金老师教育培训苏教版数学讲义含同步练习七年级下册86一元一次不等式的解法(第二课时)知识讲解

一元一次不等式的解法（提高）知识讲解
【典型例题】
类型一、一元一次不等式的概念
1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？
（1）0x > （2）1x 1-> （3）2x 2> （4）3y x ->+ （5）1x -= 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断．
【答案与解析】 解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知量的最高次项不是1次，（4）不等式左边含有两个未知量，（5）不是不等式，是一元一次方程．
【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式
2.解不等式：2
5x 03.0x 02.003.05.09.0x 4.0->+-+，并把解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】先用分数的基本性质，将分母变为整数，再去分母，在去分母时注意分数线兼有括号的作用．
【答案与解析】
解：将分母变为整数，得：2
5x 3x 2359x 4->+-+ 去分母，得：)5x (15)x 23(10)9x 4(6->+-+
去括号，合并同类项，得：99x 11->-
系数化1，得：9x <
这个不等式的解集表示在数轴上，如下图：
【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向． 举一反三：
【变式】解不等式：2x ]2)14x (
32[23<--- 【答案】
解：去括号，得2x 314
x <---
移项、合并同类项得：6x 43<- 系数化1，得8x ->
故原不等式的解集是8x ->
3.m 为何值时，关于x 的方程：6151632
x m m x ---=-的解大于1？ 【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m 表示x ），然后解不等式．
【答案与解析】
解： x-12m+2=6x-15m+3
5x=3m-1
315
m x -=
由3115m -> 解得m ＞2
【总结升华】此题亦可用x 表示m ，然后根据x 的范围运用不等式基本性质推导出m 的范围． 举一反三：
【变式】已知关于x 方程3x 23m x 2x -=--
的解是非负数，m 是正整数，则=m ． 【答案】1或2
4.已知关于y ,x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+1
p y 3x 41p y 2x 3的解满足y x >，求p 的取值范围．
【思路点拨】先解出方程组再解不等式．
【答案与解析】
解：由⎩⎨⎧-=++=+1p y 3x 41p y 2x 3，解得：⎩⎨⎧--=+=7
p y 5p x ∵y x >
∴7p 5p -->+
解得6p ->
∴p 的取值范围为6p ->
【总结升华】有时根据具体问题，可以不必解出y ,x 的具体值．
类型三、解含字母的一元一次不等式
5．解关于x 的不等式：(1-m)x>m-1
【思路点拨】由此不等式的结构，这里只需将未知数的系数化1即可，两边同时除以（1-m ），但由不等式的基本性质我们知，若不等式两边同时除以一个负数，原不等号的方向得改变，这里1-m 的符号我们不知道，故需分类讨论．
【答案与解析】
解：当1- m ＞0即 m ＜1时，原不等式的解集为：x ＞-1；
当1- m ＜0即m ＞1时，原不等式的解集为：x ＜-1；
当1-m=0即m=1时，没有数能使得不等式成立，故原不等式无解．
【总结升华】不难发现，我们可以总结概括，如下：
若ax ＞b （a ≠0）， 当0a >时，不等式的解集是b x a >； 当0a <时，不等式的解集是b
x a <
．
举一反三： 【变式1】解关于x 的不等式m （x-2）＞x-2.
【答案】
解: 化简，得（m-1）x ＞2（m-1），
① 当m-1＞0时，x ＞2；
② 当m-1＜0时，x ＜2；
③ 当m-1=0时，无解.
【高清课堂：一元一次不等式 370042 例8（2）】
【变式2】已知x ＞a 的解集中最小整数为－2，则a 的取值范围是______．
【答案】﹣3≤a ＜﹣2．
类型四、逆用不等式的解集
6.如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是 ．
【思路点拨】本题是关于x 的不等式，应先只把x 看成未知数，求得x 的解集，从而来求得a 的值．
【答案】a ＜﹣1
【解析】
解：∵（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，
∴a+1＜0，
∴a ＜﹣1．
【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定a+1＜0．
举一反三：
【变式】（2015•滨湖区二模）已知不等式3x ﹣a≤0的解集为x≤5，则a 的值为 ．
【答案】15.
【解析】解：3x ﹣a≤0，
x≤，
∵不等式的解集为x≤5，
∴=5，
解得a=15． 故答案为：15．
一元一次不等式的解法（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题 1．已知关于x 的不等式||(1)0m m x -≥是一元一次不等式，那么m 的值是 ( ) .
