九年级数学下册 第5章 二次函数 5.2 二次函数的图象与性质课件 苏科苏科级下册数学课件
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12/11/2021
y
y=2x2
5
4.
3.
2.
1.
y=2(x-1)2+1
y=2(x-1)2
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
-1
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y
y=2x2 +1
y=2x2
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1.
y=2(x-1)2+1
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
-1
12/11/2021
返回
我思考，我进步
x
2
向左平移3个单位，
再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数
关系式为
．
（2）二次函数 y2(x1)0218 的图像开
口向 ，对称轴是
，顶点 ，
当x= 时，函数有最 值为 ，
当x 时，y随的增大而增大。
抛物线与x轴的交点为
，
与y轴的交点 。
12/11/2021
例题精讲
例2一条抛物线的形状与抛物线y 2( x 2) 2 相同，其顶点坐标是（－1，3），写出这个 抛物线的函数解析式。
• 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一 条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶 点坐标与a,h,k的值有关.
注: y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式称二次函数的顶点式
12/11/2021
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
由h和k的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性
当x<h时,y随着x的增大而减小.当x<h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时 y随着x的增大而增大.当x>h时, y随着x的增大而减小.
最值 12/11/2021 当x=h时,y最小值为k. 当x=h时,y最大值为k.
试一试
1、将抛物线y=3x2向左平移2个单位,再向下
12/11/2021
思考： 怎样平移抛物线y=ax2可以得到抛物 线y=a(x+h)2+k?
12/11/2021
如果K>0,h>0
y=ax2 上 k y=ax2+k 右 h y=a(x-h)2+k y=ax2 右 h y=a(x-h)2 上 k y=a(x-h)2+k
12/11/2021
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
12/11/2021
5.2二次函数的图象与性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
12/11/2021
1.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上 或向下平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
2.抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向 左或向右平移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.)
练习1.一条抛物线的形状与抛物线 y 2x2
相同，其对称轴与 y（x1)2相同，且
顶点纵坐标为6，求此抛物线的解析式。
2.把抛物线 yx2bxc向上平移2个单
位，再向左平移4个单位，得到抛物
y x 线 12/11/2021
2 ，求b、c的值．
• 例3.已知二次函数y=(x+m)2+k的图象如图。 • ①根据图中提供的信息求二次函数的关系式； • ②求图象与x轴的交点坐标；③观察图象解答：
y 3x 12
27 12 3
y 3x 12 2
29 14 5
12/11/2021
1234 3 12 27 0 3 12 27 2 5 14 29
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象和抛物y=3x²,y=3(x1)2有什么关系?它的开口 方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?
y 3x2
y3x122
y=－5x2 －2
y =－3(x+1)2
y =4(x－8)2
12/11/2021
在同一坐标系中作出函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象. 完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?
x -4 -3 -2 -1 0
y 3x2
27 12 3 0
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
y=a(x-h)2+k(a>0) （h，k）
y=a(x-h)2+k(a<0) （h，k）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性
当x<h时,y随着x的增大而减小.当x<h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时 y随着x的增大而增大.当x>h时, y随着x的增大而减小.
y3x12
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
X=1
y=3x2先沿着x轴向右平移 对称轴仍是平行于y轴的直 1个单位,再沿直线x=1向 线(x=1);增减性与y=3x2类似. 上平移2个单位后得到的.
开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.
顶点是(1,2).
12/11/2021
最值 12/11/2021 当x=h时,y最小值为k. 当x=h时,y最大值为k.
例题精讲ห้องสมุดไป่ตู้
例1、说出下列函数图象的开口方向、对称
轴、顶点坐标及最值。
(1)y=2(x+3)2+4
(2)y=3x2－2
(3)y=－(x－1)2－3
(4)y=－2(x+2)2
12/11/2021
小试牛刀
（1）把抛物线
y
3 2
平移5个单位所得抛物线为
。
2、将抛物线y=－4(x－3)2向上平移1个单位
再向右平移2个单位所得抛物线为
。
3、抛物线 y 2 x 2向 平移 个单位得
到抛物线 y 2( x 2)，2 再向 平移 个 单位得到抛物线 y 2( x 2) 2 3 。
y=－2(x+2)2－3如何平移得到y=－2x2呢？
当x为何值时，y>0?y=0?y<0?
12/11/2021
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
抛物线 顶点坐标
y=a(x-h)2+k(a>0) （h，k）
y=a(x-h)2+k(a<0) （h，k）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置
由h和k的符号确定
与y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
x=-1
开口向下,
单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2
(或最大值= - 2)
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象 和性质.
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中 作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
交流： 怎样平移抛物线y=2x2可以得到抛物 线y=2(x-1)2+1?
12/11/2021
思考
(1)怎样平移抛物线y=2x2可以得到 抛物线y=2(x-1)2+1? y=2x2 上 1 y=2x2+1 右 1 y=2(x-1)2+1 y=2x2 右 1 y=2(x-1)2 上 1 y=2(x-1)2+1
在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和 y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2 和y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它 们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y 的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y 的值随x值的增大而减小?
12/11/2021
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=ax2 y=ax2+k
y=a(x-h)2
y轴 y轴
直线x=h
(0,0) (0,k) (h,0)
当x<0时,? 当x>0时,? 当x<0时,? 当x>0时,?
当x<h时,? 当x>h时,?
12/11/2021
温故知新
抛物线
y =2x2
开口方向 对称轴 顶点坐标
12/11/2021
二次函数y=-3(x+1)2+2与 y3x122 y=-3(x+1)2-2的图象和抛物
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)
线y=-3x²,y=-3(x+1)2有什 么关系? 它的开口方向,对
y3x12
y 3x2
称轴和顶点坐标分别是什么?
y3x122
二次函数y=-3(x+1)2+2
y
y=2x2
5
4.
