝对值,分段函 数,函数图象, 解不等式 解不等式
分类讨论思 想,数形结 合思想
绝对值,分段函
解不等式, 证明不等
分类讨论思
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想. ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思
想.
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3.基本不等式 定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 定理 2:若 a,b 为正数,则������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成立. 定理 3:若 a,b,c 为正数,则������+3������+������ ≥ 3 ������������������,当且仅当 a=b=c 时,等号 成立. 定理 4:(一般形式的算术-几何平均不等式)若 a1,a2,…,an 为 n 个正 数,则������1+������2+������ …+������������ ≥ ������ ������1������2…������������ ,当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成 立.
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考向一 考向二 考向三
关键点拨(1)当a=1时,分x≥1和x<1两种情况去绝对值号,再解不 等式,求并集.(2)由于f(a)=0且x∈(-∞,1)时,f(x)<0,故a∉(-∞,1),即a≥1, 可结合a≥1,x∈(-∞,1)将f(x)去掉绝对值号,解不等式得a-x>0,即 a>x,x∈(-∞,1)时恒成立,则a≥1.
当 x<-12时,不等式化为-(2x+1)-(2x-3)≤6,解得-1≤x<-12; 当-12 ≤x≤ 32时,不等式化为(2x+1)-(2x-3)≤6,恒成立,解得-12 ≤x≤ 32; 当 x>32时,不等式等价于(2x+1)+(2x-3)≤6,解得32<x≤2,
综上,不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.
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考向一 考向二 考向三
对点训练1(2019山东烟台、菏泽高三5月高考适应性练习)已知
函数f(x)=|2x+m-1|+|2x-3|.
(1)当m=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若 f(x)≤|2x-6|的解集包含区间
-12
,
3 2
,求 m 的取值范围.
解 (1)当 m=2 时,只需解不等式|2x+1|+|2x-3|≤6.
解不等式及 不等式恒成 论思想,
转换思
1 求参数的范围
立求参数 想
全 2018 国
2
解绝对值不等式; 不等式恒成立时 求参数的范围
分段函数,绝对 值不等式,绝对 值三角不等式
解不等式及 分类讨 不等式恒成 论,转换 立求参数 思想
全 国 3
画函数的图象;求 函数不等式中参 数 a+b 的最小值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ绝对值,分段函 画分段函数 分类讨
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考向一 考向二 考向三
(2)因为|2x+m-1|+|2x-3|≤|2x-6|的解集包含区间 -1 , 3 ,
22
所以当 x∈
-12
,
3 2
时,|2x+m-1|+|2x-3|≤|2x-6|成立,也就是
|2x+m-1|-(2x-3)≤-(2x-6),即|2x+m-1|≤3 成立.
解上述不等式得-3≤2x+m-1≤3,即-1-���2��� ≤x≤2-���2���.
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考向一 考向二 考向三
解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得 到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数 的不等式,解不等式得参数范围.
2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)<a 恒成立⇔f(x)max<a;f(x)>a有解⇔f(x)max>a;f(x)<a有解 ⇔f(x)min<a;f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.
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考向一 考向二 考向三
解不等式,求参数范围 例1(2019全国卷2,文23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集; (2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0; 当x≥1时,f(x)≥0. 所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1). (2)因为f(a)=0,所以a≥1. 当a≥1,x∈(-∞,1)时, f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0. 所以,a的取值范围是[1,+∞).
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5.柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时,等号成立). (2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且 仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立. (3)柯西不等式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,则
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2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法:
①|x|<a⇔-a<x<a; ②|x|>a⇔x>a或x<-a.
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
(������1-������2)2 + (������1-������2)2 + (������2-������3)2 + (������2-������3)2 ≥ (������1-������3)2 + (������1-������3)2.
(4)柯西不等式的一般形式:设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数, 则(������12 + ������22+…+���������2��� )(������12 + ������22+…+���������2��� )≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且 仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号 成立.
解题心得1.解含有两个以上绝对值符号的不等式,一般解法是零 点分段法.即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴 上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而 将绝对值不等式转化为常规不等式.
2.在不等式恒成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参 数,通过求对应函数最值的方法获得.
等式的解 式
法
论思想
全
求代数式的最小值,
基本不等 基本不等式, 转化与 不等式的证 化归思
国 3 证明不等关系
式
明
想
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1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成 立;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(bc)≥0时,等号成立.