A ．m ＝1
B ．m ＝±1
C ．m ＝-1
D ．不能确定
2．由m n >得到22
ma na >，则a 应该满足的条件是（ ）.
A ．a ＞0
B ．a ＜0
C ．a ≠0
D ．a 为任意实数
3．关于x 的不等式x ﹣b ＞0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ）
A ．﹣3＜b ＜﹣2
B ．﹣3＜b≤﹣2
C ．﹣3≤b≤﹣2
D ．﹣3≤b＜﹣2
4．不等式475x a x ->+的解集是1x <-，则a 为（ ）.
A ．-2
B ．2
C ．8
D ．5
5．如果1998a+2003b=0，那么ab 是（ ）
A ．正数
B ．非正数
C ．负数
D ．非负数
6.关于x 的不等式2a x 2≥+-的解集如图所示，则a 的值是 （ ）.
A ．0
B ．2
C ． -2
D ．-4
二、填空题
7．若x 为非负数，则5
x 231-≤- 的解集是 . 8．不等式5x ﹣3＜3x+5的最大整数解是 ． 9．比较大小：22
336a b -+________22241a b -+.
10．已知-4是不等式5ax >-的解集中的一个值，则a 的范围为________.
11．若关于x 的不等式30x a -≤只有六个正整数解，则a 应满足________.
12.已知a x >的解集中的最小整数为2-，则a 的取值范围是 .
三、解答题
13．若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ．
14. 适当选择a 的取值范围，使1.7＜x ＜a 的整数解：
（1）x 只有一个整数解；
(2) x 一个整数解也没有．
15.当3
10)3(2k k -<-时，求关于x 的不等式k x x k ->-4)5(的解集． 16.已知关于x 的方程4x+2m+1=2x+5的解是负数．
（1）求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，解关于x 的不等式2（x ﹣2）＞mx+3．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C ； 【解析】1,10m m =-≠，所以1m =-；
2. 【答案】C ；
【解析】由m n >得到22ma na >，不等式两边同乘以2
a ，不等号方向没变，所以20,0a a >≠即；
3. 【答案】D ；
【解析】不等式x ﹣b ＞0，解得：x ＞b ，
∵不等式的负整数解只有两个负整数解，
∴﹣3≤b＜﹣2
故选D ．
4. 【答案】A ；
【解析】由475x a x ->+，可得53
a x +<-，它与1x <-表示同一解集，所以513
a +-=-，解得2a =-； 5. 【答案】B ；
【解析】1998a+2003b=0，可得,a b 均为0或,a b 异号；
6. 【答案】A ；
【解析】因为不等式2a x 2≥+-的解集为2
2a x -≤，再观察数轴上表示的解集为1x -≤，因此12
2a -=-，解得0a = 二、填空题
7. 【答案】4x 0≤≤；
【解析】x 为非负数，所以0x ≥，5
x 231-≤-解得：4x ≤. 8. 【答案】3；
【解析】不等式的解集是x ＜4，
故不等式5x ﹣3＜3x+5的正整数解为1，2，3，
则最大整数解为3．故答案为：3．
9. 【答案】＞；
【解析】222222(336)(241)50a b a b a b -+--+=++>， 所以2222336241a b a b -+>-+.
10．【答案】54
a <； 【解析】将-4代入得：45a ->-，所以54a <
. 11.【答案】1821a ≤<； 【解析】由已知得：3a x ≤，673
a ≤<，即1821a ≤<. 12.【答案】2a 3-<≤-
【解析】画出数轴分析得出正确答案.
三、解答题
13.【解析】
解：2210,10.m m +>--<∴
∴(－m 2－1)x ＞n ，
两边同除以负数（－m 2－1）得：2211n n x m m <=---+. ∴原不等式的解集为：21
n x m <-+. 14.【解析】
解：(1) 3a 2≤<；(2)2a 7.1≤<．
15.【解析】 解：3
10)3(2k k -<- 6-1810-k k ＜
4k ＜
k x x k ->-4)5(
-54-4kx k x k ＞
(4)4k x -＞
4
k x k -＜． 16.【解析】
解：（1）方程4x+2m+1=2x+5的解是：x=2﹣m ．
由题意，得：2﹣m ＜0，
所以m ＞2．
（2）2（x ﹣2）＞mx+3，
2x﹣4＞mx+3，2x﹣mx＞3+4，（2﹣m）x＞7，因为m＞2，
所以2﹣m＜0，
所以x＜
7
2m
．。