3.
2.
1.
y=2(x-1)2+1
y=2(x-1)2
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
-1
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y
y=2x2 +1
y=2x2
5
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3.
2.
1.
y=2(x-1)2+1
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
-1
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返回
我思考，我进步
x
2
向左平移3个单位，
再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数
关系式为
．
（2）二次函数 y2(x1)0218 的图像开
口向 ，对称轴是
，顶点 ，
当x= 时，函数有最 值为 ，
当x 时，y随的增大而增大。
抛物线与x轴的交点为
，
与y轴的交点 。
12/11/2021
例题精讲
例2一条抛物线的形状与抛物线y 2( x 2) 2 相同，其顶点坐标是（－1，3），写出这个 抛物线的函数解析式。
• 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一 条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶 点坐标与a,h,k的值有关.
注: y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式称二次函数的顶点式
12/11/2021
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
由h和k的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性
当x<h时,y随着x的增大而减小.当x<h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时 y随着x的增大而增大.当x>h时, y随着x的增大而减小.
最值 12/11/2021 当x=h时,y最小值为k. 当x=h时,y最大值为k.
试一试
1、将抛物线y=3x2向左平移2个单位,再向下
12/11/2021
思考： 怎样平移抛物线y=ax2可以得到抛物 线y=a(x+h)2+k?
12/11/2021
如果K>0,h>0
y=ax2 上 k y=ax2+k 右 h y=a(x-h)2+k y=ax2 右 h y=a(x-h)2 上 k y=a(x-h)2+k
12/11/2021
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
12/11/2021
5.2二次函数的图象与性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
12/11/2021
1.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上 或向下平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
2.抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向 左或向右平移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.)
练习1.一条抛物线的形状与抛物线 y 2x2
相同，其对称轴与 y（x1)2相同，且
顶点纵坐标为6，求此抛物线的解析式。
2.把抛物线 yx2bxc向上平移2个单
位，再向左平移4个单位，得到抛物
y x 线 12/11/2021
2 ，求b、c的值．
• 例3.已知二次函数y=(x+m)2+k的图象如图。 • ①根据图中提供的信息求二次函数的关系式； • ②求图象与x轴的交点坐标；③观察图象解答：
y 3x 12
27 12 3
y 3x 12 2
29 14 5
12/11/2021
1234 3 12 27 0 3 12 27 2 5 14 29
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象和抛物y=3x²,y=3(x1)2有什么关系?它的开口 方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?
y 3x2
y3x122
y=－5x2 －2
y =－3(x+1)2
y =4(x－8)2
12/11/2021
在同一坐标系中作出函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象. 完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?
x -4 -3 -2 -1 0
y 3x2
27 12 3 0
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
y=a(x-h)2+k(a>0) （h，k）
y=a(x-h)2+k(a<0) （h，k）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性
当x<h时,y随着x的增大而减小.当x<h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时 y随着x的增大而增大.当x>h时, y随着x的增大而减小.
y3x12
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
X=1
y=3x2先沿着x轴向右平移 对称轴仍是平行于y轴的直 1个单位,再沿直线x=1向 线(x=1);增减性与y=3x2类似. 上平移2个单位后得到的.
开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.
顶点是(1,2).
12/11/2021
最值 12/11/2021 当x=h时,y最小值为k. 当x=h时,y最大值为k.
例题精讲ห้องสมุดไป่ตู้
例1、说出下列函数图象的开口方向、对称
轴、顶点坐标及最值。
(1)y=2(x+3)2+4
(2)y=3x2－2
(3)y=－(x－1)2－3
(4)y=－2(x+2)2
12/11/2021
小试牛刀
（1）把抛物线
y
3 2
平移5个单位所得抛物线为
。
2、将抛物线y=－4(x－3)2向上平移1个单位
再向右平移2个单位所得抛物线为
。
3、抛物线 y 2 x 2向 平移 个单位得
到抛物线 y 2( x 2)，2 再向 平移 个 单位得到抛物线 y 2( x 2) 2 3 。
y=－2(x+2)2－3如何平移得到y=－2x2呢？
当x为何值时，y>0?y=0?y<0?
12/11/2021
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
抛物线 顶点坐标
y=a(x-h)2+k(a>0) （h，k）
y=a(x-h)2+k(a<0) （h，k）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置
由h和k的符号确定
与y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
x=-1
开口向下,
单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2
(或最大值= - 2)
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象 和性质.
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中 作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
交流： 怎样平移抛物线y=2x2可以得到抛物 线y=2(x-1)2+1?
12/11/2021
思考
(1)怎样平移抛物线y=2x2可以得到 抛物线y=2(x-1)2+1? y=2x2 上 1 y=2x2+1 右 1 y=2(x-1)2+1 y=2x2 右 1 y=2(x-1)2 上 1 y=2(x-1)2+1
在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和 y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2 和y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它 们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y 的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y 的值随x值的增大而减小?
12/11/2021
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=ax2 y=ax2+k
y=a(x-h)2
y轴 y轴
直线x=h
(0,0) (0,k) (h,0)
当x<0时,? 当x>0时,? 当x<0时,? 当x>0时,?
当x<h时,? 当x>h时,?
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温故知新
抛物线
y =2x2
开口方向 对称轴 顶点坐标
12/11/2021
二次函数y=-3(x+1)2+2与 y3x122 y=-3(x+1)2-2的图象和抛物
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)
线y=-3x²,y=-3(x+1)2有什 么关系? 它的开口方向,对
y3x12
y 3x2
称轴和顶点坐标分别是什么?
y3x122
二次函数y=-3(x+1)2+2