数,函数图象,一 次函数性质,最
的图象,数形 结合求最值
论,数形 结合
值
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卷 年份 设问特点
别
涉及知识 题目类型
点
解 题思想 方法
全 已知等式证明不等 国1 式
基本不等 基本不等式, 转化与
不等式的证 化归思
式
明
想
全
解绝对值不等式,通
绝对值不 绝对值不等
分类讨
2019国 2
过不等式求参数的 范围
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考向一 考向二 考向三
对点训练2(2019河南八市重点高中联盟“领军考试”高三压轴)已 知函数f(x)=|2x+3|-|x-a|(a∈R).
(1)当a=1时,解不等式f(x)≥2; (2)若关于x的不等式f(x)≥|x-3|的解集包含[3,5],求a的取值范围.
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考向一 考向二 考向三
解 (1)当a=1时,不等式f(x)≥2,即|2x+3|-|x-1|≥2,
所以
������
<
-
3 2
,
或
-������-4 ≥ 2,
-
3 2
≤
������
≤
1,
或
3������ + 2 ≥ 2,
������ ������
> +
1, 4≥
2,解得
x≤-6
或
x≥0.
所以不等式f(x)≥2的解集为(-∞,-6]∪[0,+∞). (2)关于x的不等式f(x)≥|x-3|的解集包含[3,5],即|2x+3|-|x-3|≥|x-a|在 [3,5]恒成立,即x+6≥|x-a|在[3,5]恒成立,即-6≤a≤2x+6在x∈[3,5]恒成 立,解得-6≤a≤12.
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考向一 考向二 考向三
解 (1)当a=2时,不等式f(x)<4可化为|x|+|x-2|<4. 讨论:
①当x<0时,-x-(x-2)<4,所以x>-1,所以-1<x<0; ②当0≤x≤2时,x-(x-2)<4,所以2<4,所以0≤x≤2; ③当x>2时,x+(x-2)<4,所以x<3,所以2<x<3.
证明不等式
综合法,放缩 法
基本不等式
全 求不等式解 绝对值,分段函 解不等式及 分类讨论思 国 集;求参数的 数,二次函数, 不等式恒成 想,分离参数
3 取值范围 最值
立求参数 法,放缩法
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卷 年份 设问特点
别
涉及知识点
题目类型
解题 思想方法
分类讨
全 国
解绝对值不等式; 不等式恒成立时
分段函数,绝对 值不等式
由已知条件
-12
,
3 2
⊆
-1-���2��� ,2-���2���
,所以
-
3 2
1 2
≥
-1-
≤
2-
������ 2
������ 2
,
, 解得-1≤m≤1.
所以 m 的取值范围是{m|-1≤m≤1}.
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考向一 考向二 考向三
例2(2019安徽定远中学预测卷一)已知函数f(x)=|x|+|x-a|. (1)当a=2时,求不等式f(x)<4的解集; (2)若f(x)≥1对任意x∈R成立,求实数a的取值范围.
数
式
想,求差法
函数,绝对值, 解不等式
解不等式 及恒成立 求参数
分类讨论思 想
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卷 年份 设问特点
别
涉及知识点
解题思 题目类型
想方法
全 国 1
求不等式解
解不等式及
集;求参数的 取值范围
二次函数,二次 不等式,绝对值
分类讨论思
恒成立求参
数
想,转换思想
全 2017 国
2
证明不等式
完全平方公式, 完全立方公式,
综上,当a=2时,不等式f(x)<4的解集为{x|-1<x<3}. (2)因为|x-(x-a)|≤|x|+|x-a|, 所以|x|+|x-a|≥|a|. 又因为f(x)=|x|+|x-a|,f(x)≥1对任意x∈R成立, 所以1≤|a|.所以a≤-1或a≥1. 故实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞).
证明 a>b,只要证明������������>1 即可. (2)分析法:从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直
到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等). (3)综合法:从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过
推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这 种证明不等式的方法称为综合法.
9.2 不等式选讲(选修4—5)
卷 年份 设问特点
别
全 求不等式的解
国1
集;求参数的取 值范围
2015
全 证明不等式,证
国 2 明充要条件
涉及知识点
题目类型
绝对值,分段函数,
解不等式 及恒成立
三角形面积
求参数
完全平方公式,不 证明不等 等式性质,综合法, 式 分析法
解 题思想 方法
分类讨 论思想
综合 法,分 析法